初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第3章 一元方程試題3 新人教版

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1、 一元方程 的兩根都是整數(shù)，求實數(shù)點的值． 解析 由于是實數(shù)，所以不能利用判別式來求解．先求出方程的兩根，，由于、是整數(shù)，所以，從上面兩式中消去，便得關(guān)于、的不定方程，解出、，便能求得．原方程為 ， ， 所以 ，． ，． 消去，得 ， ， ， 故 解得（舍去）， 從而，，． 所以，所求的，，． 3．5．7★★設(shè)是質(zhì)數(shù)，并使得方程有兩個整數(shù)根，求的值． 解析 因為方程的根呈整數(shù)，所以其判別式必是完全平方數(shù)． 因是質(zhì)數(shù)，必整除，于是整除． 因此，5或29． 當(dāng)時，則有，不是一個完全平方數(shù)． 當(dāng)時，則有，不是一個完全平方數(shù)． 當(dāng)時，則有． 所以．

2、（此時，．） 3.5.8★★★已知、是正整數(shù)，試問關(guān)于的方程是否有兩個整數(shù)解？如果 有，請把它們求出來；如果沒有，請給予證明． 解析 不妨設(shè)，設(shè)方程的兩個整數(shù)根為、，則有 所以 ， ． 因為、都是正整數(shù)，所以、均是正整數(shù)，于是，，，，，所以 或 ⑴當(dāng)時，由、是正整數(shù)，且，可得，，此時，一元二次方 程為，它的兩個根為，． ⑵當(dāng)時，可得，，此時，一元二次方程為，無整數(shù)解． 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)，時，題設(shè)方程有整數(shù)解，它的兩個整數(shù)解為，． 3.5.9★★★已知、都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于的二次方程 至少有一個正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對． 解析 由方程兩根的和為可知，若方程有

3、一個根為整數(shù)，則另一個根也是整數(shù)．由方程兩根的積為，知方程的另一個根也是正整數(shù)． 設(shè)方程的兩個正整數(shù)根分別為、，由根與系數(shù)的關(guān)系得 ， ① ． ② 由②得，、有如下幾種可能的情況： 所以，，，，，代入①． 當(dāng)時，，而，故此時無解． 當(dāng)時，，所以 ， 因為、都是質(zhì)數(shù)，只可能 所以． 當(dāng)時，，所以，不可能． 當(dāng)時，，所以，于是， ． 綜上所述，滿足條件的質(zhì)數(shù)對或． 3.5.10★★★已知關(guān)于的一元二次方程 的兩個根均為整數(shù)，求所有滿足條件的實數(shù)的值． 解析 原方程可化為，因為此方程是關(guān)于的一元二次方程，所以，．于是 ，． 從上畫兩式中消去，

4、得 ， 于是． 因為、均為整數(shù)，所以 故，，，，，，0，3．顯然，又 ， 將，，，，，，3分別代入上式得 式得 ，，，，，15，3． 3.5.11★★★設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)．求滿足條 件的所有實數(shù)是的值． 解析 原方程式可變形為： ， ． 因， 則， ． 于是，，． 消去，得 ， 從而，． 由于、都是整數(shù)，則 即 故，3，． 經(jīng)檢驗，，3，滿足題意． 3.5.12★★已知關(guān)于的一元二次方程無相異兩實根，則滿 足條件的有序正整數(shù)組有多少組？ 解析 因為 無相異兩實根，所以，判別式 ， 化簡為，所以，因為、為正整數(shù)，

5、所以，所以，故． 當(dāng)時，，故，所以符合條件的有序正整數(shù)對共有7組； 當(dāng)時，，故，所以符合條件的有序正整數(shù)對共有4組； 當(dāng)時，，故，所以符合條件的有序正整數(shù)對共有3組； 當(dāng)時，，故，所以符合條件的有序正整數(shù)對共有1組； 當(dāng)時，，故，所以符合條件的有序正整數(shù)對共有1組； 綜上所述，符合條件的有序正整數(shù)組共有(組)． 3.5.13★★★若正整數(shù)、是關(guān)于的方程的兩個根，求 、的值． 解析 由條件得：， ① ， ② 由①得，由、為正整數(shù)，則 ’ 所以，③ 由②，③得，④ 將④寫作，⑤ 而． 由于、為正整數(shù)，則與皆不能取到與，因此對于⑤式，只有如下四種可能的情況，

6、 (i) (ii) (iii) (iv) 分別解得與 經(jīng)驗證，只有，這一組解能滿足①、②式，這時原方程成為． 因此本題的解為，． 3.5.14★★★、為整數(shù)，并且是關(guān)于的方程的兩個根，求、 的值． 解析 據(jù) 可知，，所以、為正整數(shù)． 由②，，即 ．③ 而，對于正整數(shù)、，與皆不能取到與． 故由①，只有四種可能的情形： (i) (ii), (iii) (iv) 由此 代入①，只有，符合條件． 這時原方程化為，它顯然有兩個根13與7． 因此本題只有一解，． 3.5.15★★、為正整數(shù)，，若關(guān)于的方程有正整數(shù)解，求的最小值． 解析 設(shè)方程的兩根為

7、、，則 ① 則因、中有一個為正整數(shù)，另一個也必是正整數(shù)，不妨設(shè)，由①得 ， 故． ② 由于59為質(zhì)數(shù)，則，中必有一個是59的倍數(shù)，在式中，若取，，則 ，即． 若取，則，這時，因此的最小值為95． 3.5.16★★是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的方程 ① 有整數(shù)解？ 解析 不存在滿足條件的整數(shù)． 事實上，若是滿足條件的整數(shù)，并設(shè)是①的整數(shù)根，則由平方數(shù)或，于是，1或，這與矛盾． 評注利用整數(shù)理論來處理整系數(shù)一元二次方程的整數(shù)根問題是不易考慮到的想法，解題中往往能出 奇制勝． 3.5.17★★求所有的正整數(shù)，使得以表示為兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積． 解析設(shè)正整

8、數(shù)、滿足 ， 則上述關(guān)于的一元二次方程有正整數(shù)解，于是 是一個完全平方數(shù)． 設(shè)為非負(fù)整數(shù)，且，得，所以 注意到，與有相同的奇偶性，可知或．進(jìn)而，求得或1． 綜上，滿足條件的正整數(shù)為4或． 評注 在利用判別式處理一元二次方程整數(shù)解問題時，經(jīng)常會涉及求一個二元二次不定方程整數(shù)解． 3.5.18★★★是否存在整數(shù)、、，使得方程 和 都有兩個整數(shù)根？ 解析 不存在這樣的整數(shù)． 事實上，若存在滿足條件的、、，我們不妨設(shè)為偶數(shù)（否則用代替討論，當(dāng)然，此時應(yīng)將兩個方程都乘）． 由于有兩個整數(shù)根，故和都是整數(shù)（這一點由韋達(dá)定理可知），所以和都為偶數(shù)（這里用到奇數(shù)不能被偶數(shù)整除

9、）．這表明方程 的系數(shù)都為奇數(shù)，設(shè)其兩個整數(shù)根為、．則為奇數(shù)，于是、都為奇數(shù)，從而為偶數(shù)，這要求為偶數(shù)．與，，都為奇數(shù)矛盾． 評注 這里從的奇偶性出發(fā)討論是關(guān)鍵，在運用韋達(dá)定理后，整個問題變?yōu)橐坏榔媾挤治鰡栴}． 3.5.19★★★已知是正整數(shù)，如果關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根． 解析 觀察易知，方程有一個整數(shù)根，將方程的左邊分解因式，得 ． 因為是正整數(shù)，所以關(guān)于的方程 ① 的判別式，它一定有兩個不同的實數(shù)根． 而原方程的根都是整數(shù)，所以方程①的根都是整數(shù)，因此它的判別式應(yīng)該是一 個完全平方數(shù)． 設(shè)（其中為非負(fù)整數(shù)），則 ，即 ． 顯然與的奇

10、偶性相同，且，而，所以 或或 解得或或 而是正整數(shù)，所以只可能 或 當(dāng)時，方程⑴，它的兩根分別為和．此時原方程的三個根為1、 和． 當(dāng)時，方程⑴即，它的兩根分別為和．此時原方程的三個根為1、 和． 3.5.20★★★★求所有的正整數(shù)組，使得如下三個關(guān)于的二次方程 ， ， 的根都是正整數(shù)． 解析 設(shè)方程的兩個根為、，且；的兩個根為、，且；的兩個根為、，且．于是由韋達(dá)定理知 ，， ，， ，． 所以 ， 故， ．① 由于、都是正整數(shù)，由知，、中至少有一個為偶數(shù)，從而 ， 同理， ． 結(jié)合①式便得 ， 從而，，進(jìn)而便得 ． 當(dāng)對，三

11、個方程都為，正整數(shù)根為1和2． 所以，所求的正整數(shù)組． 3.5.21★★★證明：存在無窮多對正整數(shù)（，），滿足方程 ． 解析1 原方程可以寫為 ， 于是 是完全平方數(shù)． 設(shè)，其中是任意一個正整數(shù)，則． 于是 ，或． 所以，存在無窮多對正整數(shù)（其中是正整數(shù)）滿足題設(shè)方程． 解析2原方程可寫為 ， 所以可設(shè) （是正整數(shù)），① 于是．② ①②得 ． 令（是任意正整數(shù)），則． 于是 ． 所以，存在無窮多對正整數(shù)（其中是任意正墊數(shù)）滿足題設(shè)方程． 3.6列方程解應(yīng)用題 3.6.1★★甲、乙二人用相同的速度，沿著同一條道路從地到地，甲先出發(fā)，當(dāng)甲所行

12、的路程是乙 的2倍時，甲又行了5千米到達(dá)地，然后立即返回，行了全程的時，與乙還相距3千米．那么、兩地相距多少千米？ 解析 該題運動過程看似比較復(fù)雜，但抓住甲、乙速度相同這一條件，則二者在相同的時間內(nèi)，行駛的路程相同，可將問題理清簡化． 設(shè)、兩地相距千米，則當(dāng)甲所行的路程是乙的2倍時，甲行的路程為千米，下面計算乙 行駛的路程． 由于甲、乙速度相同，故當(dāng)甲行了千米時，乙也行駛了相同的距離，故有，所以 ， 依題意得方程 ， 解得．所以、兩地相距22千米． 3.6.2★輪船從城到城需行5晝夜，而從城到城需行7晝夜，現(xiàn)由城放一木筏于水中漂流至城（木筏無任何動力），途中需多少晝夜？

13、解析 設(shè)、間距離為，船順?biāo)畷r的速度為，船逆水時的速度為，則水速為，故有途中所需時間為晝夜． 3.6.3★一艘輪船從港到港順?biāo)叫行?小時，從港到港逆水航行需8小時，若在靜水條件 下，從港到港需多少小時？ 解析 設(shè)船在靜水條件下，從港到港需小時，兩港之間的距離為千米，由 “船的順流速度船的靜水速度船的靜水速度船的逆水速度”， 得， ． 所以，從港到港需小時． 3.6.4★輛汽車在上坡路上行駛的速度是每小時40千米，在下坡路上行駛的速度是每小時50千米，在平路上行駛的速度是每小時45千米，某日這輛汽車從甲地開往乙地，先是用了的時間走上坡路，然后用了的時間走下坡路，最后用了的時間走平

14、路．已知汽車從乙地按原路返回甲地時，比從甲 地開往乙地所用時間多15務(wù)鐘，那么甲、乙兩地的距離是多少？ 解析 設(shè)這輛汽車從甲地開往乙地共需小時，依題意得 ， 解得（小時），所以甲、乙兩地距離為 （千米）． 3.6.5★★汽車將甲鎮(zhèn)的日用品運到乙村，要經(jīng)過上坡路20公里，下坡路14公里，平路5公里，然后再將乙村的糧食運往甲鎮(zhèn)，汽車往返所用的時間相差10分鐘，已知汽車在上坡時、下坡時、走平路時的平均速度之比為3:6:5，求 ⑴汽車在上坡時、下坡時、走平路時的各個平均速度； ⑵自甲鎮(zhèn)到乙村及乙村到甲鎮(zhèn)汽車各需要的時間． 解析 按題意，可設(shè)汽車在上坡時、下坡時、走平路時的平均速度順次

15、是公里／時、公里／時、公里／時（其中），于是有 汽車從甲鎮(zhèn)到乙村所用的時間 ． 汽車從乙村到甲鎮(zhèn)所用的時間 ． 按題意易知，所以，解得． ⑴汽車在上坡時、下坡時、走平路時的平均速度順次是18公里／時、36公里／時、30公里／時． ⑵汽車從甲鎮(zhèn)到乙村所需時間（小時），汽車從乙村到甲鎮(zhèn)所需時間（小時）． 3.6.6★★甲乙兩人在一圓形跑道上跑步，甲用40秒鐘就能跑完一圈，乙反向跑每15秒鐘和甲相遇一 次，求乙跑完一圈所需時間． 解析 欲求乙跑完一圈所需的時間，就必須知道他的速度米／秒，因此選擇作輔助未知數(shù)．設(shè)乙跑完一圈需秒，乙跑步的速度為米／秒，由題意，一圈的總路程為米，甲的速

16、度為米／秒，于是得 ， 因為，所以 ， 解得． 故乙跑完一圈需要24秒． 評注 這里是設(shè)而不求的輔助未知數(shù)． 3.6.7★★旅行者從下午3時步行到晚上8時，他先走平路，然后上山，到達(dá)山頂后就按原路下山，再走平路返回出發(fā)地，若他走平路每小時行4千米，上山每小時行3千米，下山每小時行6千米，問旅行者一共行多少千米？ 解析 設(shè)旅行者所走的全程為千米，山路長為千米，則他上山需小時，下山需小時，走平路來回需小時，依題意，有方程 ， 所以 ． 故． 所以，旅行者一共行了20千米． 評注 這里的是設(shè)而不求的未知數(shù)，它在解題過程中消去了． 3.6.8★★在四點到五點之間，時針

17、和分針在什么時刻重合？ 解析 設(shè)從四點開始，分鐘后兩針重合．如圖所示，在四點整時，時針指向4，分針指向12，它 們之間的夾角是．根據(jù)常識，每60分鐘，時針轉(zhuǎn)動一格，即轉(zhuǎn)了，那么一分鐘轉(zhuǎn)了；每5分鐘，分針轉(zhuǎn)動一格，即轉(zhuǎn)了，那么1分鐘轉(zhuǎn)了． 如果時針和分針重合，那么，解得． 所以，時針和分針在4點分時重合． 3.6.9★某城市按以下規(guī)定收取煤氣費：⑴每月所用煤氣按整立方米數(shù)計算；⑵若每月用煤氣不超過60立方米，按每立方米0.8元收費，若超過60立方米，超過部分按每立方米1.2元收費，已知某戶人家某月昀煤氣費平均每立方米0.88元，則這戶人家需要交煤氣費（ ）． A．60元

18、 B．66元 C．70元 D．75元 解析 由于，所以這戶人家用的煤氣超過60立方米，設(shè)用了立方米，則 ， 所以，（元）． 故選B． 3.6.10★★某寺院有甲、乙、丙三口銅鐘，甲鐘每4秒敲響一聲，乙鐘每5秒敲響一聲，丙鐘每6秒敲響一聲，新年到來時，三口鐘同時開始敲響且同時停敲，某人共聽到365聲鐘響，若在此期間，甲、乙、丙三口鐘敲響的次數(shù)分別為次、次、次，求的值． 解析 設(shè)敲鐘持續(xù)的時間為秒，則在此期間 甲鐘敲響的次數(shù)為：； 乙鐘敲響的次數(shù)為：； 丙鐘敲響的次數(shù)為：； 甲與乙鐘同時敲響的次數(shù)為：； 甲與丙鐘同時敲響的次數(shù)為：； 乙與丙鐘同時敲響的次數(shù)為：；

19、 甲、乙、丙鐘同時敲響的次數(shù)為：． 依題意得： 3， 因此，，代入、、的表達(dá)式得 ． ， ． 所以，． 3.6.11★★準(zhǔn)備將若干個零件放入盒子里，盒子至少10個，每個盒子中的零件個數(shù)必須相等，如果每 個盒子放12個，最后剩下一個；如果增加3個盒子，便可將零件全部放完．問原有多少個盒子？ 解析 設(shè)原有個盒子，則零件數(shù)是．增加3個盒子，盒子數(shù)是，每個盒子的零件數(shù)是 ．依題意，是整數(shù)，即 是整數(shù)，所以，35能被整除．而，所以．于是，即． 所以，原有32個盒子． 3.6.12★★我們在運動場上踢的足球大多是由許多小黑白塊的皮縫合而成的．如圖，若已知黑塊共12塊，求白

20、塊有多少塊？ 解析 黑塊呈五邊形，白塊呈六邊形，每塊黑皮的五條邊分別與五塊白皮的一條邊縫合在一起，而每塊白皮的三條邊分別與三塊黑皮縫合在一起．所以封閉足球表面上的12塊黑皮和若干塊白皮緊密相連，白皮、黑皮的邊數(shù)都不會有剩余或缺少． 如果設(shè)白皮有塊，那么它共有條邊．在條邊里，一部分是白皮與白皮交連，另一部分是白皮 與黑皮交接．顯然，與黑皮相接在一起的有條邊．由于已數(shù)出的黑皮共有12塊，每塊黑皮有5條邊，所以黑皮共有條邊．根據(jù)題意，得，． 因此，白皮共有20塊． 3.6.13★★★從兩個重量分別為12千克和8千克，且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊， 把所切下的每塊和另一

21、塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等，求所切下的合金 的重量是多少千克？ 解析1 設(shè)所切下的每塊合金的重量為千克，重12千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為，重8千克的合金 的含銅百分?jǐn)?shù)為，于是有 ， 整理得 ． 因為，所以，因此． 所以，所切下的合金的重千克． 解析2 設(shè)從重12千克的合金上切下的千克中含銅千克，從重8千克的合金上切下的千克中含 銅千克，則這兩個合金含銅的百分?jǐn)?shù)分別為和．于是有 ， 整理得 ． 因為，所以，因此，即所切下的合金重千克． 評注 在解含參數(shù)的方程時，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化為只含有待求未知數(shù)的一般方程，也就是說應(yīng)用題的解答與參

22、數(shù)的數(shù)值無關(guān)． 3.6.14★★★設(shè)有甲、乙兩個杯子，甲杯中裝有10升溶液，乙杯中裝有10升溶液，現(xiàn)在從甲杯中取出一定量的溶液，倒入乙杯并攪拌均勻，再從乙杯中取出等量的混合液倒入甲杯，測得甲杯溶液和溶液的比為5:1，求第一次從甲杯中取出的溶液是多少升？ 解析1 設(shè)從甲杯取出升溶液倒入乙杯，則乙杯中溶液與溶液的比為∶10．從這混合液中取出升，其中含溶液為升，溶液為升，所以 ， 化簡得．即． 故第一次從甲杯中取出的溶液是2升． 解析2 注意到：⑴經(jīng)過兩次混合后，甲、乙兩杯仍各有10升混合液，甲杯中、溶液比為5:1，說明乙杯中、溶液比為1:5；⑵第一次混合后乙杯中的、溶液比就是1:5．所

23、以，設(shè)第一次從甲杯倒入升溶液到乙杯，則在第一次倒入后得，即（升）． 故第一次從甲杯中取出的溶液是2升． 3.6.15★★★★游泳者在河中逆流而上，于橋下將水壺遺失被水沖走，繼續(xù)向前游了20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回，在橋下游距橋千米的橋下追到水壺．求該河水流的速度． 解析 設(shè)該河水流的速度為每小時千米，游泳者每小時游千米，則游泳者自橋逆流游了千米到處，在返回中用了小時，比水壺在遺失后飄流時間導(dǎo)小時少20分鐘，因此得 ， ， ， （利用了合分比）， 所以， ． 所以，水流的速度是每小時3千米． 3.6.16★★★商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個小孩嫌自動扶梯太

24、慢，于是在行駛的自動扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒鐘向上走3個梯級，結(jié)果男孩用了40秒鐘，女孩用了50秒鐘到達(dá)樓上，當(dāng)該自動扶梯靜止時，可看到的自動扶梯的梯級共有多少級？ 解析 設(shè)自動扶梯每秒鐘上升級，由題意得 ， 解得，．所以，（級）． 所以，共有100級． 3.6.17★★★在一次象棋循環(huán)比賽中，每個棋手有一半的得分是在與最后三名次的棋手交鋒中獲得的． 試問，這次比賽有多少人參加？（規(guī)定每一局對弈的得分全部屬于勝者或由互成和局的對手平分，負(fù)者不失分．） 解析 為敘述方便，稱最末三名次的棋手為“弱手”，其余為“強(qiáng)手”，并設(shè)一局的得分為1分，那么弱手間彼此要賽三局，

25、他們合計取得3分，依條件，這是他們?nèi)康梅趾嫌嫷囊话?，因此弱手對?qiáng)手合計取得3分．接下來，我們采用直接設(shè)元法來做這道題目． 設(shè)這次比賽共有人參加，強(qiáng)手同弱手共賽局，產(chǎn)生同樣數(shù)目的分?jǐn)?shù)。其中3分由弱手取得，其余分由強(qiáng)手取得． 依條件，強(qiáng)手對強(qiáng)手的得分總數(shù)亦是． 強(qiáng)手對強(qiáng)手要賽局，產(chǎn)生同樣數(shù)目的分?jǐn)?shù)．因此 ， 解得，或． 而的情況應(yīng)排除，因為僅有一個強(qiáng)手不能對自己得分． 所以，． 故這次比賽共有9人參加． 3.6.18★★四位女孩——小陳、小周、小張和小嚴(yán)在演唱會上組成三重唱，即每次一人退出．小嚴(yán)唱了 7首歌，比其他任何一個人都多．小陳唱了4首歌，比其他任何一個人都少．問：這三

26、人組共唱了多少 首歌？ 解析 小嚴(yán)唱得最多為7首，小陳唱得最少為4首，所以，其他二人：小周、小張唱的歌為5或6首，設(shè)她們共唱了首歌，則或或． 因為為正整數(shù)，故，． 所以，這三人組共唱了7首歌． 3．7含絕對值的方程 3.7.1★解方程． 解析 原方程可變形為 ， ， ， 所以．或．即，或． 3.7.2★解方程． 解析 原方程可變形為 ， 所以，，即． 所以或，解得或． 因為，所以原方程的解為． 評注 解這類含絕對值的方程，先把方程的一邊整理為只含有絕對值符號，另一邊不含有絕對值符號的方程，再根據(jù)絕對值是非負(fù)數(shù)找出隱含條件，最后判別求得的解是否滿足隱含條件．

27、 3.7.3★解方程． 解析 采用零點分段法，將全體實數(shù)分成，，三段，在這三個范圍內(nèi)討論． ⑴當(dāng)時，原方程為 ， 解得，與條件矛盾，此時無解． ⑵當(dāng)時，原方程為 ， 解得，滿足．所以是原方程的解． ⑶當(dāng)時，原方程為 ， 解得，滿足，所以是原方程的解． 綜上所述，原方程的解為或． 3.7.4★解方程． 解析 式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示的點與點、點6的距離之和等于 8，從數(shù)軸上容易看出滿足條件的在與6之間，即，解得． 3.7.5★★解方程． 解析 由，可得 或． ⑴當(dāng)時， ， 則，即．那么 或， 解得（不符合題意，舍去），或． ⑵當(dāng)時，得 ，

28、 則，即．那么 或， 解得，或（不符合題意，舍去）． 所以原方程的解為或． 3.7.6★★已知方程有一負(fù)根，且無正根，求的取僮范圍． 解析 設(shè)為方程的負(fù)根，原方程為， 即，所以應(yīng)有． 設(shè)方程有正根，原方程為，即，所以應(yīng)有． 綜上所述，若使原方程有一負(fù)根且無正根，必須． 3.7.7★★若方程只有負(fù)根，求實數(shù)的取值范圍． 解析 ⑴當(dāng)時，原方程為 ． 當(dāng)時，方程無解； 當(dāng)時，則，所以． ⑵當(dāng)時，原方程為 ． 當(dāng)時，方程無解； 當(dāng)時，得，所以． 綜上可知，若使此方程只有負(fù)根，必須 ． 3.7.8★★、為有理數(shù)，且，方程 有三個不相等的解，求的值． 解析

29、原方程可化為，即 ． ⑴若與均大于0，則方程的解為 ，， 當(dāng)時，這4個解兩兩不同；當(dāng)時，原方程只有兩解． ⑵若與中恰有一個為0時，那么先設(shè)，方程右3個解，，； 再設(shè)，方程只有1個解． ⑶若與中有小于0的，則方程的解少于3個． 綜上所述，當(dāng)時此方程有三個不相等的解． 3.7.9★★已知關(guān)于的方程為： ． ⑴解這個方程； ⑵若是一個奇質(zhì)數(shù)的平方，證明這個方程的解是合數(shù)． 解析 ⑴當(dāng)時，原方程的解是的一切實數(shù)； 當(dāng)時，原方程可化為 ， 由，得； 由，得，矛盾． 經(jīng)檢驗，是方程的解． 綜上所述，當(dāng)時，原方程的解是的一切實數(shù)；當(dāng)時，原方程的解是． ⑵設(shè)，其中是奇質(zhì)

30、數(shù)，由⑴知，這時方程的解為 ． 當(dāng)時，是合數(shù)； 當(dāng)時，設(shè)，是大于1的正整數(shù)，則 為3的倍數(shù)（且大于3），是合數(shù)， 3．8分式方程 3.8.1★解方程 ． 解析 令，那么原方程為 ． 去分母得 , ， ， 所以 或． 由得，即，所以，；由，得，即，所以，． 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的根． 3.8.2★解方程． 解析 直接通分是非常復(fù)雜的，也是不明智之舉．注意到，每項都是分子為1，分母為兩因式的乘積，且各分母兩個因式的差是一個相同的常數(shù)．對于這一類問題，我們可采取如下裂項相消法： 方程兩邊先同時乘以2 ． 裂項得 ， ， ， ， 所以

31、， 解得． 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解． 3.8.3★★解方程 ． 解析設(shè)，則原方程可化為 ， ， 所以或． 當(dāng)時，，，故 ． 此方程無實數(shù)根， 當(dāng)時，，，故 ， 所以或． 經(jīng)檢驗，，是原方程的實數(shù)根． 3.8.4★★解方程 ． 解析 方程中各項的分子與分母之差都是1，根據(jù)這一特點把每個分式化為整式和真分式之和，這樣原方程即可化簡．原方程化為 ， ， 即 ， 所以 ， 解得． 經(jīng)檢驗是原方程的根． 3.8.5★★解方程 ． 解析 注意到方程左邊每個分式的分母中兩個一次因式的差均為常數(shù)1，故可考慮把一個分式拆成兩個分式之差的形式，用拆項相

32、消進(jìn)行化簡，原方程變形為 ， 整理得 ， 去分母得 ， 解得 ，． 經(jīng)檢驗知，，是原方程的根． 3.8.6★★解方程． 解析 令，則上式可化為 ． 去分母，并整理得 ， 即． 所以． 解得 ，，，． 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解． 3.8.7★★解方程 ． 解析 顯然，原方程可化為 ． 令，則方程可化為 ． 解此方程得或． 于是，或．解得． 經(jīng)檢驗，是原方程的解． 評注 形式為的公式方程，均可變形為 ， 再用換元法求解． 3.8.8★★解方程 ． 解析 形式與上例相似．本題中分子與分母只是一次項的符號相反，故可考慮用合分比定理化簡．原

33、方程變形為 ， 即． 當(dāng)時，解得． 經(jīng)檢驗，是原方程的根，且也是原方程的根． 評注 使用合分比定理化簡時，可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象，需細(xì)致檢驗． 3.8.9★★★解方程． 解析 方程的左邊是平方和的形式，可添項后配成完全平方的形式 ， ， ． 于是或． 當(dāng)時，得，無實數(shù)解． 當(dāng)時，得，，所以，． 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解． 3.8.10★★解方程 ． 解析 將原主方程變形為 ． 設(shè)，則原方程變?yōu)? ， 解得，． 當(dāng)時，； 當(dāng)時，． 經(jīng)檢驗及均是原方程的根． 評注 像這類特殊類型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有兩個根，顯然時，與就是所求

34、的根．例如，方程，即，所以，． 3.8.11★★★解方程 ． 解析 由原方程可得 ， 即． 令，則上式即 ， 所以或． 于是，或． 解得，，，． 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解． 3.8.12★★解方程． 解析 設(shè)，則原方程為， 又根據(jù)假設(shè)可得，即 ． 韋達(dá)定理可得或 解得 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解． 3.8.13★★解關(guān)于的方程 ． 解析 設(shè)，則原方程變?yōu)? ． 所以或． 由，得；由，得． 將或代入分母，得或，所以，當(dāng)時，及都是原方程的根，當(dāng)時，原方程無解． 3.8.14★★如果方程 只有一個實數(shù)根，求的值及對應(yīng)的原方程的根． 解析

35、 將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得 ． ① 原方程只有一個實數(shù)根，因此，方程①的根的情況只能是： ⑴方程①有兩個相等的實數(shù)根，即 ， 解得．此時方程①的兩個相等的根是． ⑵方程①有兩個不等的實數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為0或2． (i)當(dāng)時，代入①式得，即．這時方程①的另一個根是（因為，，或．而是增根）．它不使分母為零，確是原方程的唯一根． (ii)當(dāng)時，代入①式，得 ， 即．這時方程①的另一個根是（因為．．所以（增 根），)．它不使分母為零，確是原方程的唯一根． 因此，若原分式方程只有一傘實數(shù)根時，所求的的值分別是，，，其對應(yīng)的原方程的根依

36、次為，1，． 3.9無理方程 3.9.1★解方程 ． 解析 移項得 ，兩邊平方后整理得 ，再兩邊平方后整理得 ， 所以，． 經(jīng)檢驗知，為增根，所以原方程的根為． 評注 用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根． 3.9.2★解方程． 解析 令，則，從而原方程可化為： ． 解得或． 顯然，故應(yīng)舍去． 由，解得． 經(jīng)檢驗，它們都是原方程的根． 3.9.3★★解方程 ． 解析 需要注意的是：可看成是，這就啟發(fā)我們是否可用“兩項和的平方”， 即完全平方公式將方程的左端配方．將原方程變形為 ， 即， 所

37、以 或． 由得 ， 兩邊平方得 ， 解得，． 由得 ， 兩邊平方得 ， 解得．而當(dāng)時，，故是增根． 經(jīng)檢驗，原方程的根為，． 3.9.4★★解方程 ． 解析 注意到 ， 則可用完全平方公式將方程的左端配方，將原方程變形為： ， 即． 所以或． 由，解得或． 由，解得． 而當(dāng)時，，故應(yīng)舍去． 經(jīng)檢驗知，，為原方程的根． 3.9.5★★★解方程 ． 解析 考慮到，于是將方程化為 ， 即， 所以 ． 因為， 所以． 移項得 ， 平方后解得． 經(jīng)檢驗，是原方程的根． 3.9.6★★解方程 ． 解析 令，則原方程化為 ，

38、 ① 所以 ． ② 將①兩這平方，并利用②得 ， ． 因為，所以 ． ③ 由①、③便可得． 經(jīng)檢驗，是原方程的根． 3.9.7★★解方程 ． ① 解析 觀察到題中兩個根號的平方差是13，即 ． ② ②①便得 ． ③ 由①、③得 ，， 所以，． 經(jīng)檢驗，，都是原方程的根． 3.9.8★★解方程 ．① 解析 由于 ， 于是 ．② 將①式代入上式得 ． ③ 由①、③可解得． 所以或． 經(jīng)檢驗知，，都是原方程的解． 3.9.9★★★解方程 ． 解析 注意到 ． 設(shè) ，， ，，則 ， ① ． ②

39、因為無解，所以①②得 ． ③ ②③得，即 ． 解得． 經(jīng)檢驗，是原方程的根． 3.9.10★★★解方程 ． 解析 設(shè)，則．因此，原方程變?yōu)? ． 整理得， 即． 解得，即． 經(jīng)檢驗知，是原方程的根． 評注 本題也可設(shè)，則．原方程化為 ， 整理得． 解得，從而． 3.9.11★★解方程 ． 解析 方程的左邊可看成為 ， 方程右邊為關(guān)于與的一個代數(shù)式，它們都含有與，因此可將與設(shè)成新的未知數(shù)． 設(shè)，，則原方程為 ． 因，，故得． 所以或，即或，解得或． 經(jīng)檢驗，或都是原方程的根． 3.9.12★★解方程 ． 解析 對左國分母有理化，得

40、， ， 所以， 解得． 經(jīng)檢驗，是原方程的根． 3.9.13★★已知實數(shù)滿足 ， 求的取值范圍． 解析 原等式為，即 ． 所以，由，得． 當(dāng)時，，原等式為，所以，故，于是． 當(dāng)時，原等式為，這不可能． 所以，的取值范圍為． 3.9.14★★設(shè)實數(shù)，并且滿足方程 ， 求的值． 解析 原方程可以變形為 ， 所以． 所以， ， 解得．因，所以，． 3.9.15★★★關(guān)于的方程 有幾個實根？ 解析 由于，所以原方程可化為 ． ① ⑴當(dāng)時，方程①為 ， 即，解得． 結(jié)合，得． ⑵當(dāng)時，方程①為 ， 即，解得． 結(jié)合，得． ⑶當(dāng)時，

41、方程①為 ， 即 ， 此方程無實根． 綜上所述，原方程有兩個實根． 3.9.16★★★當(dāng)時，解方程 ． 解析 由原方程觀察得，而，從而得． 原方程可化為． ⑴當(dāng)時， ， ， 由于，所以，方程有兩個不等實根 ，． 但，應(yīng)舍去． 而，且，即． 經(jīng)檢驗，是原方程的根． ⑵當(dāng)時，原方程可化為 ， 即． 由于時，，故 ． 再由，易知． 而 ， 故，經(jīng)檢驗，它們都是原方程的根． 綜上所述，原方程共有三個實根 ， ， ． 3.9.17★★解方程 ． 解析 三個未知量、一個方程，要有確定的解，則方程的結(jié)構(gòu)必然是極其特殊的．將原方程變形為 ， ， 配方得 ． 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得 ，，． 所以 ，，． 經(jīng)檢驗，，，是原方程的根． 3.9.18★★★解方程． 解析 考慮將方程轉(zhuǎn)化為類似于的形式． 原方程可變?yōu)? ， ， 配方得 ． 由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得， ，，． 所以，，． 經(jīng)檢驗，，，是原方程的根． 35