初中數(shù)學競賽專題復習

1、第10章 四邊形10.1 平行四邊形與梯形10.1.1如圖a,在四邊形中,是對角線,已知是等邊三角形,求邊的長解析 如圖b,以為邊向四邊形外作等邊,連結(jié)由于,所以,從而又因為,于是,從而在中,所以10.1.2在中,為中點,D交或延長線于求證。

2、4.2應用題421小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣,小倩對小玲說:你若給我2元,我的錢數(shù)將是你的倍,小玲對小倩說:你若給我元,我的錢數(shù)將是你的2倍其中為正整數(shù)求的可能值的個數(shù)解析設小倩小玲分別所擁有的錢數(shù)為元元,為非負整數(shù)于是由題。

3、第9章三角形91全等三角形911已知等腰直角三角形,是斜邊的角平分線交于,過作與垂直且交延長線于,求證:解析如圖,延長,設交于則,得,又,平分,故平分,為中點,所以912在中,已知,分別為的中點,為形外兩點,使,若,求的長解析如圖,連結(jié),則。

4、第11章 比例與相似11.1比例線段11.1.1在中,角平分線與交于,求之長度用表示解析 如圖,易知有,故,1112已知:等腰梯形中,分別是腰的中點,且交于,求證:解析 如圖,不妨設,則,故,1113在中,的平分線交于,過分別作的平行線交于。

5、第四篇組合第23章組合計數(shù)23.1加法原理和乘法原理23.1.1有800名乒乓球選手參加淘汰賽,需要進行多少場比賽才能決出冠軍解析由于每場比賽淘汰一名選手,即比賽的場數(shù)與被淘汰的選手人數(shù)是相等的要決出冠軍,需淘汰799名選手,所以需要進行7。

6、第二篇平面幾何第8章線段與角81線段與角度811在線段上有兩點,求的長解析有兩種情況:點相鄰于點,或點相鄰于點1當點相鄰于點時,如圖a所示,此時2當點與點相鄰時,如圖b所示,此時812如圖,已知,的長是66厘米,求之長解析由于,又與有關,所。

7、第22章 與22.1.1 求的值解析 因為 ,又,所以故22.1.2 若是正整數(shù),求的值解析 因為,所以,所以22.1.13 數(shù)的末尾有多少個連續(xù)的零解析 的質(zhì)因數(shù)分解式中,5的最高次方冪為,所以的末尾有499個零評注 在中,質(zhì)數(shù)的最高次冪。

8、一元方程的兩根都是整數(shù),求實數(shù)點的值解析由于是實數(shù),所以不能利用判別式來求解先求出方程的兩根,由于是整數(shù),所以,從上面兩式中消去,便得關于的不定方程,解出,便能求得原方程為,所以,消去,得,故解得舍去,從而,所以,所求的,357設是質(zhì)數(shù),并。

9、一元方程求的最在大值解析因為方程有兩個不相等的實數(shù)根,所以,即結(jié)合題設知因為所以,即,解得由于,故設,因為在上是遞減的,所以當時,的最大值為10故的最大值為103.3.13設為互不相等的實數(shù),且滿足關系式,及,求的取值范圍解析1由得,所以當。

10、第一篇代數(shù)第1章實數(shù)11實數(shù)的運算111計算:解析將及分別分解為兩數(shù)的積,得,所以,原式評注一般地有;1.1.2計算:解析原式1.1.3計算:解析原式評注在做分數(shù)加減法運算時,根據(jù)特點,將其中一些分數(shù)適當拆開,使得拆開后有一些分數(shù)可以相互抵。

11、第6章 函數(shù)令,則,當時,函數(shù)取最小值,此時有,得當時,函數(shù)取最大值,此時,所以,當時,取最小值;當時,取最大值56.5.20 實數(shù)滿足,求的最小值解析 令,則,整理得,因為是實數(shù),所以,即所以因為是實數(shù),所以,所以,得當時,所以,的小最小。

12、面積問題與面積方法15.1.43已知凸四邊形的邊上各有一點,滿足,與交于,與交于,求證:解析 如圖,問題可轉(zhuǎn)化為求證.下證此式:記,則由定比分點,在.15.1.44已知:中,是角平分線,分別在上,且,求證,并用三邊表示.解析 如圖,由,得。

13、第6章 函數(shù)6.3.35 已知點的坐標分別為,點是拋物線上一個動點1判斷以點為圓心,為半徑的圓與直線的位置關系;2設直線與拋物線的另一個交點為,連結(jié),求證:解析1設點的坐標為,則,而點到直線的距離為所以,以點為圓心,為半徑的圓與直線相切2過。

14、第6章 函數(shù)6.1函數(shù)及其圖像6.1.1 已知,求解析1 令,則,帶入原式有,所以 解析2 ,所以6.1.2 若函數(shù),求解析 只要將滿足的值求出來,然后代入即可,所以,因此6.1.3 已知函數(shù),其中為常數(shù)若,求解析 由題設所以6.1.4 函。

15、第2章代數(shù)式2.1整式的運算2.1.1化簡,其中為大于1的事數(shù)解析原式評注本例可推廣為一個一般的形式:2.1.2計算1;2解析2這兩個多項式對應項或者相同或者互為相反數(shù),所以可考慮應用平方差公式,分別把相同項結(jié)合,相反項結(jié)合原式2的結(jié)果是。

16、第4章方程組41方程組的解法411已知關的方程組分別求出當為何值時,方程組有唯一一組解;無解;有無窮多組解,解析與一元一次方程一樣,含有字母系數(shù)的一次方程組求解時也要進行討論,一般是通過消元,歸結(jié)為一元一次方程的形式進行討論,但必須特別注意。

17、第21章 不定方程21.1 二元一次不定方程21.1.1求不定方程的正整數(shù)解解析 因為,所以這個方程的正整數(shù)解有無數(shù)組,它們是其中可以取一切正整數(shù)21.1.2求的整數(shù)解解析1 將方程變形得因為是整數(shù),所以應是11的倍數(shù)由觀察得,是這個方程的。

18、第14章 共點線與共線點14.1 梅涅勞斯定理14.1.1設等腰直角三角形,是中點,在上,求證:試用梅氏定理證明解析 如圖,設與交于,則,由梅氏定理,得,又,故,故.14.1.2設是銳角三角形的邊上的一點,是邊上的一點,與相交于點,求.解析。

19、第15章 面積問題與面積方法15.1.1如圖,bcde中直線與直線交于點,則:a中有;bcde中有.解析 只要作相應的高,并運用比例即可.15.1.2若中有一點,延長,分別交對邊于點,則.解析 如圖,易證,三式相加即得結(jié)論.15.1.3求證。

20、第30章 組合幾何30.1 覆蓋劃分與構造30.1.1 求證:可以把三角形劃分成三塊,拼成一個矩形解析 如圖,不妨設為之最大邊,故,設中點分別為,作,易知在上今過作,分別與直線交于,于是易見,因此被分成三塊,拼成了矩形30.1.2 任何不等。

21、第20章 同 余20.1.11證明:任意平方數(shù)除以4,余數(shù)為0或1;2證明:任意平方數(shù)除以8,余數(shù)為01或4解析 1因為奇數(shù),偶數(shù),所以,正整數(shù) 2奇數(shù)可以表示為,從而奇數(shù)因為兩個連續(xù)整數(shù)中必有一個是偶數(shù),所以是8的倍數(shù),從而奇數(shù)又,偶數(shù)為。

22、第三篇初等數(shù)論第19章整數(shù)的整除性191整除19.1.1證明:三個連續(xù)奇數(shù)的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除解析要證明一個數(shù)能被12整除但不能被24整除,只需證明此數(shù)等于12乘上一個奇數(shù)即可設三個連續(xù)的奇數(shù)分別為其中是整數(shù),于是所。

23、第18章整數(shù)幾何18.1.1已知的兩條高長分別是515,第三條高的長數(shù),求這條高之長的所有可能值解析由面積知,三條高的倒數(shù)可組成三角形三邊,這是它們的全部條件設第三條高為,則解得,可取4567這四個值18.1.2已知的三邊長分別為,且邊上的。

24、第7章三角函數(shù)71銳角三角函數(shù)711比較下列各組三角函數(shù)值的大小:1與;2與;3,和解析1利用互余角的三角函數(shù)關系式,將化,再與比大小因為,而,所以2余切函數(shù)與余弦函數(shù)無法化為同名函數(shù),但是可以利用某些特殊的三角函數(shù)值,間接比較它們的大小。

25、第16章幾何變換16.1對稱和平移1611設是邊長為2的正三角形的邊的中點是邊上的任意一點,求的最小值解析 作正三角形關于的對稱圖形是的對稱點,故是的中點,如圖所示,則.連結(jié),易知,所以所以,的最小值是1612已知中,試在的邊上分別找出一點。

26、5.4 不等式的證明和應用5.4.1設的平均數(shù)為,的平均數(shù)為,的平均數(shù)為.若,則與的大小關系是 A.B.C.D.不確定解析 因為,因為,所以,即,所以.故選B.5.4.2若是正數(shù),且滿足,則與之間的大小關系是 A.B.C.D.不能確定解析 。

27、第19章 整數(shù)的整除性綜上可知,命題成立評注如果兩個互質(zhì)的正整數(shù)之積是一個完全平方數(shù),則這兩個正整數(shù)都是完全平方數(shù)這一命題是我們證明此題的出發(fā)點19427如果正整數(shù)滿足證明:數(shù)和都可以表示為兩個正整數(shù)的平方和解析巧妙運用下述命題:如果正整數(shù)。

28、第3章一元方程3.1一元一次方程3.1.1已知下面兩個方程,有相同的解,試求的值解析本題解題思路是從方程中求出的值,代入方程,求出的值由方程可求得,所以由題設,也是方程的解,根據(jù)方程解的定義,把代入方程時,應有,所以,3.1.2解方程:解析。

29、第17章幾何不等式與極值問題17.1.1一個凸行邊形的內(nèi)角中,恰好有4個鈍角,求的最大值解析考慮這個凸行邊形的個外角,有個角,故有嚴格小于是由于4個鈍角的外角和大于,因此,的最大值是7易構造這樣的例子.如果恰好有個鈍角,則的最大值是.17。

30、第11章 比例與相似1125在銳角三角形中,是是一點,滿足,過作,為垂足,證明:解析 由條件知,且,又,故,于是1126已知正方形,點和分別在上,且,與垂直于,求的取值范圍解析 易知,故有又,故,1127在中,點是內(nèi)的一點,使得,且,求解析。

31、第24章抽屜原理和容斥原理24.1抽屜原理24.1.1在任意的61個人中,至少有6個人的屬相相同解析因為一共有12種屬相,把它看作12個抽屜,根據(jù)抽屜原理知,至少有6個人的屬相相同評注抽屜原理又稱鴿籠原理或狄里克雷原理這一簡單的思維方式在解。

32、2.4根式及其運算2.4.1化簡:1;2;3解析1直接計算不是好辦法注意到,于是故2直接逐步展開太麻煩,觀察到式中因式都是,只不過符號不同而已于是,我們將一些項適當組合,利用平方差公式3,所以,2.4.2化簡:1;2是自然數(shù);3;4,解析1。

33、第26章 離散量的最大值和最小值問題26.1.1 某個籃球運動員共參加了10場比賽,他在第6第7第8第9場比賽中分別得了231411和20分,他的前9場比賽的平均分比前5場比賽的平均分要高,如果他的10場比賽的平均分超過18分,問:他在第1。

34、第13章 正弦定理與余弦定理13.1.1 已知點是內(nèi)一點,使得.求證:解析 如圖,設的三邊為,對應角分別為,同理,由正弦定理,故,同理,于是.13.1.2在的及邊上分別取點,使,求的所有內(nèi)角.解析 如圖,易知,故.又由正弦定理,于是易見,故。

35、第5章 不等式5.1 一元一次不等式組5.1.1已知,且,試比較與的大小.解析 首先解關于的方程得.將代入不等式得,即.又因為,所以5.1.2解關于的不等式.解析 由題設知,去分母并整理得.當,即時,當,即時,無解;當,即時,評注 對含有字。

36、第25章 染色問題25.1.1圓周上等間距地分布著27個點,它們被分別染為黑色或白色今知其中任何2個黑點之間至少間隔2個點證明:從中可以找到3個白點,它們形成等邊三角形的3個頂點解析我們將27個點依次編號,易知它們一共可以形成9個正三角形 。

37、第29章 圖論初步29.1.1 某大型晚會有2009個人參加,已知他們每個人至少認識其中的一個人證明:必有一個人至少認識其中的二個人解析 2009這個數(shù)目較大,我們先考慮:某小型晚會有5人參加,已知他們每個人至少認識其中的一個人證明:必有一。