初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第四篇 組合 第26章 離散量的最大值和最小值問(wèn)題試題 新人教版

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1、 第26章 離散量的最大值和最小值問(wèn)題 26.1.1** 某個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員共參加了10場(chǎng)比賽，他在第6、第7、第8、第9場(chǎng)比賽中分別得了23、14、11和20分，他的前9場(chǎng)比賽的平均分比前5場(chǎng)比賽的平均分要高，如果他的10場(chǎng)比賽的平均分超過(guò)18分，問(wèn)：他在第10場(chǎng)比賽中至少得了多少分？ 解析 設(shè)前5場(chǎng)比賽的平均得分為，則前9場(chǎng)比賽的平均得分為 ． 由題設(shè)知， 解得．所以前5場(chǎng)最多得分是 （分）． 再設(shè)他第10場(chǎng)比賽得了分，那么有 ， 解得y>28． 故他第10場(chǎng)比賽得分≥29分． 另一方面，當(dāng)他在第6、第7、第8、第9、第10場(chǎng)比賽中分別得了23、14、11、20和

2、29分，前5場(chǎng)總得分為84分時(shí)，滿足題意． 所以，他在第10場(chǎng)比賽中至少得了29分． 評(píng)注 在解最大值（或者最小值）問(wèn)題時(shí)，我們常常先估計(jì)上界（對(duì)于最小值，估計(jì)下界），然后再構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)上界（或者下界）是能夠取到的，只有這樣，才完整地解決了問(wèn)題． 26.1.2* 從任意個(gè)不同的正整數(shù)中，一定可以從中找到兩個(gè)數(shù)，它們的差是12的倍數(shù)，求的最小值． 解析 任取13個(gè)不同的整數(shù)，它們除以12所得到的余數(shù)中，一定有兩個(gè)相同，于是它們的差是12的倍數(shù)． 又l，2，…，12這12個(gè)數(shù)，其中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的差為12的倍數(shù)． 綜上所述，至少需任取13個(gè)數(shù)才能滿足題意． 26.1.3**

3、 從1，2，3，…，20中，至少任取多少個(gè)數(shù)，可使得其中一定有兩個(gè)數(shù)，大的數(shù)是小的數(shù)的奇數(shù)倍． 解析 從1，2，…，20中取7，8，…，20這14個(gè)數(shù)，其中沒(méi)有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的奇數(shù)倍． 把1，2，…，20分成如下14組：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，從中任取15個(gè)數(shù)，一定有兩數(shù)取自同一組，于是大數(shù)便是小數(shù)的奇數(shù)倍． 26.1.4** 如果甲的身高或體重至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙；在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子．問(wèn)10

4、0個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有多少個(gè)？ 解析 取100個(gè)小伙子是這樣的一種特殊情況．他們的身高互不相同，是從小到大排列的，他們的體重也互不相同，且是從大到小排列的，這樣的100個(gè)小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100個(gè)． 26.1.5** 代數(shù)式中，、、、、、、、、可以分別取1或者． （1）求證：代數(shù)式的值都是偶數(shù)； （2）求該代數(shù)式所能取到的最大值． 解析 （1）因?yàn)? ， 所以，此代數(shù)式的值為偶數(shù)． （2）原式，要使原式取得最大值，則與取1與，與取l與．但是，若與的取值相同（1或），則與的取值也相同，有．若與的取值不同．則與的取值也不同，也有． 所以，原式的最

5、大值為4．這時(shí)取，，，，． 26.1.6** 一個(gè)三位數(shù)除以43，商是．余數(shù)是（、都是整數(shù)），求的最大值． 解析 由帶余除法可知： 一個(gè)三位數(shù)． ① 因?yàn)槭怯鄶?shù)，它必須比除數(shù)小，即≤42．根據(jù)①式．考慮到等式右邊是一個(gè)三位數(shù)，為此不超過(guò)23（因?yàn)?4×43>1000）．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?3×23+10＝999，此時(shí)為10．當(dāng)時(shí)，可取余數(shù)，此時(shí)43×22+42＝998． 故當(dāng)，時(shí)，值最大，最大值22+42＝64． 從1，2，…，1001這1001個(gè)正整數(shù)中取出個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不是素?cái)?shù)，求的最大值． 解析 設(shè)正整數(shù)被取出，則，，，都不能被取出．而，，三者中至多只能有

6、一個(gè)被取出． 所以連續(xù)8個(gè)整數(shù)，，，3，4，，，中至多有兩個(gè)數(shù)被取出，而 1001＝8×125+1，所以≤2×125+1＝251． 又1，5，9，…，1001這251個(gè)數(shù)滿足題設(shè)條件．所以的最大值為251． 26.1.8*** 從1，2，…，205共205個(gè)正整數(shù)中，最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得對(duì)于取出來(lái)的數(shù)中的任意三個(gè)數(shù)、、（），都有． 解析 首先，1，14，15，…，205這193個(gè)數(shù)，滿足題設(shè)條件． 事實(shí)上，設(shè)、、（）這三個(gè)數(shù)取自1，14，15，…，205，若，則；若，則． 另一方面，考慮如下12個(gè)數(shù)組： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，

7、13×14）， 上述這36個(gè)數(shù)互不相等，且其中最小的數(shù)為2，最大的數(shù)為13×14＝182<205，所以，每一個(gè)數(shù)組中的三個(gè)數(shù)不能全部都取出來(lái)，于是，取出來(lái)的數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)205－12＝193個(gè)． 綜上所述，從1，2，…，205中，最多能取出193個(gè)數(shù)，滿足題設(shè)條件． 26.1.9*** 從1，2，3，…，16這16個(gè)數(shù)中，最多能選出多少個(gè)數(shù)，使得被選出的數(shù)中，任意三個(gè)數(shù)都不是兩兩互質(zhì)的． 解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍數(shù)： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16． 這11個(gè)數(shù)要么是2的倍數(shù)，要么是3的倍數(shù)．由抽屜原理知，這11個(gè)數(shù)中的任意三個(gè)數(shù)，

8、都必有兩 個(gè)數(shù)同為2或3的倍數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1，也就是說(shuō)這三個(gè)數(shù)不是兩兩互質(zhì)的．所以，從1，2，…，16中可以選出11個(gè)數(shù)滿足要求． 下面證明從1，2，…，16中任取12個(gè)數(shù)，其中一定有3個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)． 事實(shí)上，令數(shù)組{1，2，3，5，7，…，13）．?dāng)?shù)組中有7個(gè)數(shù)，而且這7個(gè)數(shù)是兩兩互質(zhì)的．從 1，2，…，16中任取12個(gè)數(shù)，由于以外只有9個(gè)數(shù)，故中至少有3個(gè)數(shù)被選出，這三個(gè)數(shù)是兩兩互質(zhì)的． 所以，最多選出11個(gè)數(shù)滿足要求． 26.1.10*** 已知，，…，都是正整數(shù)，且，若的最大值為，最小值為，求的值． 解析 因?yàn)榘?8寫成40個(gè)正整數(shù)的和的寫法只有有限種，故的

9、最小值和最大值是存在的． 不妨設(shè)，若z1>1，則 ， 且． 所以，當(dāng)1時(shí)，可以把逐步調(diào)整到1，這時(shí)，將增大；同樣地，可以把，，…，逐步調(diào)整到1，這時(shí)將增大．于是，當(dāng)，，…，均為1，時(shí)，取得最大值，即 若存在兩個(gè)數(shù)、，使得，則 ， 這說(shuō)明在，，…，，中，如果有兩個(gè)數(shù)的差大于1，則把較小的數(shù)加l，較大的數(shù)減1，這時(shí)，將減小． 所以，當(dāng)取到最小時(shí)，，，…，。中任意兩個(gè)數(shù)的差都不大于1．不難算出，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，即 ． 故． 26.1.11*** 從1，2，…，9中任取個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)（至少一個(gè)，也可以是全部），它們的和能被10整除，求”的最小值． 解析

10、 當(dāng)時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒(méi)有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除． 當(dāng)時(shí)，設(shè)，，…，是1，2，…，9中的5個(gè)不同的數(shù)．若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則，，…，中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9；2和8；3和7；4和6．于是，，…，中必定有一個(gè)數(shù)是5． 若，，…，中含1，則不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10），故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍數(shù)，矛盾． 若，，…，中含9，則不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20），故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+

11、3+2＝10是10的倍數(shù)，矛盾． 綜上所述，的最小值為5． 26.1.12*** 把1，2，…，30這30個(gè)數(shù)分成個(gè)小組（每個(gè)數(shù)只能恰在一個(gè)小組中出現(xiàn)），使得每一個(gè)小組中任意兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)，求的最小值． 解析 首先，考慮數(shù)6，19，30，因?yàn)?+19＝，6+30＝，19+30＝，所以，這3個(gè)數(shù)必須屬于3個(gè)不同的小組，于是≥3． 另一方面，可以把1，2，…，30這30個(gè)數(shù)分成如下3個(gè)小組，使得它們滿足題設(shè)條件： {3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24）， {1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26}， {2，10，12

12、，20，22，28，30}， 由于完全平方數(shù)除以4的余數(shù)只能是0或者1，容易驗(yàn)證、、滿足題設(shè)條件． 26.1.13*** 從{1，2，3，…，2000）中最多可能取出幾個(gè)數(shù)，使得任意兩個(gè)取出的數(shù)的差不為質(zhì)數(shù)？ 解析 首先，對(duì)于任意自然數(shù)女，，{，，，…，}中至多取2個(gè)，使得它們的差不為質(zhì)數(shù)． 事實(shí)上，只需考慮集合{1，2，3，4，5，6，7，8}．把它分成3組：，{1，3，6，8），{2，4，7）．集合或中任意兩數(shù)之差均為質(zhì)數(shù)，故、中最多只能取一個(gè)．若5取出，則中1或6可取出．對(duì)于1，5，中不能取出數(shù)了；對(duì)于5，6，中也不能再取出數(shù)了．若5不取出，則、中最多各取一個(gè)，至多為2個(gè)．

13、 綜上所述，{，，，…，}中至多取2個(gè)，它們的差不為質(zhì)數(shù)．從而{1，2，3，…，2000}中至多可取500個(gè)． 又對(duì)于4，4×2，…，4×500這500個(gè)數(shù)，其中任意兩個(gè)數(shù)的差為4的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)． 因此，最多可取500個(gè)數(shù)滿足要求． 26.1.14**** 有一個(gè)正方形的紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；取出其中一部分，再沿一條不過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；又從這三部分中取其中之一，還是沿一條不過(guò)頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分……如此下去，若最后得到了34個(gè)62邊形和一些多邊形的紙片，則至少要剪多少刀？ 解析 根據(jù)題意，用剪刀沿不過(guò)頂點(diǎn)的直線剪成兩部分時(shí)，

14、每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加，于是，經(jīng)過(guò)忌次分割后，可得（1）個(gè)多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為（． 因?yàn)檫@（）個(gè)多邊形中有34個(gè)62邊形．它們的內(nèi)角和為 ， 其余多邊形有（個(gè)），而這些多邊形的內(nèi)角和不少于．所以，解得≥2005． 當(dāng)我們按如下的方式剪2005刀時(shí)，可以得到符合條件的結(jié)論．先從正方形上剪下一個(gè)三角形，得到一個(gè)三角形和一個(gè)五邊形，再在五邊形上剪下一個(gè)三角形，得到2個(gè)三角形和一個(gè)六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個(gè)三角形和一個(gè)62邊形．再取出33個(gè)三角形，在每個(gè)三角形上各剪一刀，又可得到33個(gè)三角形和33個(gè)四邊形，對(duì)這33個(gè)四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀

15、，便得到33個(gè)62邊形和33×58個(gè)三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）． 評(píng)注 我們也是先估計(jì)（剪的次數(shù)）的下界，然后再說(shuō)明這個(gè)下界（2005）是可以取到的，這里給了一個(gè)具體的剪法．注意，這個(gè)具體的剪法是必不可少的．另外，本題中估計(jì)女的下界，用的是“算兩次”方法，即從兩個(gè)不同的方面去考慮同一個(gè)量，一方面……另一方面……結(jié)合兩個(gè)方面，可以得到一個(gè)等式，或者不等式，進(jìn)而得到我們需要的結(jié)果．“算兩次”是解最大值和最小值問(wèn)題的有力工具． 26.1.15*** 某市有一些數(shù)學(xué)愛(ài)好者參加了今年的數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，這次比賽的試題共有6道．已知每道試題恰有500名學(xué)生答對(duì)，但是任意兩名

16、學(xué)生中，至少有一道試題使得這兩名學(xué)生都沒(méi)有答對(duì)，問(wèn)：該市至少有多少名數(shù)學(xué)愛(ài)好者參加了這次數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽？ 解析 首先，易知每位學(xué)生至多答對(duì)了4道題． 事實(shí)上，由題設(shè)知，對(duì)任意一位學(xué)生來(lái)說(shuō)，不可能答對(duì)6題．若有一位學(xué)生答對(duì)5題，由題意知，所有其他學(xué)生都與他答錯(cuò)相同的題，這也與每道試題恰有500個(gè)學(xué)生答對(duì)的題設(shè)矛盾． 若有一位學(xué)生答對(duì)了4題，不妨設(shè)答對(duì)了第l、2、3、4題，則沒(méi)有一位學(xué)生同時(shí)答對(duì)第5題和第6題，否則將與題意矛盾．因?yàn)榇饘?duì)第5題與第6題的學(xué)生各有1500人，這樣，學(xué)生人數(shù)至少為500+500+1>1000人． 若每位學(xué)生至多答對(duì)了3題，由于全部學(xué)生答對(duì)題數(shù)的總和為500×6＝3

17、000題，所以學(xué)生人數(shù)至少有：3000÷3＝1000人． 下面的例子說(shuō)明1000人是可能的． 答對(duì)下列問(wèn)題的人數(shù)各有100人：（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）．（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（3．4，6），（3，5，6）． 綜上所述，至少有1000人參加了這次數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽． 26.1.16*** 一座大樓有4部電梯．每部電梯可?？咳龑樱ú灰欢ㄊ沁B續(xù)三層，也不一定停最底層）．對(duì)大樓中的任意的兩層，至少有一部電梯可同時(shí)?？?，請(qǐng)問(wèn)這座大樓最多有幾層？ 解析 設(shè)大樓有層，則樓層對(duì)有，每部電梯停3層，有個(gè)層次，所以． 所以．當(dāng)

18、時(shí)，四部電梯?？繕菍臃謩e為（1，4，5），（2．4，5），（3，4，5），（1，2，3）． 綜上所述，大樓至多有5層． 26.1.17**** 10個(gè)學(xué)生參加個(gè)課外小組．每一個(gè)小組至多5個(gè)人；每?jī)蓚€(gè)學(xué)生至少參加某一個(gè)小組；任意兩個(gè)課外小組，至少可以找到兩個(gè)學(xué)生，他們都不在這兩個(gè)課外小組中．證明：的最小值為6． 解析 設(shè)10個(gè)學(xué)生為，…，，個(gè)課外小組為，…，． 首先，每個(gè)學(xué)生至少參加兩個(gè)課外小組．否則，若有一個(gè)學(xué)生只參加一個(gè)課外小組，設(shè)這個(gè)學(xué)生為，由于每?jī)蓚€(gè)學(xué)生都至少在某一小組內(nèi)出現(xiàn)過(guò)，所以其他9個(gè)學(xué)生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個(gè)人了，矛盾． 若有一學(xué)生恰好參加兩個(gè)課外

19、小組，不妨設(shè)恰好參加、，由題設(shè)，對(duì)于這兩組，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們沒(méi)有參加這兩組，于是他們與沒(méi)有同過(guò)組，矛盾． 所以，每一個(gè)學(xué)生至少參加三個(gè)課外小組．于是個(gè)課外小組，，…，的人數(shù)之和不小于3×10＝30． 另一方面。每一課外小組的人數(shù)不超過(guò)5，所以個(gè)課外小組，，…，的人數(shù)不超過(guò)，故 ， 所以≥6． 下面構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明是可以的． ， ， ， ， ， ． 容易驗(yàn)證，這樣的6個(gè)課外小組滿足題設(shè)條件． 所以，的最小值為6． 26.1.18**** 2006個(gè)都不等于119的正整數(shù)，，…，排列成一行數(shù)，其中任意連續(xù)若干項(xiàng)之和都不等于119，求的最小值． 解析 首先汪明命

20、題：對(duì)于任意119個(gè)正整數(shù)，，…，其中一定存在若干個(gè)（至少一個(gè)，也可以是全部）的和是119的倍數(shù)． 事實(shí)上，考慮如下119個(gè)正整數(shù) ，，…，， ① 若①中有一個(gè)是119的倍數(shù)，則結(jié)論成立． 若①中沒(méi)有一個(gè)是119的倍數(shù)，則它們除以119所得的余數(shù)只能為1，2，…，118這118種情況．所以，其中一定有兩個(gè)除以119的余數(shù)相同，不妨設(shè)為和，于是 ， 從而此命題得證． 對(duì)于，，…，中的任意119個(gè)數(shù)，由上述結(jié)論可知，其中一定有若干個(gè)數(shù)的和是119的倍數(shù)，又由題設(shè)知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因?yàn)?006＝16×119+102，所以 ． ② 取，其余的數(shù)都為1

21、時(shí)，②式等號(hào)成立． 所以，的最小值為3910． 26.1.19**** 設(shè)是大于2的整數(shù)，將2，3，…，這個(gè)數(shù)任意分成兩組，總可以在其中一組中找到數(shù)，，（可以相同），使得．求的最小值． 解析 當(dāng)時(shí)，把2，3?！?，分成如下兩組： {2，3，，+1，…，一1}和{4，5，…，－1}． 在數(shù)組{2，3。，+1，…，－1}中，由于<，，所以其中不存在數(shù)，，，使得． 在數(shù)組{4，5，…，}中，由于，所以其中不存在數(shù)，，，使得． 所以，． 下面證明時(shí)，滿足題設(shè)條件． 不妨設(shè)2在第一組，則在第二組，在第一組，在第二組． 此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，那么取，，，于是有． 如果8在第

22、二組，那么取，，，于是有． 綜上所述，滿足題設(shè)條件． 所以，的最小值為． 26.1.20** 在9×9的方格表中，有29個(gè)小方格被染上了黑色．如果研表示至少包含5個(gè)黑色小方格的行的數(shù)目，表示至少包含5個(gè)黑色小方格的列的數(shù)目，求的最大值． 解析 首先證明． 假設(shè)，且（或），則有，所以（或）．依題意，這行（或列）中至少包含5×6＝30（個(gè)）黑色的小方格，這與題設(shè)條件矛盾． 所以，． 其次，構(gòu)造的染色方案存在，如圖所示（注意：構(gòu)造不唯一）． × × × ×

23、 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 所以，的最大值為10． 26.1.21*** 在學(xué)校舉行的足球比賽中，每?jī)芍ш?duì)恰好比賽一次．每場(chǎng)比賽中，勝者得2分，輸者得0分，平則各得1分．已知有一隊(duì)得分最高，但它獲勝的場(chǎng)次比任何其他隊(duì)都少，問(wèn)至少有多少支隊(duì)參賽？ 解析 稱得分最多的隊(duì)為優(yōu)勝隊(duì)，設(shè)隊(duì)勝場(chǎng)，平場(chǎng)，則隊(duì)的總分為分． 由已知條件，其余的每一隊(duì)至少要?jiǎng)賵?chǎng)，即得分不少于分，于是，≥3．

24、 因此可以找到這樣一個(gè)球隊(duì)，它和優(yōu)勝隊(duì)打成平局，這個(gè)隊(duì)的得分應(yīng)不少于分，于是，． 設(shè)共有隊(duì)參賽，則優(yōu)勝者至少要?jiǎng)僖粓?chǎng)，否則它的得分就不會(huì)超過(guò)分，任何其他一隊(duì)得分嚴(yán)格少于分，而所有參賽隊(duì)得分少于分，而隊(duì)所得總分為分，矛盾． 于是≥4，≥1，即優(yōu)勝隊(duì)至少要進(jìn)行5場(chǎng)比賽，即有不少于6隊(duì)比賽． 總可以得到一個(gè)6個(gè)隊(duì)的比賽得分表符合題設(shè)條件，即優(yōu)勝隊(duì)勝的場(chǎng)次最少． 得分 / 1 1 1 1 2 6 1 / 2 0 0 2 5 1 0 / 0 2 2 5 得分 1 2 2

25、 / 0 0 5 1 2 0 2 / 0 5 0 0 0 2 2 / 4 26.1.22*** 已知支排球隊(duì)參加比賽．每支球隊(duì)與其他任一支球隊(duì)只比賽1場(chǎng)．一支球隊(duì)獲勝積1分，失敗記0分（排球比賽沒(méi)有平局）．若任意4支球隊(duì)之間進(jìn)行的比賽中，至少有兩個(gè)球隊(duì)積分相同．求的最大值． 解析 先證明：每支球隊(duì)最多勝了3場(chǎng)比賽． 用反證法，假設(shè)球隊(duì)至少勝了4場(chǎng)，不妨設(shè)勝了、、、4支隊(duì)．考慮、、、中的3支球隊(duì)，如、、，由于、、、4支球隊(duì)中共有6場(chǎng)比賽，而已勝3場(chǎng)積3分，剩下的3分只好、、各積1分（因?yàn)槿我馑闹蜿?duì)之間的比賽中，至少有兩個(gè)球隊(duì)積分相同），即在、

26、、3支球隊(duì)之間，每隊(duì)各勝1場(chǎng)．同理、、三支球隊(duì)之間每隊(duì)各勝1場(chǎng)，、、三支球隊(duì)之間每隊(duì)也各勝1場(chǎng)．但這是不可能的．假設(shè)不成立． 再次，支球隊(duì)的循環(huán)賽中所有球隊(duì)得分總和等于比賽場(chǎng)數(shù)，即．而每支球隊(duì)得分不超過(guò)3分，得分總和不超過(guò)．因此，解得≤7． 下面構(gòu)造7支球隊(duì)、、、、、、的得分表，如圖．若勝，則在隊(duì)所在行及隊(duì)所在列處記1，否則記為0，其余類似，該表中某隊(duì)得分是該隊(duì)所在行的元素之和．直接驗(yàn)證與任意四個(gè)隊(duì)的比賽對(duì)應(yīng)的一個(gè)4×4的方陣中總存在兩行的和相等，即至少有兩隊(duì)積分相同． 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

27、 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 26.1.23**** 由9位裁判給參加健美比賽的12名運(yùn)動(dòng)員評(píng)分．每位裁判對(duì)他認(rèn)為的第1名運(yùn)動(dòng)員給1分，第2名運(yùn)動(dòng)員給2分……第12名運(yùn)動(dòng)員給12分．最后評(píng)分結(jié)果顯示：每名運(yùn)動(dòng)員所得的9個(gè)分?jǐn)?shù)中高、低分之差都不大于3．設(shè)各運(yùn)動(dòng)員的得分總和分別為，，…，，且．求的最大值． 解析 9位裁判不可能給某5名或5名以上的運(yùn)動(dòng)員評(píng)為1分．因?yàn)閷?duì)于5名或5名以上的運(yùn)動(dòng)員中，至少有一

28、名運(yùn)動(dòng)員被某裁判評(píng)的分不小于5，而按照題意，這5名運(yùn)動(dòng)員中的每一名被各裁判所評(píng)的分不大于4，矛盾．因此，9位裁判至多給某4名運(yùn)動(dòng)員評(píng)為1分． 下面分不同情形討論． （1）如果所有裁判都給某一名運(yùn)動(dòng)員評(píng)為1分，那么，． （2）如果9位裁判評(píng)出的9個(gè)1分集中在兩名運(yùn)動(dòng)員名下，那么，其中必有一名運(yùn)動(dòng)員至少被5位裁判都評(píng)為1分，于是，由題設(shè)可知，其余裁判給該運(yùn)動(dòng)員的評(píng)分不大于4，從而， ． （3）如果9位裁判評(píng)出的9個(gè)1分集中在三名運(yùn)動(dòng)員名下，那么，這三名運(yùn)動(dòng)員各自所得的總分之和不大于 ． 從而，． 故≤24． （4）如果9個(gè)1分為4名運(yùn)動(dòng)員擁有，那么，這4名運(yùn)動(dòng)員各人所得總分之和等

29、于 9×1+9×2+9×3+9×4＝90． 從而，≤90． 故<23． 綜上可知，≤24． 24這種情形是可以實(shí)現(xiàn)的，見(jiàn)表1．所以的最大值是24． 表1 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 4 3 1 5 2 7 9 6 8 11 10 12 4 3 1 5 2 7 9 6

30、8 11 10 12 4 3 1 5 2 7 9 6 8 11 10 12 3 1 4 2 5 9 6 7 11 10 8 12 3 1 4 2 5 9 6 7 11 10 8 12 3 1 4 2 5 9 6 7 11 10 8 12 合計(jì) 24 24 24 30 33 66 66 66 87 87 87 108 26.1.24** 魔方由27個(gè)小立方體拼成，一條直線穿過(guò)魔方．問(wèn)最多穿過(guò)幾個(gè)小立方體？所謂“穿過(guò)” 指經(jīng)過(guò)其內(nèi)部． 解析 27

31、個(gè)小立方體由橫、豎、縱各4個(gè)平行平面“切”出．容易知道，一條直線穿過(guò)小立方體，必有兩個(gè)交點(diǎn)位于其表面．一條直線被12個(gè)平面（指魔方表面或內(nèi)部、不是無(wú)限伸展的）截出的點(diǎn)數(shù)減去1，便是小線段的個(gè)數(shù)．為了讓這個(gè)數(shù)字盡可能大，該直線不能經(jīng)過(guò)內(nèi)部的格子點(diǎn)，于是它被內(nèi)部平面共截得最多2+2+2＝6個(gè)點(diǎn)，該直線被魔方表面又截出2個(gè)點(diǎn)，因此其上總共最多有8個(gè)截點(diǎn)，因此最多穿過(guò)7個(gè)小立方體． 26.1.25*** （1）在4×4的方格紙中，把部分小方格染成紅色，然后劃去其中兩行與兩列．若無(wú)論怎樣劃，都至少有1個(gè)紅色的小方格沒(méi)有被劃去，則至少要染多少個(gè)小方格？ （2）如果把（1）中的“4×4”方格紙改成“”

32、（≥5）的方格紙，其他條件不變，那么，至少要染多少個(gè)小方格？ 解析 （1）若染色的小方格數(shù)小于或等于4，則可適當(dāng)?shù)貏澣尚信c兩列，把染色的小方格都劃去． 若染色的小方格數(shù)為5，則由抽屜原理知，必有一行至少有2個(gè)小方格染色，劃掉這一行，剩下的染色的小方格數(shù)不超過(guò)3，再劃去一行兩列可把染色的小方格全部劃去． 若染色的小方格數(shù)為6，則必有一行至少有3個(gè)小方格染色或有兩行各有2個(gè)小方格染色，故劃去兩行至少能劃去4個(gè)染色小方格，剩下的染色的小方格不超過(guò)2，再劃去兩列就可以把它們?nèi)縿澣ィ? 所以，染色的小方格數(shù)大于或等于7． 又按圖（）所示的方式染色，則劃去任意兩行和兩列都不能把染色的小方格全

33、部劃去． 所以，至少要染7個(gè)小方格． （2）若染色的小方格數(shù)小于或等于4，則劃去兩行兩列必可將它們?nèi)縿澣ィ? 又按如圖（）所示的方式染色，則任意劃去兩行兩列都不能把染色的小方格全部劃去． 所以，至少要染5個(gè)小方格． 26.1.26*** 一次數(shù)學(xué)考試中共有4道選擇題，每道題有3個(gè)可能的答案，一批學(xué)生參加考試．結(jié)果對(duì)于其中任何3個(gè)學(xué)生，都有一道題目，每個(gè)人的答案各不相同，問(wèn)至多有多少個(gè)學(xué)生參加考試？ 解析 至多9個(gè)學(xué)生． 我們?cè)O(shè)每個(gè)問(wèn)題的答案為0、1、2三種．如果人數(shù)≥10，則第4個(gè)問(wèn)題的答案中，最多的兩種至少出現(xiàn)7次．考慮這7個(gè)人，他們對(duì)第四個(gè)問(wèn)題的答案為0或1（設(shè)答案2

34、最少）． 這7個(gè)人對(duì)第3個(gè)問(wèn)題的答案中，最多的兩種（設(shè)為0與1）至少出現(xiàn)5次． 5個(gè)人（他們第3個(gè)問(wèn)題的答案為0或1）對(duì)第2個(gè)問(wèn)題的答案中，最多的兩種（不妨仍設(shè)為0或1）至少出現(xiàn)4次． 因此，有4個(gè)人，他們對(duì)第2、第3、第4個(gè)問(wèn)題的答案均為0或1，這4個(gè)人中有兩個(gè)人對(duì)第一個(gè)問(wèn)題的答案相同．這兩個(gè)人及（4個(gè)人中的）另一個(gè)人，對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的答案均至少有兩個(gè)是相同的． 因此總?cè)藬?shù)≤9． 另一方面，如果9個(gè)人的答案如下表所示，則每三個(gè)人都至少有一個(gè)問(wèn)題，他們的答案各不相同． 人 問(wèn)題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 2

35、 0 1 2 0 1 2 2 1 2 0 0 1 2 2 0 1 3 0 1 2 1 2 0 2 0 1 4 1 1 1 0 0 0 2 2 2 26.1.27**** 某市有所中學(xué)，第所中學(xué)派出名學(xué)生（1≤≤39，1≤≤）到體育館觀看球賽，觀賽學(xué)生總數(shù)為．看臺(tái)上每一橫排有199個(gè)座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐同 一橫排．問(wèn)體育館最少要安排多少個(gè)橫排才能保證全部學(xué)生都能坐下？ 解析 首先，證明1 2個(gè)橫排能保證按要求使全部學(xué)生坐下． 把1990名學(xué)生按學(xué)校順序排成一排，然后抽出第199號(hào)（從左向右算起）學(xué)生所在

36、學(xué)校的全體學(xué)生，第398號(hào)（398＝199×2）學(xué)生所在學(xué)校的全體學(xué)生……第1791號(hào)（1791＝199×9）學(xué)生所在學(xué)校的全體學(xué)生，于是，留在隊(duì)伍里的學(xué)生被分成了10段，每一段的總?cè)藬?shù)小于199，故用10個(gè)橫排可以安 排他們坐下． 又由于5×39＝195<199，所以，每一橫排至少可以坐5所學(xué)校的學(xué)生．于是，抽出的9所學(xué)校的學(xué)生用2個(gè)橫排就能安排他們坐下．這就說(shuō)明了12個(gè)橫排能保證按要求使全部學(xué)生坐下． 其次，證明12個(gè)橫排是最少的． 取=80，其中79所學(xué)校各派25人，另一所學(xué)校派15人．則 79×25+15＝1990． 由于25×7＝175<199， 25×8＝200>19

37、9， 所以，除了某排能安排8所學(xué)校的 7×25+15＝190 名學(xué)生外，其余每排只能安排7所學(xué)校的學(xué)生，11個(gè)橫排總共只安排了8+10×7＝78個(gè)學(xué)校的學(xué)生，矛盾． 評(píng)注 首先，猜出答案是12（利用本題的解法不難想到）．然后，證明12排是可以的，再構(gòu)造實(shí)例說(shuō)明11排不行．這種“先猜后證”的方法對(duì)于解離散量最值問(wèn)題非常有效．另外注意，本題中的“構(gòu)造”不是唯一的，瀆者可以自己再構(gòu)造一個(gè)例子． 26.1.28*** 平面上有7個(gè)點(diǎn)，它們之間可以連一些線段，使7個(gè)點(diǎn)中的任意三點(diǎn)必存在兩點(diǎn)有線段相連．問(wèn)至少要連多少條線段？證明你的結(jié)論． 解析 首先，證明需連的線段條數(shù)大于或等于9．

38、下面分4種情形討論． （1）若7個(gè)點(diǎn)中，存在1個(gè)點(diǎn)不與其他點(diǎn)連線，由題設(shè)，剩下的6個(gè)點(diǎn)必每?jī)牲c(diǎn)都有連線，此時(shí)，至少要連半一15條線段． （2）若7個(gè)點(diǎn)中，有1個(gè)點(diǎn)只連出1條線段，則其余5個(gè)點(diǎn)必每?jī)牲c(diǎn)都有連線，此時(shí)，至少有條線段． （3）若每一個(gè)點(diǎn)至少連出2條線段，且有1個(gè)點(diǎn)恰好連出2條線段，不妨設(shè)這點(diǎn)為，連出的2條線段為、，則不與點(diǎn)相連的4個(gè)點(diǎn)每?jī)牲c(diǎn)都必須連線，要連條線段．而點(diǎn)連出的線段至少2條，故除外，至少還有1條，所以，此時(shí)至少要連6+2+1＝9條線段． （4）若每一個(gè)點(diǎn)至少連出3條線段，則至少要連7×3÷2>10條線段． 綜上可知，圖中的線段數(shù)大于或等于9． 如圖給出了構(gòu)

39、造的一個(gè)例子，即說(shuō)明9條線段是可以的．綜上所述，最少要連9條線段． 26.1.29*** 8×8的國(guó)際象棋棋盤中最多能放幾個(gè)不重疊的“十字架”形？ 解析 如圖所示，在棋盤中標(biāo)好數(shù)字，易知十字架形的中央格，只能從標(biāo)上數(shù)的小方格中選擇．顯然，在標(biāo)1的3×3棋盤中，最多只能容納2個(gè)中央格，其余類推，故十字架形至多8個(gè)．不難構(gòu)造例子． 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 12