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1、
2.4根式及其運(yùn)算
2.4.1★化簡(jiǎn)：
（1）；
（2）；
（3）．
解析 （1）直接計(jì)算不是好辦法．注意到，于是
．
故．
（2）直接逐步展開太麻煩，觀察到式中因式都是、、，只不過(guò)符號(hào)不同而已．于是，我們將一些項(xiàng)適當(dāng)組合，利用平方差公式．
．
（3）
，
所以，．
2.4.2★化簡(jiǎn)：
（1）；
（2）（是自然數(shù)）；
（3）；
（4），．
解析 （1）原式
．
因?yàn)?，的零點(diǎn)分別是，，我們分情況討論如下：
當(dāng)時(shí)，原式；
當(dāng)時(shí)，
原式；
當(dāng)時(shí)，原式．
（2）因?yàn)?
，
所以
．
（3）因?yàn)?
，
2、所以．
（4）因?yàn)?
，
同理，．
故原式
．
由于，，．且當(dāng)時(shí)，；而時(shí)，．
故當(dāng)時(shí)，原式；
當(dāng)時(shí)，原式．
2.4.3★化簡(jiǎn)：．
解析1配方法：
，
故．
解析2 待定系數(shù)法：
設(shè)，則
．
解主程組，得或．
從而，
．
解析3公式法：
．
評(píng)注本題解法中，配方法雖然較簡(jiǎn)單，但對(duì)一些數(shù)字較大的題目，其解法仍困難．待定系數(shù)法雖然較麻煩，但它仍不失為一種普遍可行的方法．
2.4.4★★化簡(jiǎn)：．
解析 被開方數(shù)中含有三個(gè)不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成是將平方得來(lái)的，因此用待定系數(shù)法來(lái)化簡(jiǎn)．設(shè)
，
兩邊平方得
．
所以
②③④
3、得
．
因?yàn)椤?、均非?fù)，所以，所以
⑤②，有．同理有，．所求、、顯然滿足①，所以
原式．
2.4.5★★化簡(jiǎn)：
．
解析 設(shè)原式，則
，
顯然有，所以原式．
2.4.6★★化簡(jiǎn)：．
解析1 利用來(lái)解．
設(shè)，兩邊立方得
，
即．
將方程左端因式分解有
．
因?yàn)?，所以，．所以原式?
解析2
．
同理．所以
原式．
評(píng)注 解析２看似簡(jiǎn)單，但對(duì)于三次根號(hào)下的拼湊是很難的，因此本題解析1是一般常用的解法．
2.4.7★★化簡(jiǎn)：
．
解析 由于，不為完全平方數(shù)，故對(duì)上式中每一項(xiàng)獨(dú)立化簡(jiǎn)很困難．注意到與互為共軛根式．因此，我們可采取“以退為進(jìn)”的
4、方法，即先平方，再開方．
設(shè)，則
，
，
即．所以
．
2.4.8★★化簡(jiǎn)：．
解析 設(shè)，則
．
而，所以
．
即，．
．
由于無(wú)實(shí)數(shù)根，所以．
所以
．
2.4.9★★設(shè)有正數(shù)，時(shí)，，求的值．
解析 因?yàn)?
．
所以
原式
．
而，．
原式．
2.4.10★★計(jì)算：
．
解析 先將通項(xiàng)的分母有理化，并裂項(xiàng)，得
，
所以，原式
．
2.4.11★★求
的值．
解析 設(shè)根號(hào)內(nèi)的式子為，注意到，及平方差公式，所以
,
所以 原式．
2.4.12★★計(jì)算
．
解析
原
5、式
．
2.4.13★★★計(jì)算：
．
解析考察中一般項(xiàng)，有
．
所以
．
2.4.14★★（1）求證：
；
（2）計(jì)算：．
解析（1）因?yàn)?
，
上式兩邊開平方，得
．
（2）在（1）在令，，則
，
所以，．
2.4.15★已知，求的值．
解析 因?yàn)椋矗?
．
2.4.16★★記表示不超過(guò)的最大整數(shù)（如，等），求
的值．
解析 因?yàn)?
，
所以
．
2.4.17★★若，，且，求的值．
解析 設(shè)，，那么
，．
所以，，
于是，原式即
，
，
．
，
．
即
6、．
2.4.18★★已知函數(shù)
，
求的值．
解析 因?yàn)?
，
所以，
．
2.4.19★★設(shè)，，且
，
求的值．
解析 因，可設(shè)，則，，．代入已知式得
，
兩邊立方，化簡(jiǎn)，得
．
因?yàn)?，，，所?
．
2.4.20★★已知，，當(dāng)時(shí)，求
的值．
解析 當(dāng)時(shí)，
． ①
同樣（但請(qǐng)注意算術(shù)根?。?
． ②
將①，②代入原式有
原式
2.4.21★★化簡(jiǎn)
．
解析
原式
．
2.4.22★★化簡(jiǎn)．
解析
．
若，則
若，則
2.4.23★★化簡(jiǎn)
．
解析 因?yàn)?
，
7、所以
．
2.4.24★★已知，．計(jì)算
．
解析 由，得
．
所以
．
代入原式，得
評(píng)注 當(dāng)，時(shí)，其結(jié)果如下：
2.4.25★★已知，求的值．
解析 移項(xiàng)，兩邊平方，得
，
化簡(jiǎn)，得
．
兩邊再平方，得
，
整理得，
即，
所以．
2.4.26★★化簡(jiǎn)：
（1）；
（2）．
解析
（1）原式
．
（2）原式
．
評(píng)注 （2）也可用換元法來(lái)化簡(jiǎn)：
令，則．
原式（因?yàn)椋?
．
2.4.27★★★化簡(jiǎn)：
．
解析 用換元法
設(shè)，則，．所以
原式
．
2.4.28★★若，計(jì)算
（共有200層）的值．
解析 先計(jì)算幾層，看一看有無(wú)規(guī)律可循．
因?yàn)椋?
，
所以，
所以．
所以，不論多少層，原式．
2.4.29★★求根式的值．
解析 用構(gòu)造方程的方法來(lái)解．設(shè)原式為，利用根號(hào)的層數(shù)是無(wú)限的特點(diǎn)，有
，
兩邊平方得
，
即．
兩邊再平方得
，
所以．
觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，2時(shí)，方程成立．因此，方程左端必有因式，將方程左端因式分解，有．
所以，，．
又因?yàn)?，所以，，?yīng)舍去，所以．即
原式．
2.4.30★★設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，試求的值．
解析 因?yàn)?
，而，所以，，所以
．
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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第2章 代數(shù)式試題2 新人教版
