初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第三篇 初等數(shù)論 第22章 [x]與{x}試題 新人教版

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1、 第22章 與 22.1.1★ 求的值． 解析 因?yàn)? ， 又 ， 所以． 故． 22.1.2★ 若是正整數(shù)，求的值． 解析 因?yàn)? ， 所以， 所以． 22.1.13★ 數(shù)的末尾有多少個(gè)連續(xù)的零? 解析 的質(zhì)因數(shù)分解式中，5的最高次方冪為 ， 所以的末尾有499個(gè)零． 評(píng)注 在中，質(zhì)數(shù)的最高次冪是 ， 其中，且． 22.1.4★★ 設(shè)，求． 解析 要求，只需證明介于兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間．所以需要對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)放大、縮小 的手段求出的范圍，從而確定的取值． 由題設(shè)知，．考慮到 ，2，3，4，…，2007，可以得到 ， 所

2、以． 評(píng)注 上述解題過(guò)程中，首先對(duì)進(jìn)行了“放縮”，又通過(guò)“拆項(xiàng)”的方法使和式中前后兩項(xiàng)能夠相互抵消一部分，使和式化簡(jiǎn)，從而得到了的范圍． 在對(duì)和式取整時(shí)，利用和式本身的性質(zhì)進(jìn)行“縮放”的方法非常重要，需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多積累一 些和式的性質(zhì)以及變形技巧． 22.1.5★★ 計(jì)算和式 的值． 解析 因?yàn)椋?3，101）=1，所以，當(dāng)時(shí)，都不是整數(shù)，即都不為零．又因?yàn)? =23， 而，且是整數(shù)，所以 ， 則． 從而，可以把，，…，首尾配對(duì)，共配成50對(duì)，每一對(duì)的和為22，所以 ． 22.1.6★★ 已知，且滿足，求的值． 解析 因?yàn)?，所以，，…，等?或者1．由題

3、設(shè)知，其中有18個(gè)等于1，所以 ， ， 所以， ． 故，于是，所以． 22.1.7★★ 求滿足的所有實(shí)數(shù)的和． 解析 原方程可化為，所以，可得，于是101，102，…，125，從而，滿足條件的實(shí)數(shù)為 ，，…，， 它們的和為 ． 22.1.8★★ 已知，如果要求是正整數(shù)，求滿足條件所有實(shí)數(shù)的和． 解析 顯然，，2003是質(zhì)數(shù)，， 設(shè)，由題設(shè)，是整數(shù)，． ，1，2，3，…，2002． 和 ． 22.1.9★ 解方程． 解析 原方程可改寫為 ， 將其代人，可得 ． 解此不等式組，有 ， 即， 所以． 將代入原方程，得 ． 所以，原方程的

4、解是． 評(píng)注 若一次方程中同時(shí)出現(xiàn)和的一次項(xiàng)，可以通過(guò)以下的步驟進(jìn)行求解：（1）從方程中解出或，分別代入不等式組 或， 求解后得到或的范圍，從而求得的“可能取值”（注意不一定是解!）． （2）將這些“可能值”代人原方程進(jìn)行求解． （3）檢驗(yàn)．因?yàn)樵冢?）中將或代人不等式組，實(shí)際上是“放大”了的范圍，所以必須驗(yàn)根！ 22.1.10★ 解方程：． 解析 設(shè)，則為整數(shù)，且 ， ① 由原方程知，即 ． ② ， 即． 所以，或． 代入②，得,． 22.1.11★★ 解方程：． 解析 由原方程可化為，代入不等式組 ，有 ． 整理后得到． 當(dāng)

5、時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以，與矛盾． 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即? 又因?yàn)?，所以? 所以，故．代入原方程，得． 22.1.12★★ 解方程． 解析 這是一個(gè)關(guān)于的二次方程，如果從方程中解出或，并代入不等式組將會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化．可 以利用的性質(zhì)，通過(guò)建立不等關(guān)系縮小的取值范圍，從而得到的可能取值． 由原方程知，．因?yàn)?，所以將和分別代入中，得到不等式組 即 所以或，2，6，7，8． 代入原方程得，得，，，． 經(jīng)檢驗(yàn)知，，，，均為原方程的解． 22.1.13★★ 已知、、滿足： 對(duì)于數(shù)，表示不大于的最大整數(shù)，．求、、的值． 解析 首先注意到，對(duì)于任意有理數(shù)，，所以．①+

6、②+③得 ， 即． ④ ④－①得到，從而，； ④－②得到，從而，； ④－③得到，因此，． 故，，． 22.1.14★★ 解方程（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)）． 解析 若是整數(shù)，則，于是非零整數(shù)都是原方程的解． 若不是整數(shù)，則，由題設(shè)得 ， 所以． 設(shè)，則，．代入上式得 ． 當(dāng)時(shí)，，這樣的整數(shù)不存在． 當(dāng)時(shí)，，只有整數(shù)滿足，此時(shí)．于是 ． 綜上所述，原方程的解為所有非零整數(shù)和－9.9． 22.1.15★★ 證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有 ． 解析 設(shè)，其中，則有，． 當(dāng)時(shí)，，，所以 ，， 于是． 當(dāng)時(shí)，，，所以 ， ， 于是． 所以，對(duì)于任

7、意實(shí)數(shù)，恒成立． 說(shuō)明 本題中的等式有更為一般的形式：對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 ， 其中為大于l的一切正整數(shù)． 這個(gè)等式稱為埃爾米特（Hermite）恒等式． 22.1.16★★ 設(shè)、為正整數(shù)，，求證： ． 解析 設(shè)為整數(shù)，且，則有 ， 兩邊同時(shí)疊加，得到 ． 所以 ． 評(píng)注 對(duì)任意實(shí)數(shù)，有 （請(qǐng)讀者自證） 22.1.17★★★ 如果是正整數(shù)，求證： 解析 任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，滿足，不妨設(shè)，其中． （1）當(dāng)時(shí)，即．則 ． ① 又因?yàn)?，所? ． ② 由①、②式，得 ，所以． 另一方面， ， ，

8、 即． 故當(dāng)時(shí)，等式成立． （2）當(dāng)時(shí)， ， ， ． 則． ③ 又 ，， ． 因?yàn)? ， 所以 ．即 ． 所以． ④ 由③、④式，得 ． 另一方面， ， ． 所以． 故當(dāng)時(shí)，等式亦成立． 綜上所述，原等式成立． 22.1.18★★ 設(shè)、、是正實(shí)數(shù)，求的最小值． 解析 對(duì)于實(shí)數(shù)，有，所以 ． 由于是整數(shù)，所以． 當(dāng)，，時(shí)，． 故的最小值為4． 22.1.19★★ 在1，2，…，2005這2005個(gè)正整數(shù)中，有多少個(gè)可以表示成的形式，其中是正實(shí)數(shù)．（這里表示不超過(guò)的最大整數(shù)．） 解析 令，則

9、，于是 ，因?yàn)?，所以，令，則可以表示數(shù)，，…，． 由于，，所以，欲求的數(shù)的個(gè)數(shù)為 ． 22.1.20★★★ 將正整數(shù)中所有被4整除以及被4除余1的數(shù)全部刪去，剩下的數(shù)依照從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列：2，3，6，7，10，11，…．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)之和記為，其中1，2，3，…．求 的值．（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)） 解析 易知，，，2，…，因此 ， ， 所以 ， ， 故，，從而，于是 ． 22.1.21★★★★ 在，，，…，中，有多少個(gè)不同的整數(shù)?（其中，表示不超過(guò)的最大整數(shù)） 解析 設(shè)，則當(dāng)2，3，…，1003時(shí)， 有 ， 而，，，所以，從0到501的整數(shù)都能取到． 當(dāng)1004，1005，…，2006時(shí)，有 ， 而 ， 所以，，，…，是互不相同的整數(shù)． 從而，在，，，…，中，共有個(gè)不同的整數(shù)． 11