初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版

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1、 面積問題與面積方法 15.1.43★★已知凸四邊形的邊、上各有一點(diǎn)、，滿足，與交于，與交于，求證：. 解析 如圖，問題可轉(zhuǎn)化為求證. 下證此式： 記，則由定比分點(diǎn)，在 . 15.1.44★已知：中，是角平分線，、分別在、上，且，求證：，并用三邊表示. 解析 如圖，由∽∽，得 ， . 于是，故. 又設(shè)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為、、，則，， ，同理，故 . 15.1.45★★已知，，、在上，，，求. 解析 如圖，設(shè)，，則. 由三角形內(nèi)角和，，得.， . 由，得 . 15.1.46★★★已知，，.點(diǎn)在內(nèi)，使得，，，求的面積. 解析 如圖，作∽，

2、由于，故相似比為，于是 ，. ， 結(jié)合知，，于是. 所以，從而.于是 ， 故 . 15.1.47★已知矩形，、分別在、上，，，，若 ，求矩形的面積. 解析 如圖，易知，∽.設(shè)，，則，，， 由條件，知 ， 展開得，， . 15.1.48★★一個(gè)凸四邊形的邊長(zhǎng)依次為、、、，兩條對(duì)角線相交所成的銳角為，求該四邊形的面積（用、、、和表示）. 解析 如圖，不妨設(shè)，，，，與交于，（），則由四邊形的“余弦定理”（見題13.1.7）： ， 于是 . 一般地，有 ， 當(dāng)時(shí)，四邊形面積不定. 15.1.49★★若一正方形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)在一三角形

3、的某條邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在另兩條邊上，則稱這個(gè)正方形是該邊上的內(nèi)接正方形，現(xiàn)有一不等邊三角形，、邊上的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)都是，求. 解析 如圖，四邊形是正方形，邊長(zhǎng)為，，為高，設(shè)為，則. 現(xiàn)在回到原題，設(shè)三對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為、、，對(duì)應(yīng)高為、、，對(duì)于、邊上的正方形，有 . 考慮到，故有，而，，代入，有，而由題設(shè)，故，.易知，故 . 15.1.50★★中，、、分別在、、上，若、、、分別為1、2、3、4，求. 解析 如圖，設(shè)，，.則，，，，同理，，. 于是，，故，解得. 由，得，由，得，易知均符合要求. 評(píng)注 讀者可考慮何時(shí)具有唯一解. 15.1.51★★梯形中，，，在上，

4、，在上，若把梯形分成兩部分的面積之比為，求的值. 解析 如圖，由于未講清部分是，哪部分是，故本題可能有兩解. 不妨設(shè)，則，，.又設(shè)，.于是有 （1）或（2） 由（1）解得由（2）得負(fù)解，舍. 故. 15.1.52★★★中，，是的平分線，點(diǎn)、分別在、上，交于點(diǎn)，若，，，，求四邊形的面積. 解析 易知，，.連結(jié)，由，得，，連結(jié). 由，得，故， ，. 又，，由角平分線性質(zhì)，知，于是. 15.1.53★★中，、分別在、上，且，，為中點(diǎn)，為與之交點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求. 解析 如圖，由梅氏定理，即，又，即. 設(shè)，.由，得，即，于是. 15.1.54★★在的邊上取點(diǎn)

5、，上取點(diǎn)，使，，再在線段上取點(diǎn)，使，今延長(zhǎng)交于，用、、表示. 解析 如圖，連結(jié)、，則. 又，，故. 15.1.55★★設(shè)正方形面積是，、上分別有點(diǎn)、，且，，又設(shè)、分別交于、，求四邊形的面積. 解析 如圖，延長(zhǎng)、交于，則.而 ， . 又，故 . 15.1.56★★★已知中，、分別是角平分線和中線.垂直陳于，交于，交于，求證：. 解析 如圖，連結(jié)、. 易知，，故.于是，. 因此，，所以. 15.1.57★★★如圖，已知點(diǎn)、、、共圓，且，，，求證：只與、有關(guān). 解析 延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，設(shè)，，易知∽，于是，又由，因此. 由于，又，故， ， 所以

6、 . 15.1.58★★★已知的三邊、、上各有一點(diǎn)、、，且滿足、、交于一點(diǎn)，若、、的面積相等，求證：是的重心. 解析 如圖，不妨設(shè)三個(gè)三角形面積為，而、與的面積分別為、、.由塞瓦定理知. （1）若、、互不相等，不妨設(shè)，則，，但 ， 矛盾. （2）若、、中有相等的，不妨設(shè)，則，，由得，于是，、、為各邊中線，為重心. 15.1.59★★已知中，點(diǎn)在邊上，，，，，求；又若、、長(zhǎng)度不變，當(dāng)達(dá)到最大時(shí)，求. 解析 如圖，延長(zhǎng)至，使，則，，中，，，，，，又與等高，故，所以. 當(dāng)面積最大時(shí)，，，作，則，于是，，， . 15.1.60★★已知中，，點(diǎn)滿足，，求證：與面積相等

7、. 解析 如圖，不妨設(shè)、在兩側(cè)，作使，，于是，，這里為內(nèi)心，就是的邊外的旁心，且有≌. 設(shè)旁切圓半徑為，則，為至距離，于是與至等距，所以 . 評(píng)注 請(qǐng)讀者自行驗(yàn)證 . 15.1.61★★已知：是銳角三角形的垂心，、、是高，求證： . 解析 如圖，由于，故 ， 同理， ，. 三式相加，得 ， 整理便是欲證式. 評(píng)注 注意到等，故，此式對(duì)于鈍角三角形也成立. 15.1.62★★★在四邊形中，對(duì)角線中點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線交于，求證：的面積等于整個(gè)四邊形面積的一半. 解析 如圖，設(shè)對(duì)角線交點(diǎn)為，不妨設(shè)、的中點(diǎn)、分別在、上. 連結(jié)，則. ，， 故

8、 . 剩下，連結(jié)，則. 于是. 15.1.63★★已知中，在上截取，上截取，上截取，求證：的面積與的面積相等. 解析 如圖，不妨設(shè)，，，，，（注意、、可零可負(fù)）.問題變?yōu)樽C明，或證明 ，或 . 由正弦定理，上式相當(dāng)于 . 展開即知這是恒等式，故. 15.1.64★★在直角三角形中，，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，在上，從點(diǎn)開始向運(yùn)動(dòng)且保持，試寫出與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)與點(diǎn)距離的關(guān)系式. 解析 如圖，過點(diǎn)作，交直線于，則有∽，得 . 由，令，則 ， 得 ，. 又由，得 ， 即 ， 得 . 因，得，于是 . 15.1.65★★已知中，、、分別在、、上，、

9、、交于，與交于，則 . 解析 如圖，知只需證，即，或. 又，于是結(jié)論成立. 評(píng)注 滿足上述條件的點(diǎn)、、、即為調(diào)和點(diǎn)列. 15.1.66★★★有兩個(gè)銳角與，其中，、延長(zhǎng)后交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的垂心，求證：的充要條件是. 解析 必要性：若，設(shè)兩線交于點(diǎn)，又設(shè)的兩條高為、；的兩條 高為、，并記. 由點(diǎn)、、、共圓及點(diǎn)、、、共圓，得 ； 同理. 又由，，則，故. 充分性：若，不能直接運(yùn)用點(diǎn)了.我們還是先證明，再分別作，，、均在射線上，于是有，故與重合，因此. 評(píng)注 充分性也可用四點(diǎn)共圓來證明. 15.1.67★★如圖，、、、是直線上依次四點(diǎn)，在直線外，，，試證

10、. 解析 由于，若，只需證，這等價(jià)于，即，也即，也等價(jià)于或. 由于，故，由此知結(jié)論成立. 15.1.68★★★★凸四邊形對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)、、、分別在、、、上，點(diǎn)在上，點(diǎn)、在上，且點(diǎn)、、、四點(diǎn)共線，點(diǎn)、、、四點(diǎn)共線.若，，證明：. 解析 連結(jié)、、、、、，則有 ， . 由于，，因此知，兩端減，便得. 15.1.69★★★★ 已知、、、分別為凸四邊形的邊、、、的中點(diǎn)，、交于，、交于，求證：或重合. 解析 如圖，連結(jié)、，則 ，同理也是此值， 于是，即，若、在同側(cè)（比如與、在同一側(cè)），則，于是；若、在直線上，則與重合. 若線段與直線相交，不妨設(shè)在上或在之“上”，

11、在之“下”，則有，矛盾，于是結(jié)論成立. 15.1.70★★★★如圖，以銳角的邊為邊向外作正方形、、、、、圍成，而、、圍成（圖中未畫出），求證：≌. 解析 ∽很容易證明，留給讀者，下證. 其實(shí)只要證明為對(duì)稱式即可. 我們先計(jì)算.連結(jié)、.不妨記，同理分別還有兩對(duì)三角形面積為與.于是有，分子是由于點(diǎn)至的距離等于點(diǎn)、至距離之和. 同理. 兩式相加，并作等式變形，即可解出 ， 同理可得和.三式相加，得 ， 故 . 這是一個(gè)對(duì)稱式，同理也是此值. 至此結(jié)論證畢. 評(píng)注 易知有等，如果，則有 . 15.1.71★★如圖，中，是高，是中線，且，求證：或.

12、 解析1 如圖（a），設(shè)，，，，，則 . 由，得. 又由，即，故. （1）當(dāng)時(shí)，即得； （2）當(dāng)時(shí)，有∽.由此可得. 解析2 如圖（b），若與重合，則； 若與不重合，不妨設(shè)比靠近.今在上取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，. 于是，故、、、共圓，從而，所以. 15.1.72★★★試說明是否在所有內(nèi)部總存在一個(gè)點(diǎn)，使點(diǎn)在、、上的射影分別為點(diǎn)、、，滿足，，？ 解析 當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)顯然是存在的.但一般情形未必成立.試看如下反例. 如圖，設(shè)，，且滿足要求.此時(shí)，由于 ≌， 則 ， 故點(diǎn)為之中點(diǎn). 易知此時(shí)四邊形為凸四邊形，故由，得，矛盾，故點(diǎn)并不總是存

13、在的. 15.1.73★★★設(shè)點(diǎn)、、分別在的邊、、上，且、、交于一點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)一定在在某條中線上. 解析 如圖，設(shè)個(gè)小三角形面積分別為、、、、、.易知有，這是由塞瓦定理保證的.題設(shè)條件等價(jià)于. 下面再證一個(gè)無條件等式 ， 這是由于，故而 . 同理有 ， ， 三式相加，即得，證畢. 令，，，則對(duì)于同一個(gè)方程，有三根、、或、、，順序上先不講究. 若有之尖，則結(jié)論已經(jīng)成立了； 若，則只需討論，的情況（否則，結(jié)論必成立），此時(shí)，結(jié)論成立； 若，同理只需討論，的情況，此時(shí)，結(jié)論也成立. 評(píng)注 此題亦可不用韋達(dá)定理.這個(gè)證法好處是增加一個(gè)知識(shí)，即. 15.1.7

14、4★★★中有一點(diǎn)，延長(zhǎng)、，分別交、于點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，作，點(diǎn)在上，求證：平分. 解析 如圖，分別作、與垂直，我們的目的證明∽或. 易知. 又由 . 故，證畢. 15.1.75★★★★設(shè)有一凸四邊形，、、、上分別有兩點(diǎn)、；、；、；、，滿足，，，，若四邊形是平行四邊形，求證：. 解析 我們先證明四邊形也是平行四邊形.先不妨設(shè)四邊形與四邊形的位置是如圖（a）所示，找出、、、的中點(diǎn)、、、，則點(diǎn)、、、也分別是、、、的中點(diǎn)，且. 作，點(diǎn)是的中點(diǎn)，又作，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則易知，故≌，于是. 又由中位線知，于是四邊形是平行四邊形，于是. 又由，故四邊形也是平行四邊形，于是.

15、 這樣，便有，從而四邊形也是平行四邊形. 再看圖（b），設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、、、及、、、，由題15.1.63知，有 ， ， 由于四邊形與均為平行四邊形，故 . 15.1.76★★★三邊長(zhǎng)為6、8、10，求證：僅存在一條直線同時(shí)平分的周長(zhǎng)與面積. 解析 設(shè)中，，，.若此直線過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，因平分面積則必平分對(duì)邊，因此不可能平分周長(zhǎng).所以此直線必與某兩條邊相交. （1）如圖（a），若與、相交. 設(shè)，則，所以 ， 即 . 由于，故無解. （2）如圖（b），若與、相交. 設(shè)，則，由知 . 由 ， 解得 ， 不滿足，無解. （3）如圖（c），若與、相交. 設(shè)，則， ， 即 ， 解得 舍） 綜合上述，只有唯一一條直線滿足條件. 15.1.77★★已知、分別是的邊、上的點(diǎn)，且，，，.連結(jié)和，它們相交于點(diǎn).過點(diǎn)分別作，，它們分別與邊交于點(diǎn)、，求的面積與的面積之比. 解析 過點(diǎn)作，且交邊于點(diǎn)，則 ， 所以 . 因?yàn)?，所? ， 于是 . 因?yàn)?，，因此∽，? . 18