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1、
第11章 比例與相似
§11.1比例線段
11.1.1★在中，角平分線與交于，，，，求、之長度(用、、表示)．
解析 如圖，易知有，，故，．
11．1．2★已知：等腰梯形中，、分別是腰、的中點，，且交于，求證：．
解析 如圖，不妨設，則，，故，．
11．1．3★在中，，的平分線交于，過分別作、的平行線交、
于、，和的延長線交于，求證：．
解析 如圖，由，及平分，知，故，因此．
11．1．4★設為的邊的中點，過作一直線，交、或其延長線于、，又過作，交的延長線于，則．
解析 由平行知．
于是由第一式與最后一式，轉化為乘法，即可得結論．
11．1
2、．5★已知是平行四邊形內(nèi)的任意一點，過點作，分別交、于、，又過作，分別交、于、；連結，交于；連結，交于．如果，求證：平行四邊形是菱形．
解析 如圖，易知，．
由于，，故，于是，四邊形是菱形．
11．1．6★中，．是的角平分線．是的中點，過作直線平行于交、或延長線于和．求證：．
解析 如圖，易知比靠近，在上，而在延長線上．易知，而，故，同理，也是此值．
評注 不用比例線段的方法是：延長一倍至，則，再證和均為等腰三角形．
11．1．7★凸四邊形中，，，平行于交延長線于點，平行于交延長線于點，連結、，證明：．
解析 如圖，設、交于，則由平行線性質(zhì)，知，，同理，，故，故．
3、
11．1．8★★如圖，在中．，、為的三等分角線，交的平分線于、，連結并延長交于，求證：．
解析 易知關于對稱．
又設，則，故，于是由角平分線之性質(zhì)，知，于是．
11．1．9★★梯形中，()，和交于，過作，交、于、，和交于，過作，交、于、．求證：．
解析 ，故，同理，故，同理，兩式相加并整理即得結論．
11．1．10★設、、分別是的三邊的長，且，求它的內(nèi)角、．
解析 由條件，得，即，所以．
如圖，延長至，使，于是．因此在與，，且為公共角，所以∽，．而，故．
11．1．11★設凸四邊形，對角線交于，過作直線與平行，交、及延長線于、、．若，，求．
4、
解析 延長與延長線交于，則有．
設，則，代人上式，便得．故．
11．1．12★★為等腰三角形底邊上的高，為的平分線，作于，又作與直線交于，求證：．
解析 如圖，設，，則由角平分線性質(zhì)知，
故．
又取中點，連結，，，故，，故，從而，故．于是．
11.1.13★★足球場四周有四盞很高的燈，在長方形的四角，且一樣高，求某一運動員任何時刻的四個影子長之間的關系．跳起來呢?
解析 設運動員在矩形球場內(nèi)，如圖(a)，過作，在上，在上，則，或．
又設燈高為，運動員身高為，點處的燈造成的影子長為′，如圖(b)，則，得，同理，故四個影子的關系是．
跳起來時，不妨設腳底離地
5、，此時點處的燈造成的影子長度為′″，如圖(c)，則
，，于是
，
同理，所以′+=仍舊成立．
11．1.14★★求日高公式．
解析 如圖所示，設太陽高度為，桿′=直立在地上，影子的長度分別為，′′，兩桿距離為．所謂日高公式就是用、、、表示，這里假定大地為平面，且、′′與在同一平面上．
易知，代入得，故；同理，′．由′′，代入得，由此解得．
11.1.15★★設梯形ABCD，E、F分別在AB、CD上，且，若，，，，梯形和梯形的周長相等，求．
解析 如圖，作平行四邊形，在上，則，．設與交于．
易知梯形的周長為的周長加上6，梯形的周長為梯形的周長加6，故的周長=梯形的周長
6、，也即周長的一半即．
又，故．，．
11．1．16★★如圖，已知中，、交于，、交于，過作，交于，交于，求證：．
解析 設與交于，與直線交于，則．
于是．
11.1.17★四邊形為正方形，、在延長線上，，，、分別是、與的交點．求證：為等腰三角形．
解析 如圖，不妨設正方形邊長為1，則，，．
作，交于．則．
于是，即為直角三角形斜邊之中點，于是．
11.1.18★★在中，，，，是內(nèi)一點，、、分別在、、上，且，，．若，求．
解析 如圖，延長交于′(同理定義′、′，圖中未畫出)，設，則，同理，，，由于，故，．
11.1.19★內(nèi)有一點，的延長線交邊于點′，的延長
7、線交邊于點′，的延長線交邊于點′．若，求的值(用表示)．
解析 如圖，設，，，則，而，即，展開得
，
故．
11.1.20★已知的三邊長分別為、、，三角形中有一點，過作三邊的平行線，長度均為，試用、、來表示．
解析 設延長后與交于′(同理定義′與′)，則，同理，
，三式相加，得，
所以．
評注 存在的條件是，，，代人得：、、可組成三角形三邊之長．
11.1.21★已知、、分別是銳角三角形的三邊、、上的點，且、、相交于點，．設，，，，求的大?。?
解析 由熟知結論，得，因此，即
=24．
11.1.22★如圖，正方形邊長為1，為延長線上一點，與、分別交于點、
8、，(點是與交點)與交于點，若，求的長．
解析 連結，則由，得，于是，，為中點，所以．
11.1.23★★如圖，已知，、分別在、上，則下面任兩條可推出第三條：
(1)、、共點；（2）；（3）．
解析 (1)，(2)(3)：，則，故．
（2），（3）（1）：，故可設、延長后交于，、延長后交于，，與重合．
(1)，(3)(2)：若與不平行，作，在上，在上，則有，得，即，矛盾．
11.1.24★中，為的平分線，在、上取，、分別為、的中點，則．
解析 如圖，連結，設中點為，連結、，則，所以，且．
取上的點，使，則等腰∽等腰，且對應邊，，故第三邊也平行，即．
11.1
9、.25★★★已知：中，，為上一點，且非中點，，為中點，求證：，平分．
解析 如圖，作，與延長線交于，延長交于，則由，，有．又，故．
由條件，知，于是，，四邊形乃等腰梯形(若四邊形是菱形，則，為中點，與題設矛盾)，．
又為中點，顯然(比如由全等)有．
11．1．26★★★已知、分別為矩形的邊、的中點，延長線上有一點，延長后與交于．求證．平分．
解析 如圖，設與交于，則，過作，交于，則．
又，，故，于是，由于將垂直平分，于是．
11.1.27★★在中，，求證：，、、為的對應邊長．
解析 如圖，延長至，使，于是，故，．中，，則．又由角平分線性質(zhì)，得，，代人前式，得，即得
10、結論．
評注 中，，證明如下：延長至，使，于是或．
11．1.28★★已知，、分別是、上任兩點，、延長后交于，、延長后交于，求證：若，則、、共點；若，則．
解析 如圖，設，，，，延長、分別與交于、，設．由知，同理，即，，于是，，或．若，則，又，做；，由，得、、共點（見題11.1.23）．
11.1.29★★正三角形，、、是、、的中點，、、分別在、、上，、、共線，、、共線，、、共線，求．
解析 如圖，不妨設邊長為2，，，，則，，．
由，得，同理，1，于是，，，．
所以，．
11．1．30★★任給銳角，問在、、上是否各存在一點、、，使，，?
解析 這樣的是
11、存在的．作法如下：在上任取一點′，作′′于′，分別過′、′作、的垂直線交于點′．
若′恰在上，則′、′、′，即為滿足條件的三點、、；若，′不在上，設、′，所在直線與交點為(因為是銳角三角形，所以交點必在上)，過分別作、的垂線交、于、，則，，連結，易知，得′′，由作法′′，所以，、、滿足條件．
11.1.31★★★已知凸四邊形內(nèi)有一點，、、、的平分線分別交、、
、于、、、，求證：四邊形為平行四邊形的充要條件是為、的中垂線的交點．
解析 若為、的中垂線之交點，則，，于是，于是，同理，又同理，故四邊形為平行四邊形．
反之，若四邊形為平行四邊形，由于，故由梅氏定理，若、不與平行
12、，它們將與交于同一點，這與矛盾，因此，，同理，故在、的中垂線上．
11．1．32★★★已知梯形中，，、分別在、上，求證：若，則．又此時若、交于，、交于，問三直線、、共點的條件．
解析 如圖(a)，不妨議、延長后交于，于是有，．
于是，由此可得，故．
因為四邊形為平行四邊形，過的中點，若、、共線，則由塞瓦定理，有．下面刻畫或的位置，如圖(b)，設與交于，，則由，，而，，故，此即．
11.1.33★★如圖，已知中，、、交于，，延長后與的延長線交于，求證：．
解析 作，與交于，與交于，則由平行，知，故，于是．
11.1.34★★★已知，、、是角平分線，、在上，且，求
13、證：平分．
解析1 設內(nèi)心為，與交于，與交于，連結，交于．由角平分線及平行性質(zhì)，有，故有，又，故∽，于是，于是平分．
解析2 由角平分線性質(zhì)，知，，于是．又易見，，故，于是，以下同解析1．
評注 注意解析1更好些，因為只要求平分．不要求是內(nèi)心，本題結論也成立．于是本題的逆命題是，由平分得出平分，而不能證明是內(nèi)心．這個逆命題也是正確的，讀詩者不妨一試．
11．1．35★★為內(nèi)一點，、在上，、在上，線段、交于．若，則平分，反之亦然．
解析 如圖，作平行四邊形，、分別在、上．設，．
此時易得，因此，于是．但，故．所以平行四邊形是菱形，為之平分線．
反之，可設所作平行四邊
14、形為菱形．設菱形邊長為，則，即得．同理，，于是命題得證．
11．1．36★★已知，三邊分別為、、，是角平分線．求之長(用、，表示)
解析 如圖，延長至，使，于是、、、共圓，又∽，故==．
設，，則，，故
．
11．1．37★★在中，、三等分，且2，3，6，求的長．
解析 如圖，設，，則由角平分線性質(zhì)知，．
由于，即，同理，
消去，得．
11．1．38★★★已知平行四邊形，點是點在上的垂足，點在上，，，點在上，點是與的交點，又延長后與的延長線交于點，求證：．
解析 如圖，作．對與來說，，，而，如果能證明兩三角形(順向)相似，那么第三組對應邊與就垂直了，于是只需證
15、明或．事實上設、延長后交于點，且設，則易知，，于是，又，故，于是，代人上式，即得．
§11.2相似三角形
11．2．1★已知，是中點，、在的同側，且，，證明：．
解析 如圖，易知．
又∽，故，于是∽，故．
11．2．2★已知=′+′，，則′，．
解析 如圖，作與′′′，使，′′，，′，則由條件′，且，故∽′′′，從而′，′．此即′，′．
評注 這個結果用途極廣．
11．2．3★線段分為兩個相似的三角形，相似系數(shù)等于，求的各內(nèi)角．
解析 如圖，不妨設∽，比較“大”．
由于>及，故只能有，于是．
不可能(否則≌)，故，，，，因此三內(nèi)角為：、、．
11．2．4★★設中，在在上，且，求證：∽．
解析 過作，是是一點．于是，代入條件并整理，即得．
又，于是∽，于是，故∽．
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初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題1 新人教版
