初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第四篇 組合 第24章 抽屜原理和容斥原理試題 新人教版

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1、 第24章 抽屜原理和容斥原理 24.1 抽屜原理 24.1.1★在任意的61個(gè)人中，至少有6個(gè)人的屬相相同． 解析 因?yàn)橐还灿?2種屬相，把它看作12個(gè)抽屜，，根據(jù)抽屜原理知，至少有6個(gè)人的屬相相同． 評(píng)注 抽屜原理又稱鴿籠原理或狄里克雷原理．這一簡(jiǎn)單的思維方式在解題過(guò)程中卻可以有很多頗具匠心的運(yùn)用．抽屜原理常常結(jié)合幾何、整除、數(shù)列和染色等問(wèn)題出現(xiàn)．許多有關(guān)存在性的證明都可用它來(lái)解決． 抽屜原理1 如果把件東西任意放入個(gè)抽屜，那么必定有一個(gè)抽屜里至少有兩件東西． 抽屜原理2 如果把件東西任意放人個(gè)抽屜，那么必定有一個(gè)抽屜里至少有女件東西，這里 其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)

2、，例如，，等等． 24.1.2★從2，4，6，…，30這15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，證明：其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34． 解析 把2，4，6，…，30這15個(gè)數(shù)分成如下8組（8個(gè)抽屜）； （2）（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）． 從2，4，6，…，30這15個(gè)數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，即是從上面8組數(shù)中取出9個(gè)數(shù)．抽屜原理知，其中一定有兩個(gè)數(shù)取自同一組，這兩個(gè)數(shù)的和就是34． 24.1.3★★在1，2，3， …，100這100個(gè)正整數(shù)中任取11個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)的比值不超過(guò)； ，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9

3、，10}， {11，12，…，16}，{17，18，…，25}， {26，27，…，39}，{40，41，…，60}． {61，62，…，91}，{92，93，…，100}． 從1，2，…，100中任取11個(gè)數(shù)，即是從上面10組中任取11個(gè)數(shù)，由抽屜原理知，其中一定有兩個(gè)數(shù)取自同一組，這兩個(gè)數(shù)的比值不超過(guò)． 24.1.4★求證：任給五個(gè)整數(shù)，必能從中選出三個(gè)，使得它們的和能被3整除． 解析 任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0、1、2，分別構(gòu)造3個(gè)抽屜：{0}、{1}、{2}．（1）若這五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中，從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè)，其和必能被3整除．（2）若這5

4、個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中，根據(jù)抽屜原理，其中一個(gè)抽屜必包含有個(gè)余數(shù)，而這三個(gè)余數(shù)之和或?yàn)?，或?yàn)?，或?yàn)?，故所對(duì)應(yīng)的3個(gè)整數(shù)之和是3的倍數(shù)．（3）若這5個(gè)余數(shù)都能分布在其中的一個(gè)抽屜中，易知必有3個(gè)整數(shù)之和能被3整除． 24.1.5★★從1，2，3，…，20中，至少任取多少個(gè)數(shù)，才能使得其中一定有兩個(gè)數(shù)，大的數(shù)是小的數(shù)的倍數(shù)． 解析 從1，2，…，20中取11，12，…，20這10個(gè)數(shù)，其中沒(méi)有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．把1，2，…，20分成如下10組：{1，2，，，}，{3，，}，{5，，}，{7，}，{，}，{11}，{13}，{13}，{15}，{17}，{19}，從中任取11個(gè)

5、數(shù)，一定有兩數(shù)取自同一組，于是大數(shù)便是小數(shù)的倍數(shù)． 所以，至少任取11個(gè)數(shù)才能滿足題意． 24.1.6★★在不超過(guò)100的正整數(shù)中任取55個(gè)不同的數(shù)，在這55個(gè)數(shù)中： （1）是否一定有兩個(gè)數(shù)的差等于11？ （2）是否一定有兩個(gè)數(shù)的差等于9？ 解析 （1）不一定，例如，，，，這55個(gè)數(shù)中，任意兩數(shù)的差都不等于11． （2）一定．把1，2，…，100分成如下54組： {1，10}，{2，11}，…，{9，18}，{19，28}，…，{81，90}，{91，100}，{92}，{93}，…，{99}． 從中任取55個(gè)數(shù)，一定有兩個(gè)數(shù)取自同一組，它們的差等于9． 24.1.7★★證明

6、：在任意的52個(gè)正整數(shù)中，一定可以找到兩個(gè)數(shù)、，使得或能被100整除． 解析 把這52個(gè)正整數(shù)都除以100，考慮52個(gè)余數(shù)，若其中有兩個(gè)相同，則它們的差能被10整除，若其中任意兩個(gè)都不相同，則它們的差能被100整除，若其中任意兩個(gè)都不相同，把0，1，…，99分成如下51組： {1，99}，{2，98}，…，{49，51}，{0}，{50}． 從中任取52個(gè)數(shù)，車琮有兩數(shù)（的余數(shù)）取自同一給，這兩數(shù)的和或差能被100整除． 24.1.8★★某學(xué)校的初三年組的同學(xué)要從8名候選人中投票選舉三好學(xué)生，規(guī)定每人必須從這8名候選人中任意選兩名，那么至少有多少人參加投票，才能保證必有不少于5名同學(xué)投

7、了相同的兩個(gè)候選人的票？ 解析 從8個(gè)人中任意選2人，不同的選法共有 （種）， 即有28個(gè)抽屜．由抽屜原理，當(dāng)投票的人不少于 人 時(shí)，就能保證必有不少于5名同學(xué)投了相同兩個(gè)候選人的票． 而當(dāng)112個(gè)人投票時(shí)，不一定有不少于5名同學(xué)投了相同兩個(gè)候選人的票． 所以，到少有113人投票時(shí)，能保證必有不少于5名同學(xué)投了相同兩個(gè)候選人的票． 24.1.9★在1，11，111，…，，…，中，是否有2007的倍數(shù)？ 解析 答案是肯定的． 考慮以下2007個(gè)數(shù)： 1，11，111，…，， 若它們都不是2007的倍數(shù)，則它們除以2007所得的余數(shù)中一定有兩個(gè)是相同的，不妨設(shè)為和，于是

8、， ． 而（2007，）=1，所以，，這與1，11，111，…，都不是2007的倍數(shù)矛盾． 所以，在1，11，111，…，，…中，一定有2007的倍數(shù)． 24.1.10★★從任意給定的1999 個(gè)自然數(shù)中總可以找到個(gè)數(shù)，使得它們的和能被1999整除． 解析 設(shè)1999個(gè)自然數(shù)為，，…，，且構(gòu)造下列2000個(gè)和： 0，，，，…， ． 因?yàn)槿我庖粋€(gè)自然數(shù)被1999除后，所得的余數(shù)可能是0，1，2，…，1998，共1999種．所以可將上述 2000個(gè)和按照被1999除后所得不同的余數(shù)分成1999個(gè)集合．由抽屜原理可知，至少有兩個(gè)和，不妨 設(shè)為 ， ， 它們屬于同一個(gè)集合，即

9、它們分別被1999除后所得的余數(shù)相同，那么它們的差 能被1999整除．從而本題得證． 24.1.11★★把圓周分成12段，將l，2，3，…，11，12這12個(gè)數(shù)任意寫(xiě)在每一段內(nèi)，使每一段恰好有一個(gè)數(shù)字．證明：一定存在連續(xù)的三段，它們的數(shù)字和至少是20． 解析 如果記第1小段內(nèi)填寫(xiě)的數(shù)是，第2小段內(nèi)填寫(xiě)的數(shù)是……第12小段內(nèi)填寫(xiě)的數(shù)是， 那么三個(gè)相鄰小段填寫(xiě)的數(shù)字和可以有 ，，， ，，， ，，， ，， 這12種，并且12種情況中出現(xiàn)的所有數(shù)字和為 ． 由抽屜原理可知，至少有某個(gè)相鄰的三段，它們的數(shù)字和至少是 ． 值得注意：本題中的三個(gè)相鄰小段也可分成，，，這4種

10、情況，這時(shí)它們的數(shù)字和為 ． 由抽屜原理可知，至少有某個(gè)相鄰的三段，它們的數(shù)字和至少是 ． 24.1.12★★在個(gè)連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，中，任取出個(gè)數(shù)．證明：在這個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)． 解析 將這個(gè)連續(xù)自然數(shù)分成集合： {1，，，，，，，…}， {3，，，，，，…}， {5，，，，，…}， …… A{}． 由此可見(jiàn)，這個(gè)數(shù)沒(méi)有遺漏地被放在個(gè)集合中，并且同一個(gè)數(shù)決不會(huì)出現(xiàn)在兩個(gè)不同的集合中．因此，根據(jù)抽屜原理可知，不論用何種方式從中取出個(gè)數(shù)時(shí)，必定有至少兩個(gè)數(shù)是出自同一個(gè)集合的，而同一個(gè)集合的兩個(gè)數(shù)，大數(shù)必定是小數(shù)的倍數(shù)． 24.1.13★★從

11、1，2，…，這個(gè)正整數(shù)中任取個(gè)數(shù)，證明其中一定存在兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的． 解析 把1，2，…，這個(gè)焉整數(shù)分成如下組： {1，2}，{3，4}，…，{，}． 從這組中任取個(gè)數(shù)，由抽屜原理知，其中一定有兩個(gè)數(shù)取自同一組，同一組中的兩個(gè)數(shù)是相鄰的正整數(shù)，從而它們是互質(zhì)的． 24.1.14★★把1，2，…，10按任意次序排成一個(gè)圓圈． (1)證明：一定可以找到三個(gè)相鄰的數(shù)，它們的和不小于18； (2)證明：一定可以找到三個(gè)相鄰的數(shù)，它們的和不大于15． 解析 (1)設(shè)這10個(gè)數(shù)在圓周上排列為1，，，…，如圖（a）．由于 ， 所以、、這三個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)數(shù)不小于． （2）設(shè)這10個(gè)數(shù)

12、在圓周上排列為，，，…，如圖（b）．由于 ， 所以，、、這三個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)數(shù)不大于． 24.1.15★在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，任取7個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線．證明：其中必有三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積不超過(guò)． 解析 如圖所示，將正三角形的中心與三個(gè)頂點(diǎn)連起來(lái)把正三角形分成三個(gè)小三角形(3個(gè)抽屜)．由抽屜原理知，必定有一個(gè)小三角形的內(nèi)部或邊界上至少有個(gè)點(diǎn)．這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積不超過(guò)該小三角形的面積，即不超過(guò) ． 24.1.16★★在的長(zhǎng)方形中，任意放置6個(gè)點(diǎn)，證明：一定可以找到兩個(gè)點(diǎn)，它們的距離不大于． 解析 我們要設(shè)法把的長(zhǎng)方形分成5個(gè)部分(5個(gè)抽屜)，而且每部分中任意兩點(diǎn)的

13、距離不大于． 如圖所示，把的矩形分成5個(gè)部分．由勾股定理可以算得每個(gè)部分的任兩點(diǎn)之間的距離不大于 ．從而命題得證． 24.1.17★★求證：在任何凸邊形中，總有一條對(duì)角線不與任何一條邊平行． 解析 凡是與某條邊平行的對(duì)角線，稱之為“好對(duì)角線”，由于對(duì)每一條邊，最多有條對(duì)角線與之平行，因此凸邊形的“好對(duì)角線”至多有條，但凸邊形的對(duì)角線總數(shù)為．于是由抽屜原理，知必定有某條對(duì)角線不與任何邊平行． 對(duì)于凸邊形，不難構(gòu)造例子使所有對(duì)角線均為“好對(duì)角線”． 24.1.18★★證明：在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有3個(gè)人以前彼此不相識(shí)． 解析 在平面上用6個(gè)點(diǎn)、、、、

14、、分別代表參加集會(huì)的6個(gè)人．如果兩人以前彼此認(rèn)識(shí)，就在代表他們的兩點(diǎn)間連一條實(shí)線；否則連一條虛線．考慮點(diǎn)與其余各點(diǎn)連線，，…，，它們的線形不超過(guò)2種．根據(jù)抽屜原理，可知其中至少有條連線同為實(shí)線，或同為虛線．不妨設(shè)、、均為實(shí)線．如果、、三條連線中有一條(不妨設(shè)為)也是實(shí)線，那么三角形三邊均為實(shí)線，說(shuō)明、、代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí)：如果、、三條連線均為虛線，那么三角形三邊均為虛線．說(shuō)明、、代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)．不論哪種情形發(fā)生，都符合問(wèn)題的結(jié)論． 24.1.19★★★空間有6點(diǎn)，任何3點(diǎn)都是一個(gè)不等邊三角形的頂點(diǎn)，求證：這些三角形中的一個(gè)三角形的最短邊同時(shí)是另一個(gè)三角形的最大邊． 解

15、析 設(shè)，，…，是空間中6個(gè)已知點(diǎn)．在每個(gè)三角形中，把最短邊涂成紅色，于是，每個(gè)三角形中必有一條邊為紅色，其余的邊未涂色．從每個(gè)點(diǎn)可作5條線段與其余已知點(diǎn)相連．按抽屜原理，這5條線段中，或者至少有3條線段已被涂色，或者至少有3條線段還未涂色． 如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)的5條線段中至少有3條(例如，設(shè)為線段、、)涂紅，那么，在由這3條線段的另一頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的中至少須有一邊(最短邊)涂紅，設(shè)是邊，那么的3邊就都被涂紅了． 如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)的線段中至少有3條未被涂紅（例如設(shè)為線段、、），由于、、中每個(gè)都至少有一邊是紅的．因此，只能是線段、、全是紅的，即的各邊都是紅色的． 24.1.20★★將正十三邊形的每個(gè)頂點(diǎn)染成黑

16、色或染成白色，每頂點(diǎn)染一色．求證：存在三個(gè)同色頂點(diǎn)， 它們剛好成為一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)． 解析 設(shè)13個(gè)頂點(diǎn)依次為，，…，，．若13個(gè)頂點(diǎn)都染成黑色或都染成白色，則結(jié)論顯然成立．故只需考慮13個(gè)頂點(diǎn)中有染黑色也有染白色的情形．這時(shí)必有相鄰兩頂點(diǎn)同色，不妨設(shè)、同色，現(xiàn)考慮、、、、這五個(gè)頂點(diǎn)，由抽屜原理知其中必有三頂點(diǎn)同色，這又分為下列三種情形： （1）、、、中有三點(diǎn)同色，又、同色，故、、同色或、、同色．這時(shí)或?yàn)槿旤c(diǎn)同色的等腰三角形．（2）、、同色，這時(shí)為三頂點(diǎn)同色的等腰三角形．（3）、、同色，這時(shí)為三頂點(diǎn)同色的等腰三角形． 24.1.21★★15個(gè)席位同等地圍繞著圓桌安排，席上有15個(gè)

17、客人的名片，客人們沒(méi)有注意這些名片， 直到他們坐下來(lái)，才發(fā)覺(jué)沒(méi)有一個(gè)人坐在他自己的名片前面．證明：可以轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌使得至少有兩個(gè)客人同時(shí)對(duì)號(hào)入座． 解析 對(duì)于每個(gè)客人，都有一種轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌的方式，使他對(duì)上自己的名片．現(xiàn)在先把席位按逆時(shí)針?lè)较蛞来斡?到15編號(hào)，每按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一次圓桌，使名片對(duì)到下一個(gè)席位上，即1號(hào)上的名片對(duì)到2號(hào)席位，2號(hào)上的名片對(duì)到3號(hào)席位……15號(hào)上的名片對(duì)到1號(hào)席位．那么按這種方式轉(zhuǎn)動(dòng)15次后，所有的名片又對(duì)到初始的席位上．所以，一共有14種有效的轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)橛?5個(gè)客人，根據(jù)抽屜原理，必定有某種轉(zhuǎn)動(dòng)至少可容許有兩個(gè)客人對(duì)上號(hào)． 24．1．22★★在52張撲克牌上任意寫(xiě)上

18、互不相同的正整數(shù)．證明：一定存在四張撲克牌，將其上的四個(gè)數(shù)僅用減號(hào)、乘號(hào)和括號(hào)適當(dāng)組合成一個(gè)式子，其值是1989的倍數(shù)． 解析 因?yàn)椋鴮?duì)任給的52個(gè)互異的正整數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)被51除后的余數(shù)相同，設(shè)這兩個(gè)數(shù)為、，且，那么 （為整數(shù)）． 在取出、后的50個(gè)互異的正整數(shù)中，又至少有兩個(gè)數(shù)，不妨設(shè)、，且，它們分別被39除后的余數(shù)相同，即 （為整數(shù)）． 因此，在給出的52個(gè)互異的正整數(shù)中，一定有四個(gè)整數(shù)、、、組成一個(gè)式子： ． 24.1.23★★★證明在任意11個(gè)無(wú)窮小數(shù)中，一定可以找到兩個(gè)小數(shù)，它們的差或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字 0，或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字9． 解析 由于每一個(gè)數(shù)位上

19、的數(shù)字只有0，1，2，…，9這10種情況，因此11個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)在這個(gè)數(shù)位上有相同的數(shù)字． 記11個(gè)無(wú)窮小數(shù)為，，…，，把這11個(gè)數(shù)分成如下55個(gè)二元組(每?jī)蓚€(gè)一組)： ，，…，， ，…，． 這55個(gè)二元組作為55個(gè)抽屜，現(xiàn)將無(wú)窮多個(gè)數(shù)1，2，3，…放進(jìn)這些抽屜，規(guī)則是：若小數(shù)點(diǎn)后第 位上與相同，則數(shù)就放入中．例如，與的第7位上的數(shù)相同，則7就放入 這個(gè)抽屜里．由抽屜原理知，這55個(gè)(有限個(gè))抽屜中必有一個(gè)抽屜，它含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)，不妨設(shè)(， )這個(gè)抽屜里含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)，這就說(shuō)明，這兩個(gè)無(wú)窮小數(shù)有無(wú)窮多位相同． 考慮與的差，在數(shù)字相同的數(shù)位上，差的數(shù)字為0或9．由于0與9的總個(gè)

20、數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，因 此至少有一個(gè)出現(xiàn)無(wú)窮多次，從而與的差中，或者有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字0，或者有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字9． 評(píng)注 本題先后三次用了抽屜原理，請(qǐng)讀者仔細(xì)玩味． 24．1．24★★★一個(gè)書(shū)架有五層，從下到上依次稱為第1層，第2層，…，第5層．今把15冊(cè)圖書(shū)分放到書(shū)架的各層上，有些層可不放．證明：無(wú)論怎樣放法，書(shū)架每層上的圖書(shū)冊(cè)數(shù)，以及相鄰兩層上圖書(shū)冊(cè)數(shù)之和，這些數(shù)中至少有兩個(gè)是相等的． 解析 用表示第層所放的圖書(shū)冊(cè)數(shù)，，2，3，4，5．如果有某個(gè)，那么結(jié)論顯然成立．因此可設(shè)，，2，…，5．考慮下面兩種情況： (1)，，…，中有兩個(gè)數(shù)相等，則結(jié)論已經(jīng)成立． （2），，…，各不相等，因 ，

21、所以，，…，必各取1、2、3、4、5之一．但是，，，這4個(gè)數(shù)不可能同時(shí)包含7、8、9這三個(gè)數(shù)．事實(shí)上，若7、8、9都出現(xiàn)，則只可能是，，或，，．前者表示放5冊(cè)書(shū)的那一層與放2、3、4冊(cè)的各層均相鄰，不可能．后者表示放4、5冊(cè)書(shū)的兩層既要相鄰又要不相鄰，也不可能． 因此，下面9個(gè)數(shù)： ，，…，，，，，至多能取8個(gè)不同的值．由抽屜原理知，其中必有兩個(gè)是相等的，從而命題得證． 24.1.25★★★一個(gè)由個(gè)方格組成的正方形表格，其中填滿1，2，3，…，等數(shù)，且在任一行、任一列都能遇到所有這些數(shù)字．若表格中的數(shù)字關(guān)于對(duì)角線是對(duì)稱的，求證：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，在對(duì)角線上的那些方格中將會(huì)遇到所有的1，2，…，

22、這些數(shù)字． 解析 如圖，由于在表格的每一行、每一列都出現(xiàn)l，2，…，各數(shù)，所以任一行(或列)中，每個(gè)數(shù)只出現(xiàn)一次，于是表格中有個(gè)1，個(gè)2，…，個(gè)． 又由于整個(gè)表格關(guān)于對(duì)稱，因此除對(duì)角線上的數(shù)外，任何一個(gè)數(shù)都將在其對(duì)稱位置出現(xiàn)，如圖中，，，，，等數(shù)．因此除對(duì)角線外表格中1，2，…，等數(shù)各有偶數(shù)個(gè)． 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，表格中共有奇數(shù)個(gè)1，奇數(shù)個(gè)2，…，奇數(shù)個(gè)．所以對(duì)角線上出現(xiàn)1，2，…，， 且1到個(gè)數(shù)都必將出現(xiàn)，但對(duì)角線上只有個(gè)格子，因此，所有的數(shù)在對(duì)角線上都恰好出現(xiàn)一次． 24．1．26★★★一個(gè)半徑為1的圓內(nèi)或邊界上有6個(gè)點(diǎn)，求證：必定有兩點(diǎn)之間距離不大于1． 解析 不妨設(shè)6個(gè)點(diǎn)為、

23、、、、、．如圖，設(shè)、、、、、將六等分，且可讓落在上（旋轉(zhuǎn)可達(dá)）． 對(duì)于六個(gè)扇形（圓心角，半徑為1），其中一個(gè)內(nèi)有兩點(diǎn)（包括邊界）、，則．這是因?yàn)?，（這里不妨設(shè)）． 于是由前知，、、、、已不能落在扇形與上，于是這五個(gè)點(diǎn)均落在剩下的四個(gè)扇形中，由抽屜原理，知必有兩點(diǎn)落在同一扇形內(nèi)或邊界上，因此仍有距離不大于1，結(jié)論成立． 24.1.27★★★一個(gè)棋手為參加一次錦標(biāo)賽將進(jìn)行77天的集訓(xùn)，他每天至少下一盤(pán)棋，而每周至多下12 盤(pán)棋．證明一定存在一個(gè)正整數(shù)，使得他在這77天里有連續(xù)的一天恰好下了21盤(pán)棋． 解析 用表示這位棋手從第1天到第天(包括第天)下棋的總盤(pán)數(shù)，，2，…，77．由于每天

24、至少下一盤(pán)棋，所以 ． 又因?yàn)槊恐苤炼嘞?2盤(pán)棋，所以 ， 所以． 考慮下面154個(gè)正整數(shù)： ，，…，，，，…，． 其中最小的是，最大的不超過(guò)．因此這154個(gè)正整數(shù)中必定有兩個(gè)是相等的．由于 ， ， 所以必定存在，使得 ． ． 令，那么該棋手在第，，…，這連續(xù)的天中恰好下了21盤(pán)棋． 24.2 容斥原理 24.2.1★一個(gè)班有45個(gè)學(xué)生，參加數(shù)學(xué)課外小組的有30人，參加語(yǔ)文課外小組的有25人，并且每一個(gè)人都至少參加了一個(gè)課外小組．問(wèn)：這個(gè)班中參加了兩個(gè)課外小組的同學(xué)有多少個(gè)? 解析 我們畫(huà)一個(gè)圖幫助思考，如圖所示，畫(huà)兩個(gè)相交的圓，其中一個(gè)圓表示參加數(shù)學(xué)課外

25、小組的同學(xué)，另一個(gè)圓表示參數(shù)學(xué)課外小組語(yǔ)文課外小組加語(yǔ)文課外小組的同學(xué)，那么，兩個(gè)圓的內(nèi)部共有45個(gè)同學(xué)，兩個(gè)圓的公共部分就是參加了兩個(gè)課外小組的同學(xué)． 因?yàn)閰⒓訑?shù)學(xué)課外小組的同學(xué)有30人，參加語(yǔ)文課外小組的25人，但，這是因?yàn)閮蓚€(gè)課外小組都參加的同學(xué)被重復(fù)計(jì)算了兩次，所以，兩個(gè)課外小組都參加的同學(xué)有 （人）． 所以，這個(gè)班中參加了兩個(gè)課外小組的同學(xué)有10個(gè)． 評(píng)注 本題用的方法是容斥原理1． 容斥原理1：或的元素個(gè)數(shù)的元素個(gè)數(shù)的元素個(gè)數(shù)一既是又是的元素個(gè)數(shù)． 24．2．2★在1，2，…，100這100個(gè)正整數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)? 解析 在1，2，

26、…，100中，5的倍數(shù)有5，10，15，…，100共20個(gè)，7的倍數(shù)有7，14，21，…，98共14個(gè)，其中既是5的倍數(shù)又是7的倍數(shù)的數(shù)有35，70共2個(gè)．根據(jù)容斥原理1得，在1，2，…，100中，5或者7的倍數(shù)有 （個(gè)）． 從而，在l，2，…，100這100個(gè)正整數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)有 （個(gè)）． 24．2.3★某班40位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，答對(duì)第一題的有23人，答對(duì)第二題的有27人，這兩題都 答對(duì)的有17人，問(wèn)有多少個(gè)同學(xué)這兩題都不對(duì)? 解析 根據(jù)容斥原理l得：這兩題都不對(duì)的同學(xué)有 （人）． 24．2．4★某校對(duì)五年級(jí)100名同學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)興趣調(diào)查，結(jié)果有5

27、8人喜歡語(yǔ)文，有38人喜歡數(shù)學(xué)，有52人喜歡外語(yǔ)．而且喜歡語(yǔ)文和數(shù)學(xué)(但不喜歡外語(yǔ))的有6人，喜歡數(shù)學(xué)和外語(yǔ)(但不喜歡語(yǔ)文)的有4人，三科都喜歡的有12人，而且每人至少喜歡一科．問(wèn)有多少同學(xué)只喜歡語(yǔ)文?有多少同學(xué)喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)(但不喜歡數(shù)學(xué))? 解析 如圖所示，設(shè)喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)(但不喜歡數(shù)學(xué))的有人． 于是，喜歡數(shù)學(xué)和語(yǔ)文的有個(gè)人，喜歡數(shù)學(xué)和外語(yǔ)的有個(gè)人，喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)的有個(gè)人． 所以 ， 解得． 即喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)(但不喜歡數(shù)學(xué))的有14人． 所以，只喜歡語(yǔ)文的同學(xué)有 （人）． 所以，有26個(gè)同學(xué)只喜歡語(yǔ)文，有14個(gè)同學(xué)喜歡語(yǔ)文和外語(yǔ)(但不喜歡數(shù)學(xué))． 評(píng)注 本

28、題用的方法是容斥原理2． 容斥原理2：或或的元素個(gè)數(shù)的元素個(gè)數(shù)的元素個(gè)數(shù)的元素個(gè)數(shù)既是又是的元素個(gè)數(shù)一既是又是的元素個(gè)數(shù)一既是又是的元素個(gè)數(shù)+既是又是又是的元素個(gè)數(shù)． 24.2.5★★全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有 人全會(huì)．至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀．如果全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，問(wèn)： (1)全班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾名? (2)全班有幾個(gè)人既會(huì)游泳又會(huì)滑冰? 解析 (1)至少會(huì)一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人有人，因?yàn)闆](méi)有人會(huì)全部三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，因此至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng) 之一的人假使每人都會(huì)兩項(xiàng)，也要(人)，這些人數(shù)學(xué)都及格了，再

29、加上數(shù)學(xué)不及格的6人，正好是25人，所以沒(méi)有人數(shù)學(xué)優(yōu)秀． (2)如圖所示：根據(jù)題意可得 ， ， ； 其中表示既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的學(xué)生人數(shù)，表示既會(huì)騎自行車又會(huì)滑冰的同學(xué)的人數(shù)，表示既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的同學(xué)的人數(shù)．所以 ， 故沒(méi)有人數(shù)學(xué)優(yōu)秀；全班有2人既會(huì)游泳又會(huì)滑冰． 24．2．6★★在1到100個(gè)自然數(shù)中，既非3的倍數(shù)也不是4與5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)? 解析 只需求出是3或4，5的倍數(shù)有多少個(gè)，問(wèn)題也隨之解決了． 3的倍數(shù)有3，6，9，…，99，共33個(gè)； 4的倍數(shù)有4，8，12，…，100，共25個(gè)； 5的倍數(shù)有5，10，15，…，100，共20個(gè)． 我們還應(yīng)注

30、意下面這些數(shù)： 3與4的公倍數(shù)有12，24，…，96，共8個(gè)； 3與5的公倍數(shù)有15，30，…，90，共6個(gè)； 4與5的公倍數(shù)有20，40，…，100，共5個(gè)； 3、4、5的公倍數(shù)有1個(gè)：60． 根據(jù)容斥原理，1到100的自然數(shù)中是3、4或5的倍數(shù)共有 （個(gè)）． 因此，1到100的自然數(shù)中既非3、4也不是5的倍數(shù)有 （個(gè)）． 所以，既非3、4也不是5的倍數(shù)的數(shù)有40個(gè)． 34.2.7★如圖，、、分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們疊放在一起蓋住的總面積為38，若與、與、與的公共部分的面積分別為8、7、6．求、、三張紙片的公共部分的面積(圖中陰影部分)．

31、 解析 設(shè)所求三張紙片的公共部分的面積為，則由容斥原理有 ， 所以 所以，、、三張紙片的公共部分的面積為3． 24．2．8★★某班在體育課上進(jìn)行了成績(jī)考核，這個(gè)班在100米自由泳、跳遠(yuǎn)、鉛球三項(xiàng)測(cè)試中獲得優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)分類統(tǒng)計(jì)如下：100米自由泳獲得優(yōu)秀的有21人，跳遠(yuǎn)獲得優(yōu)秀的有19人，鉛球獲得優(yōu)秀的有20人．100米自由泳和跳遠(yuǎn)都獲得優(yōu)秀的有9人，跳遠(yuǎn)和鉛球都獲得優(yōu)秀的有7人，鉛球和100米自由泳都獲得優(yōu)秀的有8人．有5人沒(méi)有獲得任何一項(xiàng)優(yōu)秀．問(wèn)：這個(gè)班有多少個(gè)學(xué)生? 解析 設(shè)三項(xiàng)都獲得優(yōu)秀的有個(gè)人，根據(jù)容斥原理2，至少有一項(xiàng)優(yōu)秀的學(xué)生有 ， 所以，這個(gè)班的學(xué)生有人．故這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)不少于41人． 另一方面，由于獲得其中兩項(xiàng)優(yōu)秀的人數(shù)分別為9、7、8，所以，獲得三項(xiàng)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)不超過(guò)7，即，所以，這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)不超過(guò)48人． 綜上所述，這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)在41與48之間．所以，學(xué)生人數(shù)可能的情況是41，42，43，…， 48人． 14