4、為其一銳角的直角三角形．如圖，過作交于，使，則．
又
=
所以，
，
．
作于，則，故．
7．1．7★已知，求的值．
解析 由兩邊平方得
．
又，所以
，
得
．
評注 （1）當已知與之間和或差的值時，常常考慮運用轉化問題．
（2）總結此題解答過程，該問題實際上是讀者都熟悉的問題：
已知，求的值．
這里用三角函數式、來替代、，變化了一下問題的形式．因此，在解題時，弄清問題的本質是非常重要的．
7．1．8★已知為實數，且、是關于的方程的兩根．求的值．
解析 由根與系數的關系知．則有．
7．1．9★★設、是一個直角三角形的兩個銳角，滿足．求及的值．
解
5、析 由于，故由互余關系得
．
因此條件即為
， ①
將上式平方，得
，
由正、余弦的平方關系，即有，所以
，
因、均為正數，故．因此由上式得
， ②
由①、②得，，故．
評注 本題也可如下解答：由①得
，
兩邊平方，得
， ③
因，代入上式并整理，得
， ④
解得．因，故只有．由此及①得．
7．1．10★若存在實數和，使得
求實數的所有可能值．
解析 把兩式相加，得，解得，或（舍去）．
當時，，滿足方程．故．
7．1．11★★已知關于的一元二次方程
的兩個根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦，求實數的值．
解析 設方程的兩個實根
6、、分別是直角三角形的銳角、的正弦．則
，
又，，
所以．
化簡得，解得或23．檢驗，當時，
；
當時，
．
所以．
評注本題是三角函數與一元二次方程的綜合，基本解法是利用韋達定理和列方程求解．要注意最后檢驗方程有無實數根．
7．1．12★★已知方程的兩根是直角三角形的兩個銳角的正弦，求．
解析 根據韋達定理，有
并且由于其兩根是直角三角形的兩個銳角的正弦，所以又有．
于是有．
解得．
7．1．13★★★若直角三角形中的兩個銳角、的正弦是方程的兩個根；
（1）那么，實數、應滿足哪些條件？
（2）如果、滿足這些條件，方程的兩個根是否等于直角三角形的兩個銳角、的正弦
7、？
解析 （1）設、是某個直角三角形兩個銳角，、是方程的兩個根，則有
． ①
由韋達定理，,．又，，于是，．
由于．所以，，
所以
，
即．
由①得，則．
故所求條件是
，，． ②
（2）設條件②成立，則，故方程有兩個實根：
，
．
由②知，又，
所以，故．
又，故．
所以，、為直角三角形兩個銳角的正弦．
評注 一般地，有，．即在中，，．
7．1．14★★已知方程的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，試求的值．
解析 設題中所述的兩個銳角為及，由題設得
因為，故
①式兩邊平方，并利用恒等式，得．
再由②得，
解得．
由，
8、及②知．
所以．
7．1．15★★不查表，求的四種三角函數值．
解析 、、這些特殊角的三角函數值，我們可以利用含有這些特殊角的直角三角形的幾何性質及勾股定理直接推出．同樣，角的三角函數值，也可以利用直角三角形的性質將其推出．
如圖所示．在中，，，延長到，使，則
．
設，則，，，所以，
所以
．
所以
，
，
，
．
評注 將角的三角函數求值問題，通過構造適當的三角形，將它轉化為角的三角函數問題，這種將新的未知問題通過一定途徑轉化為舊的已解決了的問題的方法，是我們研究解決新問題的重要方法．根據互余三角函數關系式，我們很容易得到角的四種三角函數值．
7．1．16★
9、★求角的正切值（不查表，不借助計算器）．
解析 ，所以設法構造一個含角的直角三角形，用定義求值．
如圖，中，，，延長到，使，則．設，有，．
故．
7．1．17★★求的值．
解析 構造一個頂角為的等腰，，如圖，作內角平分線則，設，．
由于，，故，而∽（），故，故，有（舍去）．
再作于H，則，．
所以．
評注 本題所構造的等腰三角形是圓內接正十邊形的相鄰頂點與圓心確定的三角形，利用它可以求出半徑為的圓內接正十邊形的邊長．
7．1．18★已知直角三角形中，，，求證：．
解析 因為，所以．從而．
又，所以
，
即．
7．1．19★★在中，、、分別是角、、的對邊，且
10、，求．
解析 依題意，可將邊轉化為角．
設，則
，，．
于是題中條件化為
．
令上述比值為，那么
，
，
．
所以有，，，從而得．
7．1．20★★★若為三角形的最小內角，試求關于的方程
的所有實根．
解析 原方程顯然有根，再求方程
①的實根．
為三角形最小內角，則，所以．
方程①可整理變形為
，
，
．
令，
由知恒大于零，即不存在使方程①成立的實數．
故原方程僅有一個實根．
7．1．21★★已知函數對于任意實數都有，且是三角形的一個內角，求的取值范圍．
解析 由于方程沒有實數根，．
并根據，可以得到
．
因此或．
由于，所以．
11、
7．1．22★★已知、是鈍角，求證：
（1）關于的方程
①有兩個不相等的實根；
（2）若是方程①的根，則也是方程①的根．
解析 （1）因是鈍角，故，于是，
所以，方程①有兩個不相等的實根．
（2）設是方程①的另一根，則．由韋達定理，得
， ②
． ③
由于，故．由②、③兩式得
．
所以
，即也是①的根．
7．1．23★★已知，對于任意實數，都有，且是三角形的一個內角，求的取值范圍．
解析 因對任意實數，二次函數y恒大于0，所以，并且
，所以，整理得．
因，故,．
所以．
7．1．24★★若、為實數，，為銳角，求證：的絕對值不大于1．
解析
12、由，，得，
即，加一項減一項，得
．
即，
因為，
所以，
故．
7．1．25★已知，求證：（1）；（2）；（3）．
解析 用定義將三角比表示成直角三角形對應邊的比，然后利用邊的不等關系證明．
作，，使，作于，于．
由得射線與線段相交，設交于，則，所以在的延長線上，所以在的延長線上，得．
又，，所以．
因為，，，，，，所以，，．
7．1．26★★ 已知，求證：
解析1 構造，，，，如圖，則，．
（1）由+，得；
（2）作高，中線，則，，（以中線，高線重合為面積最大）．
而，所以．
有，即．
又，所以．
由（1），（2）知，．
解析2 ．
又由
13、，得，
故有，由，知．
評注 解析1同時也證明了“斜邊給定的直角三角形中，等腰直角三角形的面積最大”這一結論．
7．1．27★★★證明：對于任何實數、，有．
解析 因為對于任意、，都有
，，
所以．
而函數在上的值是隨著的增加而增加的，故．
7．1．28★★★若，，試證明不能介于及之間．
解析 假設，則有．
由題意知，，則，即
，
又，從而
，
即，所以假設不成立，即命題成立．
7．1．29★★★設，且，，求證：．
解析 本題如果直接用代數方法，通過代數式的運算證明等式成立，比較復雜．根據已知條件，聯(lián)想到，因此可設，，則將代數式轉化為三角式，利用三角函數有關公式
14、進行變形，這樣會簡便一些．
設，，則
．
評注 在一些代數等式的證明中，如果已知條件
或，則可設或
從而將代數式轉化為三角等式的證明問題，我們稱這種轉化為三角代換法．由于三角函數的公式較多，
因此化為三角式后，運算化簡常比較方便．
§7．2解直角三角形
7．2．1★★如圖，在直角三角形中，，是的平分線，且，，求的三邊長．
解析 由角平分線想到對稱性，考慮過作，交于，則由得．
在直角三角形中，
，則，所以
，
，
．
故的三邊長分別為、，．
7．2．2 ★★在中（如圖），、是斜邊的三等分點，已知，．試求的長．
解析 作于，于；于，于．令
，
15、．
則，．
在和中，由勾股定理，得，及，
兩式相加得，．
所以．
7．2．3★★如圖，中，，，，是的平分線，求點到直線的距離．
解析 已知中，，要求，可求出的正弦值，而，因而可先求出的長．
作于，有，．
設，由三角形內角平分線性質有，則．
中，，即，得．
，，，故．
7．2．4★已知是非等腰直角三角形，，在所在直線上取兩點、使，連結、．已知．求的值．
解析 如圖，過、兩點作、分別交、于、．易知
，，
，，
從而，．
因為，則．
7．2．5★★設有一張矩形紙片（如圖），，．現(xiàn)將紙片折疊，使點與點重合，試求折痕的長．
解析 設是矩形對角線的中點．連結
16、，由折疊知，故，即．由，，得，從而
．
在中，，故．
又由得，
所以，．
7．2．6★★已知三角形兩邊之和是10，這兩邊的夾角為，面積為，求證：此三角形為等腰三角形．解析由題意可設，，則
，
即，
得．
于是，由，，得、是方程的兩個根．而此方程有兩個相等的根，所以，即此三角形為等腰三角形．
評注 也可以直接由
，得．
7．2．7★★在中，，其周長為，且已知斜邊上的中線長為1．如果，求的值．
解析 由于斜邊長是斜邊上中線長的2倍，故．于是，由題設及勾股定理，得
把①式兩邊平方，得
．
再由②得 ． ③
由①、③知，、分別是二次方程的兩根，解得．
因
17、為（即），故，，
所以．
7．2．8★★已知、、分別是中、，的對邊，且、是關于的一元二次方程的兩個根．
（1）判斷的形狀；
（2）若求、、．
解析 （1）根據題意，嘗試從邊來判斷．
因為，，
所以，
從而知是直角三角形，．
（2）由，，得．
令，，則，于是，得，從而有
，，．
7．2．9★★在中，，，且兩直角邊長滿足條件．
（1）證明：；
（2）當取最小值時，求中最小內角的正切值．
解析（1）由題設得
消去，得，故實數滿足二次方程
． ①
所以．
因為，所以．
（2）當時，方程①只有一個實數根，從而．由，知的最小內角為，其正切值．
7．2．10
18、★★如圖所示．，，，且．求的值．
解析 因為，已知，因此，只需求出與的比值即可．
不妨設，則．在中，，，所以．
在中，，，所以
在中，，， ，所以．
7．2．11★★如圖所示．在銳角中，，，且．求．
解析 作于，設，在中，因為，所以，
所以，所以，．
在中，因為，所以，所以． ①
因為，
所以，
所以．
由①知．
評注 在一般三角形中，在適當位置作高線，將其轉化為直角三角形求解，這是解斜三角形常采用的方法．
7．2．12★★如圖所示．在中，，，，．求及．
解析1 作于，設，，則有
②-①得，所以．
因為，所以，所以，，所以．
解析2 在中，，
19、，，由余弦定理得，所以，
所以，從而．在中，由正弦定理得,
所以A．
7．2．13★★如圖，已知中，，是的中點，，．求的長．
解析 作B，交的延長線于，設．則，
由，是的中點，知．
而，得．
即，所以．
評注 通過構造直角三角形，使用三角函數、勾股定理等知識將邊角聯(lián)系起來是求線段長的常用方法．
7．2．14★★如圖，中，，于，于，于．
求證：．
解析 ，而，，，所以
，
又，所以，所以．
又，所以．
評注 本題直角三角形較多，直接用相似三角形往往找不好關系，利用等角的三角函數作邊的轉化，使關系明確．
7．2．15★★如圖，在中，，，是邊的中點，垂直于且交
20、于．
求證：．
解析 作于，不妨設，因，，所以．
又．．
又，，，而，故．
由于，而，，，而，，，
即，又，，是銳角．
因此．
評注 利用解三角形的知識把結論中有關的線段用常數或適當的參數表示，通過計算證明幾何命題，這種方法稱為幾何題的三角證法．
7．2．16★★在等腰直角三角形中，，，點為腰上任意一點，，點在底邊上，且，求證：．
解析 如圖，過點作，垂足為．
因為，所以，從而知∽，
得．
又因為，則令，那么．
于是，得．
故．
7．2．17★★★如圖，在直角三角形中，，，，是上一動點，在上，從點開始向運動且保持，試寫出與點運動時到點距離的關系式．
21、
解析 如圖，過點作，交直線于，則∽，得．
由，得，則，得，．
又∽，則，即，得．
故．
7．2．18★★如圖（a），正方形的邊長，、分別是、的中點，分別交、于點、，求的面積．
解析 記正方形的邊長為．由題設易知∽，則有，
得，所以．
在直角中，，，則，于是．
由題設可知≌，所以，．
于是，，
從而．
又，所以．
因，故．
7．2．19★★已知、、是三邊的長，其中，且方程兩根的差的絕對值等于．求中最大角的度數．
解析 由已知條件可知，這是一個等腰三角形，且底邊最長，則最大角為，求出中的底角（或）即可．我們可以先求角（或）的三角函數值，再確定角的大小，如圖所示．由
22、圖知
，
則關鍵是求出與的比值．通過一元二次方程中的條件，可得到關于、的方程，則問題得到解決．
因為，所以方程為．
設、為方程的兩個根，則有，．
因為，，即，
所以，，，所以，
所以，所以．
評注 這是一道方程與幾何知識的綜合題．三角形的邊是一元二次方程的系數，利用方程條件導出邊的關系，由邊的關系再進一步求角的大?。?
7．2．20★★在中，，則；反過來，如果在中，，則是直角三角形．
解析 （1）作角平分線（圖略），則在中，．
由角平分線的比例性質，有．
所以，即．
所以．
所以．
（2）我們證明：或是直角．設，下證．
如圖，作的角平分線，在直線上取一點，使．
23、由題設有
，所以
又由（1）中的計算，，所以，作于，則
．
所以．
7．2．21★★如圖，是圓的直徑，弦，與相交于，已知，試求．
解析 由，得∽．
所以．
連結，則．故由，有，又，所以．
7．2．22★★★如圖，延長銳角的高、、分別交外接圓于、、．設垂心為外接圓半徑為．求證：
（1）；
（2）．
解析 （1）由于∽，所以．
在中，，所以．
同理，，于是左邊．
由于、、、共圓，所以．在直角三角形中，，所以．
同理．
相加得．
由于是的垂心，易證，所以，．
同理，．
相加后得右邊．
（2）由于是垂心，所以，可得≌．
由于，
所以
．
同
24、理可證
，．
相加后得
，
所以
．
7．2．23★★如圖所示，已知電線桿直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上．如果與地面成，，，，求電線桿的長（精確到）．
解析 如圖，延長交地面于點，過點作于點．
因為，，，所以，．
因為，
所以．
7．2．24★如圖，某島周圍42海里內存在著大量的暗礁．現(xiàn)在一輪船自西向東以每小時15海里的速度航行，在、處測得在北偏東，2小時后在處測得在正東北方向，試問輪船是否需要改變航行方向行駛，才能避免觸礁危險，說明理由．
解析 若設船不改變航向，與小島的最近距離為．
則有，解得．
因此需要改變航向，以免觸礁．
7．2．25★★★如圖，某污水處理站計劃砌一段截面為等腰梯形的排污渠，如果渠深為，截面積為，試求當傾角為多少時造價最?。?
解析 要使造價最小，只需考慮最小，故首先設法用、、表示
．
．
有，則．
因、為常數，則要求的最小值，只需求的最小值．
設，兩邊平方整理得
，
．
由上式知，解得，故當時，有最小值．
當時，，從而得，此時排污渠造價最小．
25
初中數學競賽專題復習 第一篇 代數 第7章 三角函數試題（無答案） 新人教版
