初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第15章 面積問(wèn)題與面積方法試題1 新人教版

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1、 第15章 面積問(wèn)題與面積方法 15.1.1★如圖，（b）、（c）、（d）、（e）中直線與直線交于點(diǎn)，則：（a）中有；（b）、（c）、（d）、（e）中有. 解析 只要作相應(yīng)的高，并運(yùn)用比例即可. 15.1.2★若中有一點(diǎn)，延長(zhǎng)、、，分別交對(duì)邊于點(diǎn)、、，則. 解析 如圖，易證，，，三式相加即得結(jié)論. 15.1.3★求證：若點(diǎn)、、、是一直線上依次的任意四個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，則有. 解析 如圖， ， ， 兩式相乘，即得結(jié)論. 評(píng)注 這個(gè)定理叫交比定理，在這里作為例子是為了強(qiáng)調(diào)交比（即上述比值）是一個(gè)重要的不變量，交比為2時(shí)，四點(diǎn)稱(chēng)為調(diào)和點(diǎn)

2、列，此時(shí)，這種情形在幾何中十分常見(jiàn). 15.1.4★★如圖，設(shè)，，，試用、、表示. 解析 用面積比或梅氏定理得出，，于是以及與的表達(dá)式，最后算得. 15.1.5★★ 已知為的角平分線上任一點(diǎn)，、延長(zhǎng)線上分別有點(diǎn)、，，，求證：. 解析 如圖，連結(jié)、.至、距離相等，即，由，，有，故 ，于是. 15.1.6★★在的兩邊和上各取一點(diǎn)和，使得，與交于，求證：是的平分線. 解析 如圖，易知，又，故至的距離與至距離相等，于是平分. 15.1.7★★已知的邊、、上分別有點(diǎn)、、，且、、共點(diǎn)，求證： . 解析 如圖，設(shè)，，，則由塞瓦定理知. 又知原式等價(jià)于證明，而，同

3、理，，，于是問(wèn)題變?yōu)樽C明 ，去分母、考慮并移項(xiàng)整理得上式等價(jià)于.這顯然成立，取等號(hào)僅當(dāng)，此時(shí)、、為各邊中點(diǎn). 15.1.8★在凸四邊形中，，，，，，求四邊形的面積. 解析 如圖，，故本題只有一解（否則可能為鈍角）. 今延長(zhǎng)、交于，則為等腰直角三角形，.又作，則. . 又，故. 于是. 15.1.9★★銳角中，，向外作正與正，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，又與交于點(diǎn)，求證：. 解析 結(jié)論轉(zhuǎn)化為，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化成線段之比，即求證，上式又等價(jià)為. 這是成立的，因?yàn)樽笫接沂?，此處用到了與. 15.1.10★在等腰中，，、分別在兩腰、上，，與相交于點(diǎn)，四邊形的面積為，求的面

4、積. 解析 如圖，連結(jié)，設(shè).易知，， 于是， ，， ，又 ，故， . 15.1.11★設(shè)、、為銳角的三條高，若平分的三條高，若平分的面積，求證： . 解析 如圖，由條件知，由于∽，， 故，. 又由相似知，故，. 又∽，得，于是，結(jié)論證畢. 15.1.12★★★設(shè)是內(nèi)心，在、、上的身影分別是、、，延長(zhǎng)后，交于，延長(zhǎng)后與交于，求證：. 解析 如圖，連結(jié)、，本題等價(jià)于證明. 而，，由知，于是只需證明. 由 ， 結(jié)論得證. 15.1.13★★★已知：銳角三角形，向外作正方形、，、交于，求證：. 解析1 如圖（1），作，我們證明、、共點(diǎn).

5、 由于，，，故，而 ，. 設(shè)、交于，、交于.于是， 故結(jié)論成立. 解析2 如圖（2），設(shè)是高，在延長(zhǎng)線上分別找點(diǎn)、，使，.易知≌，，同理.的三條高在、、直線上.因此、、三線共點(diǎn). 15.1.14★★★求證：存在一個(gè)面積為的四邊形，使形內(nèi)任何一點(diǎn)，、、、至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù). 解析 如圖，作梯形，，，，與的距離為.則. 設(shè)是內(nèi)部任一點(diǎn)，則與中至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù). 否則，若與均為有理數(shù)，設(shè)分別為、，則，整理得一個(gè)關(guān)于的二次方程，系數(shù)可以是整數(shù).但決不是這個(gè)方程的根，矛盾. 因此與中至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù). 15.1.15★★設(shè)中，，點(diǎn)為其內(nèi)部任一點(diǎn)，求證： . 解析

6、 此題用坐標(biāo)法能使解題思路看起來(lái)更加清晰. 如圖，設(shè)（，）、（，）、（，）、（，），則（，），于是 . 15.1.16★★四邊形的兩條對(duì)角線垂直且交于點(diǎn)，、分別與、垂直，延長(zhǎng)、，分別與、交于點(diǎn)、，求證：. 解析 顯然可將待證式改為 . 由于 . 同理，也是此式. 于是結(jié)論成立. 15.1.17★★已知凸五邊形滿(mǎn)足，，，，，求五邊形的面積. 解析 如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，于是，，分別作和的角平分線，設(shè)交于點(diǎn)，則、分別垂直平分、，則點(diǎn)是的外心. 又由于 ， ， 因此 . 又由于，，因此，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn). 由≌，≌，以及≌得

7、. 為求，只需注意，，因此作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（圖中未畫(huà)出），有≌，于是 . 15.1.18★★凸四邊形中，、分別在、上，、將三等分，且，求證：. 解析 如圖，連結(jié)、、. 由，（這是因?yàn)椋┲? . 由于，故.因此，亦即.由知， . 而，故 ， 因而、為、中點(diǎn).由此可得、分別為、的中位線，即 ，. 因此四邊形為平行四邊形，所以 ，， 而，故 ， 由此得四邊形為平行四邊形，故. 15.1.19★★★為的內(nèi)心，、分別為、的中點(diǎn).與延長(zhǎng)線交于，延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線交于（如圖），，求. 解析 設(shè)，，，，，內(nèi)切圓半徑為. 由得 . 而. 又.所以

8、 ， 即 . 同理，對(duì)用同樣的方法可得： . 兩式相乘，利用得： ， 即 . 所以 ，. 15.1.20★★已知、為直角三角形（）的角平分線，交于，求. 解析 設(shè)，，.由內(nèi)角平分線性質(zhì)，有，故， ，， 于是 . 而，故 ， . 同前面類(lèi)似的算法可得：，故 . 利用， . 15.1.21★★點(diǎn)為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，試用、、表示. 解析 分別把、、繞點(diǎn)、、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得、、三點(diǎn)，則、、是邊長(zhǎng)分別為、、的正三角形，而、與是邊長(zhǎng)各為、、的全等三角形，最終得 ，此處. 15.1.22★在凸四邊形中有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，求證：點(diǎn)在該四

9、邊形的對(duì)角線上. 解析 顯然在對(duì)角線上時(shí)，上述結(jié)論成立.今用反證法，若點(diǎn)不在對(duì)角線上時(shí)，如圖，不妨設(shè)與交于點(diǎn)，又不妨設(shè)點(diǎn)位于的內(nèi)部.此時(shí)，與有一交點(diǎn)，記為. 由題設(shè)得 ， 于是由面積比知點(diǎn)、、共線.這樣一來(lái)，點(diǎn)、均在直線上，點(diǎn)就在上，與假設(shè)矛盾. 15.1.23★★自的頂點(diǎn)引兩條射線交邊于、，使，求證：.又，反之如何？ 解析 如圖，由，得 . 又，故 . 兩式相乘，即得. 反之，若，作外接圓，分別交、于、.則，，代入得，得，但、、、共圓，故四邊形為等腰梯形，圓周角和所對(duì)弧相等，由于其和小于，故. 15.1.24★★★已知正三角形內(nèi)一點(diǎn)，到、、的射影分別是、、

10、，求證：；、和和面積和等于的一半. 解析 如圖，易知， ， ， 三式相加即得結(jié)論. 又過(guò)作，，.、在上，、在上，、在上.易知、和均為正三角形，四邊形、、均為平行四邊形，記，，，，，，則 . 15.1.25★★已知：凸五邊形中，，，、分別是、中點(diǎn)，在上，，求證：. 解析 如圖，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、.則，，，. 設(shè)、交于，則，， ，故，. 15.1.26★凸四邊形中，對(duì)角線相交于，、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)，交于，交于，、分別為、中點(diǎn)，分別與、交于、，求證：. 解析 如圖（圖中點(diǎn)、未畫(huà)出），連結(jié)、，則，，故∽，且，同理，于是在與中，與互補(bǔ)，，于是. 15.1.2

11、7★★ 已知為內(nèi)一點(diǎn)，，求證： . 解析 如圖，由余弦定理，同理，，三式相加，得 ， 此即 15.1.28★中，是高，，，，求. 解析 設(shè).分兩種情況討論，一種、在兩側(cè)，另一種、在同側(cè). 、在兩側(cè)時(shí)，，于是由面積，，即，得，得或.時(shí)，，不合要求；故，. 、在同側(cè)時(shí)，，同樣由面積公式，，即 ，得，無(wú)解. 15.1.29★★★設(shè)矩形的邊、上分別有點(diǎn)、，滿(mǎn)足是正三角形，求證： . 解析 如圖，設(shè)邊長(zhǎng)為.. 取，使，，，連結(jié)、、，與交于，延長(zhǎng)至，，連結(jié)，則.又易知 .于是只要證明即可. 事實(shí)上， .于是結(jié)論成立. 15.1.30★★★已知正三角形邊長(zhǎng)

12、為，在上，，在上，，求的長(zhǎng). 解析 如圖，作、、分別與、、垂直，設(shè)，由 ，得. 又由條件，知，同理，，故 ， 于是.由，得，又，，故. 由于，，，故，于是.（見(jiàn)題9.2.3.） 15.1.31★用正弦定理證明三角形面積公式 . 這里、、為的三邊長(zhǎng)，為的外接圓半徑. 解析 . 又，，，代入得 . 又找到外心，則 . 評(píng)注 最后的結(jié)果中，、、可能取負(fù)值，但不影響結(jié)論. 15.1.32★★★已知，、分別在、上，，， ，試用、、表示. 解析 如圖（a）作，、在直線、上，設(shè)，又設(shè)，，，，則，，， 因此，，于是有 ， 展開(kāi)得. 記，則，解得.

13、所以. 因?yàn)?，故根?hào)前應(yīng)取“”號(hào)，于是 解析2 如圖（b），延長(zhǎng)、交于，連結(jié)，設(shè)，則，于是有.解出，以下同解析1. 15.1.33★已知面積為，、分別在邊上，且，、在邊上，，、在邊上，，若、交于，求. 解析 如圖，由于，，故，且. 又作，交于，則為的高. 設(shè)至距離為，則由∽，知.又，故，于是.所以. 15.1.34★已知的三邊長(zhǎng)分別為、、，面積為；的三邊長(zhǎng)分別為、、，面積為，且，，，則與的大小關(guān)系一定是（ ） A. B. C. D.不確定 解析 構(gòu)造與如下： （1）作∽，顯然 ， 即. （2）設(shè)，，，則，，，即有. （3）設(shè)，，，

14、，則，，，即有. 因此，與的大小關(guān)系不能確定.應(yīng)選（D）. 15.1.35★★用長(zhǎng)為1、4、4、5的線段為邊作梯形，求這個(gè)梯形的面積. 解析 （1）當(dāng)梯形的上底為，下底為時(shí)，兩腰長(zhǎng)均為，得等腰梯形（如圖（a）所示）. 作交于，交于，易知，且.由勾股定理可得.所以 . （2）當(dāng)梯形的上底為，下底為時(shí)，兩腰分別為和，得直角梯形（如圖（b）所示）. 過(guò)作交于，易知，，從而.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，.所以 . （3）若用長(zhǎng)為的線段作梯形的腰，則無(wú)法完成符合條件的梯形. 15.1.36★★在直角三角形中，，，，分別以、、為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形、、，連結(jié)交于點(diǎn)，求的面積.

15、 解析 由題設(shè)得，，，，、、三點(diǎn)共線. 因?yàn)?，而，所?即，從而.于是 . 15.1.37★設(shè)點(diǎn)、、、分別在面積為的四邊形的邊、、、上，且（是正數(shù)），求四邊形的面積. 解析 如圖，連續(xù)、.易知 . 因此 . 同理 . 所以 . 同理可證 . 所以 . 15.1.38★如圖，在中，，且到、的距離之比為.若的面積為，的面積為，求的面積. 解析 由知，∽∽，所以 . 又由題設(shè)知，所以 ， ， 故 ， 于是 ，. 15.1.39★★★凸四邊形中，點(diǎn)在邊上與交于點(diǎn)，若，且，，，求證：點(diǎn)、分別為與的中點(diǎn).

16、 解析 如圖，由于，延長(zhǎng)、交于. 設(shè)，則，故，. 又作，在上，連結(jié)、，與交于，則，故，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn). 于是為的中位線，故為之中位線，故、分別為、的中點(diǎn). 15.1.40★★已知，，在上，且，求證：. 解析 如圖，設(shè)，，，則由條件知 ，此即，于是 ， 注意即至距離，即至距離，故有，代入上式，有， 即. 15.1.41★★點(diǎn)、分別是凸四邊形的邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上使四邊形為平行四邊形，證明：. 解析 如圖，. 當(dāng)時(shí)，為中位線，于是，為至距離，此正是 ，于是. 若與不平行，設(shè)、中點(diǎn)分別為、，四邊形亦為平行四邊形，、的中點(diǎn)都是之中點(diǎn)，若與不重合，則與也不重合（否則、的中點(diǎn)不是同一點(diǎn)），因此與相互平分，，即，與、不平行矛盾.所以、是、的中點(diǎn)，此時(shí)易證. 15.1.42★★已知中，、分別在、上，、、分別為、、的中點(diǎn)，求證：、、三線共點(diǎn). 解析 如圖，設(shè)、延長(zhǎng)后交于，如能證明平分，則、、即共點(diǎn). 易知， 又，， 于是，，故結(jié)論成立. 23