4、為其一銳角的直角三角形．如圖，過作交于，使，則．
又
=
所以，
，
．
作于，則，故．
7．1．7★已知，求的值．
解析 由兩邊平方得
．
又，所以
，
得
．
評注 （1）當(dāng)已知與之間和或差的值時，常?？紤]運(yùn)用轉(zhuǎn)化問題．
（2）總結(jié)此題解答過程，該問題實(shí)際上是讀者都熟悉的問題：
已知，求的值．
這里用三角函數(shù)式、來替代、，變化了一下問題的形式．因此，在解題時，弄清問題的本質(zhì)是非常重要的．
7．1．8★已知為實(shí)數(shù)，且、是關(guān)于的方程的兩根．求的值．
解析 由根與系數(shù)的關(guān)系知．則有．
7．1．9★★設(shè)、是一個直角三角形的兩個銳角，滿足．求及的值．
解
5、析 由于，故由互余關(guān)系得
．
因此條件即為
， ①
將上式平方，得
，
由正、余弦的平方關(guān)系，即有，所以
，
因、均為正數(shù)，故．因此由上式得
， ②
由①、②得，，故．
評注 本題也可如下解答：由①得
，
兩邊平方，得
， ③
因，代入上式并整理，得
， ④
解得．因，故只有．由此及①得．
7．1．10★若存在實(shí)數(shù)和，使得
求實(shí)數(shù)的所有可能值．
解析 把兩式相加，得，解得，或（舍去）．
當(dāng)時，，滿足方程．故．
7．1．11★★已知關(guān)于的一元二次方程
的兩個根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦，求實(shí)數(shù)的值．
解析 設(shè)方程的兩個實(shí)根
6、、分別是直角三角形的銳角、的正弦．則
，
又，，
所以．
化簡得，解得或23．檢驗(yàn)，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
．
所以．
評注本題是三角函數(shù)與一元二次方程的綜合，基本解法是利用韋達(dá)定理和列方程求解．要注意最后檢驗(yàn)方程有無實(shí)數(shù)根．
7．1．12★★已知方程的兩根是直角三角形的兩個銳角的正弦，求．
解析 根據(jù)韋達(dá)定理，有
并且由于其兩根是直角三角形的兩個銳角的正弦，所以又有．
于是有．
解得．
7．1．13★★★若直角三角形中的兩個銳角、的正弦是方程的兩個根；
（1）那么，實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足哪些條件？
（2）如果、滿足這些條件，方程的兩個根是否等于直角三角形的兩個銳角、的正弦
7、？
解析 （1）設(shè)、是某個直角三角形兩個銳角，、是方程的兩個根，則有
． ①
由韋達(dá)定理，,．又，，于是，．
由于．所以，，
所以
，
即．
由①得，則．
故所求條件是
，，． ②
（2）設(shè)條件②成立，則，故方程有兩個實(shí)根：
，
．
由②知，又，
所以，故．
又，故．
所以，、為直角三角形兩個銳角的正弦．
評注 一般地，有，．即在中，，．
7．1．14★★已知方程的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，試求的值．
解析 設(shè)題中所述的兩個銳角為及，由題設(shè)得
因?yàn)?，?
①式兩邊平方，并利用恒等式，得．
再由②得，
解得．
由，
8、及②知．
所以．
7．1．15★★不查表，求的四種三角函數(shù)值．
解析 、、這些特殊角的三角函數(shù)值，我們可以利用含有這些特殊角的直角三角形的幾何性質(zhì)及勾股定理直接推出．同樣，角的三角函數(shù)值，也可以利用直角三角形的性質(zhì)將其推出．
如圖所示．在中，，，延長到，使，則
．
設(shè)，則，，，所以，
所以
．
所以
，
，
，
．
評注 將角的三角函數(shù)求值問題，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切?，將它轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)問題，這種將新的未知問題通過一定途徑轉(zhuǎn)化為舊的已解決了的問題的方法，是我們研究解決新問題的重要方法．根據(jù)互余三角函數(shù)關(guān)系式，我們很容易得到角的四種三角函數(shù)值．
7．1．16★
9、★求角的正切值（不查表，不借助計算器）．
解析 ，所以設(shè)法構(gòu)造一個含角的直角三角形，用定義求值．
如圖，中，，，延長到，使，則．設(shè)，有，．
故．
7．1．17★★求的值．
解析 構(gòu)造一個頂角為的等腰，，如圖，作內(nèi)角平分線則，設(shè)，．
由于，，故，而∽（），故，故，有（舍去）．
再作于H，則，．
所以．
評注 本題所構(gòu)造的等腰三角形是圓內(nèi)接正十邊形的相鄰頂點(diǎn)與圓心確定的三角形，利用它可以求出半徑為的圓內(nèi)接正十邊形的邊長．
7．1．18★已知直角三角形中，，，求證：．
解析 因?yàn)?，所以．從而?
又，所以
，
即．
7．1．19★★在中，、、分別是角、、的對邊，且
10、，求．
解析 依題意，可將邊轉(zhuǎn)化為角．
設(shè)，則
，，．
于是題中條件化為
．
令上述比值為，那么
，
，
．
所以有，，，從而得．
7．1．20★★★若為三角形的最小內(nèi)角，試求關(guān)于的方程
的所有實(shí)根．
解析 原方程顯然有根，再求方程
①的實(shí)根．
為三角形最小內(nèi)角，則，所以．
方程①可整理變形為
，
，
．
令，
由知恒大于零，即不存在使方程①成立的實(shí)數(shù)．
故原方程僅有一個實(shí)根．
7．1．21★★已知函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)都有，且是三角形的一個內(nèi)角，求的取值范圍．
解析 由于方程沒有實(shí)數(shù)根，．
并根據(jù)，可以得到
．
因此或．
由于，所以．
11、
7．1．22★★已知、是鈍角，求證：
（1）關(guān)于的方程
①有兩個不相等的實(shí)根；
（2）若是方程①的根，則也是方程①的根．
解析 （1）因是鈍角，故，于是，
所以，方程①有兩個不相等的實(shí)根．
（2）設(shè)是方程①的另一根，則．由韋達(dá)定理，得
， ②
． ③
由于，故．由②、③兩式得
．
所以
，即也是①的根．
7．1．23★★已知，對于任意實(shí)數(shù)，都有，且是三角形的一個內(nèi)角，求的取值范圍．
解析 因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)，二次函數(shù)y恒大于0，所以，并且
，所以，整理得．
因，故,．
所以．
7．1．24★★若、為實(shí)數(shù)，，為銳角，求證：的絕對值不大于1．
解析
12、由，，得，
即，加一項(xiàng)減一項(xiàng)，得
．
即，
因?yàn)椋?
所以，
故．
7．1．25★已知，求證：（1）；（2）；（3）．
解析 用定義將三角比表示成直角三角形對應(yīng)邊的比，然后利用邊的不等關(guān)系證明．
作，，使，作于，于．
由得射線與線段相交，設(shè)交于，則，所以在的延長線上，所以在的延長線上，得．
又，，所以．
因?yàn)?，，，，，，所以，，?
7．1．26★★ 已知，求證：
解析1 構(gòu)造，，，，如圖，則，．
（1）由+，得；
（2）作高，中線，則，，（以中線，高線重合為面積最大）．
而，所以．
有，即．
又，所以．
由（1），（2）知，．
解析2 ．
又由
13、，得，
故有，由，知．
評注 解析1同時也證明了“斜邊給定的直角三角形中，等腰直角三角形的面積最大”這一結(jié)論．
7．1．27★★★證明：對于任何實(shí)數(shù)、，有．
解析 因?yàn)閷τ谌我狻?，都?
，，
所以．
而函數(shù)在上的值是隨著的增加而增加的，故．
7．1．28★★★若，，試證明不能介于及之間．
解析 假設(shè)，則有．
由題意知，，則，即
，
又，從而
，
即，所以假設(shè)不成立，即命題成立．
7．1．29★★★設(shè)，且，，求證：．
解析 本題如果直接用代數(shù)方法，通過代數(shù)式的運(yùn)算證明等式成立，比較復(fù)雜．根據(jù)已知條件，聯(lián)想到，因此可設(shè)，，則將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，利用三角函數(shù)有關(guān)公式
14、進(jìn)行變形，這樣會簡便一些．
設(shè)，，則
．
評注 在一些代數(shù)等式的證明中，如果已知條件
或，則可設(shè)或
從而將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角等式的證明問題，我們稱這種轉(zhuǎn)化為三角代換法．由于三角函數(shù)的公式較多，
因此化為三角式后，運(yùn)算化簡常比較方便．
§7．2解直角三角形
7．2．1★★如圖，在直角三角形中，，是的平分線，且，，求的三邊長．
解析 由角平分線想到對稱性，考慮過作，交于，則由得．
在直角三角形中，
，則，所以
，
，
．
故的三邊長分別為、，．
7．2．2 ★★在中（如圖），、是斜邊的三等分點(diǎn)，已知，．試求的長．
解析 作于，于；于，于．令
，
15、．
則，．
在和中，由勾股定理，得，及，
兩式相加得，．
所以．
7．2．3★★如圖，中，，，，是的平分線，求點(diǎn)到直線的距離．
解析 已知中，，要求，可求出的正弦值，而，因而可先求出的長．
作于，有，．
設(shè)，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)有，則．
中，，即，得．
，，，故．
7．2．4★已知是非等腰直角三角形，，在所在直線上取兩點(diǎn)、使，連結(jié)、．已知．求的值．
解析 如圖，過、兩點(diǎn)作、分別交、于、．易知
，，
，，
從而，．
因?yàn)?，則．
7．2．5★★設(shè)有一張矩形紙片（如圖），，．現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，試求折痕的長．
解析 設(shè)是矩形對角線的中點(diǎn)．連結(jié)
16、，由折疊知，故，即．由，，得，從而
．
在中，，故．
又由得，
所以，．
7．2．6★★已知三角形兩邊之和是10，這兩邊的夾角為，面積為，求證：此三角形為等腰三角形．解析由題意可設(shè)，，則
，
即，
得．
于是，由，，得、是方程的兩個根．而此方程有兩個相等的根，所以，即此三角形為等腰三角形．
評注 也可以直接由
，得．
7．2．7★★在中，，其周長為，且已知斜邊上的中線長為1．如果，求的值．
解析 由于斜邊長是斜邊上中線長的2倍，故．于是，由題設(shè)及勾股定理，得
把①式兩邊平方，得
．
再由②得 ． ③
由①、③知，、分別是二次方程的兩根，解得．
因
17、為（即），故，，
所以．
7．2．8★★已知、、分別是中、，的對邊，且、是關(guān)于的一元二次方程的兩個根．
（1）判斷的形狀；
（2）若求、、．
解析 （1）根據(jù)題意，嘗試從邊來判斷．
因?yàn)椋?
所以，
從而知是直角三角形，．
（2）由，，得．
令，，則，于是，得，從而有
，，．
7．2．9★★在中，，，且兩直角邊長滿足條件．
（1）證明：；
（2）當(dāng)取最小值時，求中最小內(nèi)角的正切值．
解析（1）由題設(shè)得
消去，得，故實(shí)數(shù)滿足二次方程
． ①
所以．
因?yàn)椋裕?
（2）當(dāng)時，方程①只有一個實(shí)數(shù)根，從而．由，知的最小內(nèi)角為，其正切值．
7．2．10
18、★★如圖所示．，，，且．求的值．
解析 因?yàn)椋阎?，因此，只需求出與的比值即可．
不妨設(shè)，則．在中，，，所以．
在中，，，所以
在中，，， ，所以．
7．2．11★★如圖所示．在銳角中，，，且．求．
解析 作于，設(shè)，在中，因?yàn)椋裕?
所以，所以，．
在中，因?yàn)椋?，所以?①
因?yàn)椋?
所以，
所以．
由①知．
評注 在一般三角形中，在適當(dāng)位置作高線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解，這是解斜三角形常采用的方法．
7．2．12★★如圖所示．在中，，，，．求及．
解析1 作于，設(shè)，，則有
②-①得，所以．
因?yàn)?，所以，所以，，所以?
解析2 在中，，
19、，，由余弦定理得，所以，
所以，從而．在中，由正弦定理得,
所以A．
7．2．13★★如圖，已知中，，是的中點(diǎn)，，．求的長．
解析 作B，交的延長線于，設(shè)．則，
由，是的中點(diǎn)，知．
而，得．
即，所以．
評注 通過構(gòu)造直角三角形，使用三角函數(shù)、勾股定理等知識將邊角聯(lián)系起來是求線段長的常用方法．
7．2．14★★如圖，中，，于，于，于．
求證：．
解析 ，而，，，所以
，
又，所以，所以．
又，所以．
評注 本題直角三角形較多，直接用相似三角形往往找不好關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)作邊的轉(zhuǎn)化，使關(guān)系明確．
7．2．15★★如圖，在中，，，是邊的中點(diǎn)，垂直于且交
20、于．
求證：．
解析 作于，不妨設(shè)，因，，所以．
又．．
又，，，而，故．
由于，而，，，而，，，
即，又，，是銳角．
因此．
評注 利用解三角形的知識把結(jié)論中有關(guān)的線段用常數(shù)或適當(dāng)?shù)膮?shù)表示，通過計算證明幾何命題，這種方法稱為幾何題的三角證法．
7．2．16★★在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)為腰上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)在底邊上，且，求證：．
解析 如圖，過點(diǎn)作，垂足為．
因?yàn)?，所以，從而知∽?
得．
又因?yàn)?，則令，那么．
于是，得．
故．
7．2．17★★★如圖，在直角三角形中，，，，是上一動點(diǎn)，在上，從點(diǎn)開始向運(yùn)動且保持，試寫出與點(diǎn)運(yùn)動時到點(diǎn)距離的關(guān)系式．
21、
解析 如圖，過點(diǎn)作，交直線于，則∽，得．
由，得，則，得，．
又∽，則，即，得．
故．
7．2．18★★如圖（a），正方形的邊長，、分別是、的中點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、，求的面積．
解析 記正方形的邊長為．由題設(shè)易知∽，則有，
得，所以．
在直角中，，，則，于是．
由題設(shè)可知≌，所以，．
于是，，
從而．
又，所以．
因，故．
7．2．19★★已知、、是三邊的長，其中，且方程兩根的差的絕對值等于．求中最大角的度數(shù)．
解析 由已知條件可知，這是一個等腰三角形，且底邊最長，則最大角為，求出中的底角（或）即可．我們可以先求角（或）的三角函數(shù)值，再確定角的大小，如圖所示．由
22、圖知
，
則關(guān)鍵是求出與的比值．通過一元二次方程中的條件，可得到關(guān)于、的方程，則問題得到解決．
因?yàn)椋苑匠虨椋?
設(shè)、為方程的兩個根，則有，．
因?yàn)?，，即?
所以，，，所以，
所以，所以．
評注 這是一道方程與幾何知識的綜合題．三角形的邊是一元二次方程的系數(shù)，利用方程條件導(dǎo)出邊的關(guān)系，由邊的關(guān)系再進(jìn)一步求角的大?。?
7．2．20★★在中，，則；反過來，如果在中，，則是直角三角形．
解析 （1）作角平分線（圖略），則在中，．
由角平分線的比例性質(zhì)，有．
所以，即．
所以．
所以．
（2）我們證明：或是直角．設(shè)，下證．
如圖，作的角平分線，在直線上取一點(diǎn)，使．
23、由題設(shè)有
，所以
又由（1）中的計算，，所以，作于，則
．
所以．
7．2．21★★如圖，是圓的直徑，弦，與相交于，已知，試求．
解析 由，得∽．
所以．
連結(jié)，則．故由，有，又，所以．
7．2．22★★★如圖，延長銳角的高、、分別交外接圓于、、．設(shè)垂心為外接圓半徑為．求證：
（1）；
（2）．
解析 （1）由于∽，所以．
在中，，所以．
同理，，于是左邊．
由于、、、共圓，所以．在直角三角形中，，所以．
同理．
相加得．
由于是的垂心，易證，所以，．
同理，．
相加后得右邊．
（2）由于是垂心，所以，可得≌．
由于，
所以
．
同
24、理可證
，．
相加后得
，
所以
．
7．2．23★★如圖所示，已知電線桿直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上．如果與地面成，，，，求電線桿的長（精確到）．
解析 如圖，延長交地面于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
因?yàn)?，，，所以，?
因?yàn)椋?
所以．
7．2．24★如圖，某島周圍42海里內(nèi)存在著大量的暗礁．現(xiàn)在一輪船自西向東以每小時15海里的速度航行，在、處測得在北偏東，2小時后在處測得在正東北方向，試問輪船是否需要改變航行方向行駛，才能避免觸礁危險，說明理由．
解析 若設(shè)船不改變航向，與小島的最近距離為．
則有，解得．
因此需要改變航向，以免觸礁．
7．2．25★★★如圖，某污水處理站計劃砌一段截面為等腰梯形的排污渠，如果渠深為，截面積為，試求當(dāng)傾角為多少時造價最?。?
解析 要使造價最小，只需考慮最小，故首先設(shè)法用、、表示
．
．
有，則．
因、為常數(shù)，則要求的最小值，只需求的最小值．
設(shè)，兩邊平方整理得
，
．
由上式知，解得，故當(dāng)時，有最小值．
當(dāng)時，，從而得，此時排污渠造價最?。?
25
初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第7章 三角函數(shù)試題（無答案） 新人教版
