初中數(shù)學競賽專題復習 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題1 新人教版

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1、 第6章 函數(shù) 6.1函數(shù)及其圖像 6.1.1 ★已知，求． 解析1 令，則，帶入原式有 ， 所以 ． 解析2 ，所以 6.1.2 ★★若函數(shù)，，求． 解析 只要將滿足的值求出來，然后代入即可． ， 所以，．因此 6.1.3 ★ 已知函數(shù)，其中、為常數(shù)．若，求． 解析 由題設(shè) 所以 ． 6.1.4 ★★ 函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，并且對任意實數(shù)、，有．若，求． 解析 設(shè)，令代入已知條件得， 即對任意實數(shù)，恒有，所以 ， 所以 ． 6.1.5 ★★ 若對任意實數(shù)， 總有意義，求實數(shù)的取值范圍． 解析 欲使 總有意義，令 則或

2、，對任意實數(shù)均成立，于是問題等價于 （1） （2） （3） 由（1）解得：，或； 由（2）解得：不存在； 由（3）解得：． 于是實數(shù)的取值范圍為，或． 6.1.6 ★★ 若的定義域為一切實數(shù)，求的取值范圍． 解析 由題意的定義域為一切實數(shù)，即對任意實數(shù)，恒有 ． 若，則，，與題意不符； 當時，二次函數(shù)的充要條件是 得． 因此，的取值范圍是． 6.1.7 ★★反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的圖像只能是（ ）． 解析 通過分析函數(shù)圖像的特征，例如的圖像過一定點（，0），或者通過函數(shù)圖像討論常數(shù)的正負逐步淘汰三個選擇項，得出結(jié)論． 函數(shù)的圖像過頂點，

3、而在（A）中直線不過點，故淘汰（A）中直線不過點，故淘汰（A）． 在（D）中，直線左高右低，因此；雙曲線在Ⅰ，Ⅲ象限，則，，導致矛盾．故淘汰（D）． 在（C）中，仿前，從直線看，；從雙曲線看，，也導致矛盾．故淘汰（C）． 故選（B）． 6.1.8 ★★ 函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標之和等于_________． 解析 原問題可轉(zhuǎn)化為求方程 ① 的所有實根之和． 若實數(shù)為方程①的根，則其相反數(shù)也為方程①的根．所以，方程的所有實根之和為0，即函數(shù)的圖像與軸交點的橫坐標之和等于0． 6.1.9 ★★ 直線過點、，直線過點，且把分成兩部分，其中靠近原點的那部分是一個三角形，如圖．設(shè)

4、此三角形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并畫出圖像. 解析 因為過點，所以，即． 設(shè)與軸交于點，則點的坐標為，且（這是因為點在線段上，且不能與點重合），即． ， 故的函數(shù)解析式為 ． 6.1.10 ★★ 已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12．從它的頂點作一條射線，將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形一邊所成角的正切值等于．設(shè)梯形的面積為，梯形中較短的底的長為，試寫出梯形面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式． 解析 設(shè)矩形的長大于寬的2倍．由于周長為12，故長與寬滿足 ，． 由題意，有如下兩種情形： （1）如圖，這時， ，， 所以，， =， 其中（這由得

5、出）． （2）當時，由于，故，這時，．由 ， 得 ， 所以 =， 其中（這由得出）． 6.1.11 ★★ 已知二次函數(shù)，且方程與有相同的非零實根． （1）求的值； （2）若，解方程． 解析 （1）設(shè)的兩根為、，且，則 ， ． 于是，的兩根為、，且．所以，，即． 因此， （2）由（1）得． 又，則， 解之得或， 于是，的兩組解為 或 6.1.12 ★★ 如果函數(shù)對任意實數(shù)，都有，求，，之間的大小關(guān)系． 解析 對任意實數(shù)成立，因此的圖像的對稱軸是． 的圖像是開口向上的拋物線，因此當時，隨著的增大而增大．于是有 ．但由對稱性知，故

6、． 6.1.13 ★ 如圖所示，、分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈費用（費用=燈的售價+電費，單位：元）與照明時間的函數(shù)圖像．假設(shè)兩種燈的使用壽命都是，照明效果一樣． （1）根據(jù)圖像分別求出、的函數(shù)關(guān)系式； （2）當照明時間為多少時，兩種燈的費用相等？ （3）小亮房間計劃照明，他是買白熾燈省錢還是買節(jié)能燈省錢？ 解析 （1）設(shè)直線的解析式為．由圖像得，解得．所以，的解析式為 ． 設(shè)直線的解析式為．由圖像得 ， 解得．所以，的解析式為 ． （2）當時，兩種燈的費用相等，這時有 ， 解得，所以，當照明時間為時，兩種燈的費用相等． （3）當時，，所以他買節(jié)能燈省錢．

7、6.1.14 ★★ 通過實驗研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學生聽課的注意例指標數(shù)是隨著老師講課施加你的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣漸增，中間有一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分賽．學生注意力指標數(shù)隨時間（分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖所示（越大表示學生注意力越集中）．當時，圖像是拋物線的一部分，當和時，圖像是線段． （1）當時，求注意力指標數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系式； （2）一道數(shù)學競賽題需要講解24分鐘．問老師能否講過適當安排。使學生在 聽這道題時，注意力的指標數(shù)都不低于36． 解析 （1）當時，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，由于它的圖像經(jīng)過點、、，所以 解得，，，． 所以 ，

8、． （2）當時， 所以，當時，令，得 ， 解得，（舍去）； 當時，令，得，解得 ． 因為，所以，老師可以經(jīng)過適當?shù)陌才牛趯W生注意力指標數(shù)不低于36時，講授完這道競賽題． 6.2 一次函數(shù) 6.2.1 ★★ 四一次函數(shù)， （1）若，求函數(shù)的表達式； （2）若，且，求函數(shù)的表達式． 解析（1）設(shè)．因為 ， 又因為 ． 所以解得所以或． （2）設(shè)．因為，所以 ① 因為，，所以 ． ② 由①得，代入②得 ． 得，則．所以． 6.2.2 ★★ 求證：一次函數(shù)的圖像對一切有意義的恒過一定點，并求這個定點． 解析 由一次函數(shù)得 ， ．

9、 因為等式對一切有意義的成立，所以得 解得 當，時，一次函數(shù)解析式變?yōu)楹愕仁?，所以函?shù)圖像過定點． 6.2.3 ★★ 已知、、為常數(shù)。，并且，求． 解析 用代換原方程的，得 ． ① 用代換原方程中的，得 ② 得 ． 因為，所以 ． 所以 ． 6.2.4 ★ 某人騎車沿直線旅行，先前進了千米，休息了一段時間，又原路返回千米（），再前進千米。則此人。離起點的距離與時間的人關(guān)系示意圖是（ ） 解析 因為圖（A）沒有反映休息所消耗的時間；圖（D）沒有反映沿原路返回的一段路程；圖（B）盡管表明了折返后的變化，但沒有表示消耗的時間．上述三圖均有誤，故選（C

10、）． 6.2.5 ★★ 已知一次函數(shù)的隨的值增大而增大，它的圖像與兩坐標軸構(gòu)成的直角三角形的面積不超過．反比例函數(shù)的圖像在二、四、象限．求滿足上述條件的的整數(shù)值． 解析 由一次函數(shù)的隨的值增大而增大，可知，解得 ① 又它的圖像與軸的交點坐標為，與軸的交點坐標為，則它的圖像與兩坐標軸構(gòu)成的直角三角形的面積是 ， 得． ② 而反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，則，即 ③ 綜合①、②、③得． 所以滿足題意的的整數(shù)值為1、2． 6.2.6 ★★ 已知函數(shù)，當自變量的取值范圍為時，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求實數(shù)的取值范圍． 解析 顯然．當時，函數(shù)的

11、圖像是一條左低右高的線段，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等價條件是對應的函數(shù)值大于5，對應的函數(shù)值小于3．當時，已知函數(shù)的圖像是一條左高右低的線段，可類似討論． 的圖像是一條線段，故既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等價條件是 或 或 即的取值范圍為． 6.2.7 ★★ 如圖，設(shè)，其中，記在的最小值為，求及其最大值，并作的圖像． 解析 ．因為當時，，為遞增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，在上最小值；當時，，為遞增函數(shù)在上的最小值為 ． 所以 因此在上為遞增函數(shù)；在上為遞增函數(shù)，故的最大值為． 6.2.8 ★設(shè)有兩直線，相交于點，它們與軸的交點為、．求中邊上的中線

12、的方程． 解析 如圖所示，在，中分別令，即可得交點、的坐標分別為、． 解方程組 得交點的坐標（3，4）． 再設(shè)中線為，則由中點坐標公式求得．由于、兩點的橫坐標相同，均為3，故中線的直線方程為． 評注 平行于軸（或垂直于軸）的直線方程為；平行于軸（或垂直于）的直線方程為． 6.2.9 ★★★已知函數(shù)． （1）求證：無論取何實數(shù)時，這些函數(shù)圖像恒過某一定點； （2）當在范圍內(nèi)變化時，在內(nèi)變化，求實數(shù)的值． 解析 （1）設(shè)． 將它變?yōu)? ． 令 解方程，得 即這些直線恒過定點． （2）當時，，不合題意； 當時，，一次函數(shù)隨著的增大而增大，因此， 解方程組，得．

13、 當時，，一次函數(shù)隨著的增大而減小，因此， 方程組無解． 故實數(shù)的值為． 評注 由（1）知，無論取何實數(shù)時，函數(shù)的圖像恒過定點，這些直線稱為直線系． 6.2.10 ★★ 一個一次函數(shù)的圖像與直線平行，與軸、軸的交點分別為、，并且過點，則在線段上（包括端點、），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（ ）． （A）4個（B）5個 （C）6個 （D）7個 解析 設(shè)，由，得，所以，．所以、． 由，，取，7，11，15，19時，是整數(shù)． 因此，在線段上（包括端點、），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有5個． 故選（B）． 6.2.11 ★★ 如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點的坐標為（15，6

14、）直線恰好將矩形分成面積相等的兩部分，求的值． 解析 設(shè)矩形的對角線的交點為，則是它的對稱中心，點坐標為（7.5，3）．過矩形對稱中心的直線，總是將矩形分成面積相等的兩部分．將點的坐標代入，得（或0.5）． 6.2.12 ★★★ 設(shè)有直線過點，且在第一象限與兩坐標軸圍城的三角形的面積為最?。ㄈ鐖D）．求此直線的方程． 解析 設(shè)直線的方程為，它與兩坐標軸的交點分別為、，它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則有，，，這里，． ． 由于， 且不等式等號當且僅當，即（由于）時成立，得最小面積為2，此時，所以，直線的方程為 ． 評注 由于，所以，這里，．此不等式是一個應用很廣

15、的不等式，且當且僅當時等號成立． 6.2.13 ★★ 在直角坐標系中，軸上的動點到定點，的距離分別為何，那么當取最小值時，求點的橫坐標． 解析 作點關(guān)于軸的對稱點，設(shè)直線的解析式為，于是有 解出，． 故直線的解析式為． 令，解出即為所求． 下面證明使取最小值． 在軸上任取一點，連結(jié)、、，因為點關(guān)于軸的對稱點為，易知軸為的垂直平分線． 于是，．由三角形不等式可知． 又，所以 ， 即使取最小值． 6.3 二次函數(shù) 6.3.1 ★★ （1）設(shè)拋物線，把它向右平移個單位，或向下平移個單位，都能使得拋物線與直線恰好有一個交點，求、的值； （2）把拋物線向左平移個單位，向上

16、平移個單位，則得到的拋物線經(jīng)過點（1，3）與（4，9），求、的值； （3）把拋物線向左平移三個單位，向下平移兩個單位后，所得圖像是經(jīng)過點的拋物線，求原二次函數(shù)的解析式． 解析 （1）拋物線向右平移個單位后，得到的拋物線為．于是方程有兩個相同的根，即方程 的判別式 所以．這時的交點為． 拋物線向下平移個單位，得到拋物線．于是方程 有兩個相同的根，即 ， 所以．這時的交點為． （2）把向左平移個單位，向上平移個單位，得到拋物線為． 于是，由題設(shè)得 解得，，即拋物線向右平移了兩個另個單位，向上平移了一個單位． （3）首先，拋物線經(jīng)過點，可求得． 設(shè)原來的二次函數(shù)為

17、，由題設(shè)知 解得，．原二次函數(shù)為 ． 評注 將拋物線向右平移個單位，得到的拋物線是；向左平移個單位，得到的拋物線是；向上平移個單位，得到；向下平移個單位，得到． 6.3.2 ★★ 已知拋物線的一段圖像如圖所示． （1）確定、、的符號； （2）求的取值范圍． 解析 （1）由于拋物線開口向上，所以．又拋物線經(jīng)過點，所以．因為拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，從而，結(jié)合便知．所以，，． （2）記．由圖像及（1）知 即 所以 ， 6.3.3 ★ 一條拋物線的頂點為，且與軸的兩個焦點的橫坐標為一正一負，則、、中為整數(shù)的（ ） （A）只有 （B）只有 （C）只有

18、 （D）只有和 解析 由頂點為，拋物線交軸于兩點，知． 設(shè)拋物線與軸的兩個交點的橫坐標為標為、，即為方程的兩個根． 由題設(shè)，知，所以． 根據(jù)對稱軸，即有，知． 故知結(jié)論（A）是正確的． 6.3.4 ★★ 已知二次函數(shù)（其中是正整數(shù)）的圖像經(jīng)過點與點，并且與軸有兩個不同的交點，求的最大值. 解析 由于二次函數(shù)的圖像過點、，所以 解得 因為二次函數(shù)圖像與軸有兩個不同的交點，所以，，即，由于是正整數(shù)，故． 所以．又因為，且當，，時，，滿足題意，故的最大值為． 6.3.5 ★★ 的三個頂點、、均在拋物線上，并且斜邊平行軸．若斜邊上的高為，則（ ） （A） （B）

19、 （C） （D） 解析 設(shè)點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為，由勾股定理，得 ， ， ， 所以． 由于，所以，故斜邊上高．故選（B） 6.3.6 ★★ 在直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，若、兩點到原點的距離分別為、，且滿足，求的值． 解析 設(shè)方程的兩根分別為、，且，則有 ，． 所以，，由，可知，又，所以，拋物線的對稱軸在軸的左側(cè)，于是，．所以 ， ， 故 ． 解得． 6.3.7 ★ 不論取任何實數(shù)，拋物線 的頂點都在一條直線上．求這條直線的函數(shù)解析式． 解析 將二次函數(shù)變形為，知拋物線的頂點坐標為 消去，得 ． 所以 ． 6.3.8 ★

20、 設(shè)、為常數(shù)，并且，拋物線的圖像為圖中的四個圖像之一．求． 解析 由，知對稱軸不是，所以拋物線的圖像必為后兩個圖像之一．于是， ． 解得 ，． 易知后兩個圖像的對稱軸為，得．所以，． 6.3.9 ★★ 已知拋物線（其中）不經(jīng)過第二象限． （1）判斷這條拋物線的頂點所在的象限，并說明理由； （2）若經(jīng)過這條拋物線頂點的直線與拋物線的另一個交點為，求拋物線的解析式． 解析 （1）因為若，則拋物線開口向上，于是拋物線一定經(jīng)過第二象限，所以當拋物線的圖像不經(jīng)過第二象限時，必有．又當時，，即拋物線與軸的交點為．因為拋物線不經(jīng)過第二象限，所以．于是 ， ， 所以頂點在第一象限．

21、 （2）由于點在拋物線，所以 ， 所以．于是點的坐標為（1，0），點的坐標為．由于點在直線上，所以，所以．又由于直線經(jīng)過點，所以，所以．拋物線的解析式為． 6.3.10 ★★ 設(shè)二次函數(shù)滿足條件：，，且其圖像在軸上所截得的線段長為，求這個二次函數(shù)的表達式． 解析 由，，得 即，．因此所求的二次函數(shù)是 ． 由于二次函數(shù)的圖像在軸上所截得的線段長，就是方程兩根差的絕對值，而這二次方程的兩根為 ， 于是 ， 即， ， 或． 因此所求的二次函數(shù)表達式為 或． 6.3.11 ★★ 設(shè)二次函數(shù)，當時，取得最大值10，并且它的圖像在軸上截得的線段長為4，求、、的值． 解

22、析 當時，取得最大值10的二次函數(shù)可寫成，且． 因為拋物線的對稱軸是，又因為圖像在軸上截得線段長是4，所以由對稱軸性。圖像與軸交點的橫坐標分別是1、5．因此，二次函數(shù)又可寫成 的形式，從而 ， ． 所以 ． 因此，，，． 6.3.12 ★★ 如圖，點、在函數(shù)的圖像上，點、都在軸上，使得、都是等邊三角形，求點的坐標． 解析 如圖，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，設(shè)，，則，，所以，點、的坐標為 ． 所以 解得于是，點的坐標為． 6.3.13 ★★ 已知點、的坐標分別為、，若二次函數(shù)的圖像與線段恰有一個交點，求的取值范圍． 解析 設(shè)，由，得；由，得，此時，，

23、符合題意；由，得，此時，，不符合題意． 令，由判別式，得． 當時，，不符合題意；當時，，符合題意． 綜上所述，的取值范圍是或者． 6.3.14 ★★ 已知關(guān)于正整數(shù)的二次式（為實常數(shù)）．若當且僅當時，有最小值，求實數(shù)的取值范圍． 解析 由于對于實數(shù)，有， 其圖像對稱軸為． 當可以取正整數(shù)時，且當且僅當使得有最小值．于是必有對稱軸在與之間，且偏于，即 ， 得． 所以，的取值范圍是． 6.3.15 ★★ 已知，的圖像與軸有兩個不同的交點、，且 ， 求的值． 解析 首先，由，得或．由題意，可設(shè) ， 則 ， ， 所以 ， 解得，或者（舍去）． 故． 6.3.16

24、 ★★ 已知二次函數(shù)， 求所有的值，使得此二次函數(shù)圖像與軸的兩個交點不可能都落在軸的正半軸上． 解析 根據(jù)題意，問題可轉(zhuǎn)化為求當方程 的兩根中至少有一根為非正數(shù)時的值． 因為此方程根的判別式為 ， 所以此方程必有兩實根，即函數(shù)與軸必有兩個焦點． 運用方程根與系數(shù)的關(guān)系得方程的兩根、滿足 ， 當時，，則方程有且只有一個根的負數(shù)； 當時，，但，則、均為非正數(shù)． 所以，滿足要求的為一切實數(shù)． 評注 在處理有關(guān)二次函數(shù)問題時，常常轉(zhuǎn)化為二次方程根的問題予以解決．反過來，在處理有關(guān)二次方程根的問題時，常常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)及其圖像的問題加以解決．二次函數(shù)與二次方程“相得益彰”

25、，它們是相通的． 6.3.17 ★★ 設(shè)有二次函數(shù)與軸交于兩點、，現(xiàn)有直線過其中一交點且與拋物線交于另一點，又若，求拋物線的方程． 解析 由已知條件知，其中一交點．為二次函數(shù)圖像上的點．如圖所示． 故，且即為方程的兩根之差的絕對值． ． 的高為點的縱坐標的絕對值．解方程組 由②知代入①，得 ． 而，故此方程即，得點的縱坐標為．由于，故 ． 解方程組 得 所以，拋物線的方程為或． 6.3.18 ★★ 已知二次函數(shù)，求證：對任意的實數(shù)，這些二次函數(shù)的圖像恒過定點、，并求出，的坐標． 解析 將式子，整理成關(guān)于的式子為 ． 令 解方程組，得 則、

26、． 6.3.19★★ 設(shè)、是拋物線上的點，原點位于線段的中點處．試求、兩點的坐標． 解析如圖，設(shè)．因原點是的中點，知和關(guān)于原點對稱，即． 又、是拋物線上的點，分別將它們代入拋物線的方程，得 解得或． 所以、或、． 6.3.20 ★★ 已知二次函數(shù) （1）隨著的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數(shù)表達式；如果不是，請說明理由； （2）如果直線經(jīng)過二次函數(shù) 圖象的頂點，求此時的值． 解析（1）將二次函數(shù)配方，得 ， 所以頂點坐標． 方法1：分別取，，1，得到三個頂點坐標、、．過這三個頂點的二次函數(shù)的表達式是． 將頂

27、點坐標代入的左右兩邊，經(jīng)檢驗，左邊=右邊． 因此，無論塒取何值，頂點都在拋物線上． 方法2：令，． 將代入，得 ． 故點所在的拋物線的函數(shù)表達式是． （2）如果頂點在直線上，則 ， 即． 故或． 所以，當直線經(jīng)過二次函數(shù) 圖象的頂點時，的值是或0． 6.3.21 ★★ 設(shè)有整系數(shù)二次函數(shù)，其圖象開口方向朝上，且與軸有兩個交點，分別在、內(nèi)，且，的判別式等于5，試求、、的值． 解析 依題意知，如圖所示． 設(shè)，的圖象與軸的兩個交點分別為、，且，則，． 由于， 所以 ．① ．② 由于，所以 ．③ 由②、③知，故． 由于為正整數(shù)，且由①知為貧整數(shù)，從

28、而，于是判別式 ， 且當且僅當，時，等號成立． 所以，，，． 即． 6.3. 22 ★★★ 求所有的整系數(shù)二次函數(shù)，使得，． 解析 由題設(shè)得 ， ① ． ② ②一①，得 ， ， 因為，所以，故，令，是整數(shù)，則 ， ， 所以， 故，，． 于是，，，，進而可得 ，．． 所以，滿足題設(shè)的二次函數(shù)為，，． 6.3.23 ★★★ 已知二次函數(shù) 的圖象恒不在軸下方，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 解析 由題設(shè)知，恒成立，所以， ，且． 記，則 ， 當且僅當，即，時，不等式等號成立，從而的最小值為3，于是，的取值范圍是． 6.3. 24 ★★

29、★ 已知方程有兩個實數(shù)根、，并且，．證明： （1）； （2）． 解析（1）由韋達定理知 ． （2）設(shè)，則的圖象是開口向上的拋物線，且與軸的兩交點在與2 之間，所以，即 ， ， 所以 ， 故 評注 利用二次函數(shù)的圖象來研究二次方程的根以及系數(shù)之間的關(guān)系，是一種行之有效的方法． 6.3.25 ★★★ 設(shè)函數(shù)，，這里以是正整數(shù)，則在的值域中有多少個整數(shù)？ 解析 解決本例需先確定函數(shù)的值域，因為的圖象是一段拋物線弧，因此確定值域只需求出的最大值與最小值． 函數(shù)圖象（拋物線）的頂點橫坐標，且拋物線開口向上，故函數(shù)的圖象（一段拋物線弧）在前述拋物絨對稱軸的右側(cè)（如圖），其

30、中和為示意位置，實線表示的圖象． 故）的最大值為，最小值為，而值域為．其中的整數(shù)，，…，，共有 （個）． 6.3. 26 ★★★ 設(shè)、為正整數(shù)，且，如果對一切實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離不小于，求、的值． 解析 因為一元二次方程的兩根分別為和，所以二次函數(shù) 的圖象與軸的兩個交點間的距離為． 由題意，，即，即 由題意知，，且上式對一切實數(shù)恒成立，所以 所以或 6.3.27 ★★★ 設(shè)、為正整數(shù)，且，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為．如果對一切實數(shù)恒成立，求、的值． 解析 因為一元二次方程的兩根分別

31、為和，所以； 一元二次方程的兩根分別為和，所以． 所以， ． ① 由題意知，，且①式對一切實數(shù)恒成立，所以 所以或' 6.3. 28★★★已知函數(shù) 有最大值，求實數(shù)的值， 解析 因為 ，， 它的對稱軸是直線，于是必須根據(jù)值是否在的范圍內(nèi)分三種情況討論． （1）若，即時，隨著的增加而減少．這時，的最大值，即．由 得．因，故． （2）若，即時，的最大值為，即．由得，這與矛盾． （3）若，即時，隨著增加而增加，這時的最大值是，即．由，得．得．因為，故． 綜上所述，滿足題意的為廂或． 6.3.2

32、9設(shè)、是實常數(shù)，當是取任意實數(shù)時，函數(shù) 的圖象與軸都交于點． （1）求、6的值； （2）若函數(shù)圖象與軸的另一交點為，當變化時，求的最大值． 解析（1）由題設(shè)知，點在函數(shù)的圖象上， 所以 ， ． 上面這個關(guān)于的一次方程有無窮多個解，所以 解得，． （2）由（1）知，，，這時函數(shù)為 ． 設(shè)點，則．由韋達定理知 ， ， 所以， ， 所以 ， 所以 ． 又當時，，此時，． 所以，的最大值為2． 6.3.30 ★★ 若拋物線與連結(jié)兩點、的線段（包括、兩點）有兩個相異的交點，求的取值范圍． 解析 易知過點、的直線方程為．而拋物線與線段有兩個交點就是方程 在0上

33、有兩個不相等的實根． 令，則有 解得 ． 評注 利用二次函數(shù)的圖象來研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段． 6.3.31 ★★ 當取遍0到5的所有實教時，求滿足 的整數(shù)6的個數(shù)． 解析 由題設(shè)等式，得 ． 它的圖象是以為頂點，開口向上的拋物線，當時，在處取最小值，在處取最大值． 所以 ， 所以，，1，2，…，10，11． 滿足題設(shè)條件的整數(shù)共有13個． 6.3.32 ★★ 設(shè)，，且、都是整數(shù)．已知當時，；當時，． （1）求證：（這表示不能被整除），且是負整數(shù)； （2）在取整數(shù)所得的所有函數(shù)值，中，使取最小值的是多少？ 解析 （1）拋物線開口向上，

34、經(jīng)過原點．又由題設(shè)可知在的范圍內(nèi)有一個實根．因此該拋物線還經(jīng)過點（如圖）． 注意到的兩根是和，故．由于，故，且由知必是負整數(shù)． （2）因拋物線的對稱軸是，而，．因此在所有整數(shù)中，到的距離最小的是8．從而當取整數(shù)時，使取最小值的必是． 6.3.33 ★★ 在坐標平面上，縱坐標與橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點．試在二次函數(shù)的圖象上找出滿足的所有整點，并說明理由． 解析 由題意得 ， 即有 ． ① 當時，式①化為 ， 得 2． 又， 則滿足及均是整數(shù)的有，；，；，；，． 當時，式①化為 ， 得． 則滿足及均是整數(shù)的有，；，． 所以滿足題中要求的整點是 、、、、、． 6.3.34 ★★ 坐標平面上，橫坐標與縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，如果將二次函數(shù)與軸所圍成的封閉圖形涂成紅色，求在此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點的個數(shù)． 解析 與軸有兩個交點和，軸上在與之間共有5個整數(shù)：2、 3、 4、 5、6． 將函數(shù)改寫為． 當，有，滿足的整數(shù)有0、1、2，共3個； 當，有等，滿足等的整數(shù)有0，1，…．5．共6個； 當，有，滿足的整數(shù)有0，1，…，6，共7個； 當，有等，滿足的整數(shù)有0，1，…，5，共6個； 當，有，滿足的整數(shù)有0、1、2，共3個． 共得25個整點， 26