初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第4章 方程組試題2 新人教版

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1、 §4.2應(yīng)用題 4．2．1★小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣，小倩對(duì)小玲說(shuō)：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍，”小玲對(duì)小倩說(shuō)：“你若給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍．”其中為正整數(shù)．求的可能值的個(gè)數(shù)． 解析設(shè)小倩、小玲分別所擁有的錢數(shù)為元、元，、為非負(fù)整數(shù)．于是由題設(shè)可得 消去得， ． 所以，3，5，15，得，5，6，11，從而分別為8、3、2、1，分別為14、7、6、7． 4．2．2★甲、乙兩人從相距120千米的兩地同時(shí)相對(duì)而行，6小時(shí)后相遇．如果甲、乙每人各多行2千米，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇的地點(diǎn)3千米，求原來(lái)甲、乙的速度． 解析設(shè)原來(lái)甲、乙的速度分別為千米

2、／時(shí)，千米／時(shí)，則有 ． 如果甲、乙每人各多行2千米，則有 , 解得或 所以，甲、乙原來(lái)的速度分別是13（千米／時(shí)）、7（千米／時(shí)）；或者7（千米／時(shí)）、13（千米／時(shí)）． 4．2．3★長(zhǎng)90米的列車速度是每小時(shí)54千米，它追上并超過(guò)長(zhǎng)50米的列車用了14秒，如果這兩列火車相向而行，從相遇到完全離開(kāi)要用多少時(shí)間？ 解析 兩列火車的追及問(wèn)題中，（車速車速2）追及時(shí)間兩列火車的長(zhǎng)度之和．丙列火車的相向 相遇問(wèn)題中，（車速車速2）相遇時(shí)間兩列火車的長(zhǎng)度之和． 設(shè)長(zhǎng)90米的列車速度為(米/秒)，長(zhǎng)50米的列車速度為（米／秒）． 對(duì)于追及，則有，解得（米/秒）． 所以，兩列火車相向

3、而行從相遇至完全離開(kāi)時(shí)所用時(shí)間為（秒）． 評(píng)注對(duì)于火車行程問(wèn)題，首先將火車的運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，再運(yùn)用一些常用的數(shù)量關(guān)系式來(lái)求解即可． 4．2．4★火車通過(guò)長(zhǎng)82米的鐵橋用了22秒，如果它的速度加快1倍，通過(guò)162米長(zhǎng)的鐵橋就只用了 16秒，求這列火車原來(lái)的速度和它的長(zhǎng)度． 解析設(shè)這列火車原來(lái)的速度為米／秒，它的長(zhǎng)度為米．則依題意有 解得．即這列火車原來(lái)的速度為8米／秒，它的長(zhǎng)度為94米． 4．2．5★某人騎自行車從地到地，途中都是上坡或下坡路，他以每小時(shí)12千米的速度下坡，以 每小時(shí)4千米的速度上坡．從地到地用了50分鐘，從地返回地用了小時(shí)．求、兩地相距多少千米？ 解析設(shè)從

4、地到地，上坡路有千米，下坡路有千米，則 解得（千米）． 所以，、兩地相距7千米． 4．2．6★★甲、乙二人騎車在400米環(huán)形跑道上進(jìn)行萬(wàn)米比賽．同時(shí)出發(fā)后，乙速大于甲速，在第15分鐘時(shí)甲加快速度，在第18分鐘時(shí)甲追上乙并開(kāi)始超過(guò)乙，在第23分鐘時(shí)，甲再次追上乙，而在第23分50秒時(shí)，甲到達(dá)終點(diǎn)，那么乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間是多少分鐘？ 解析設(shè)出發(fā)時(shí)甲的速度為米／分，乙的速度為米／分，第15分鐘甲加速后的速度為米／分，依題意得 解得，，. 所以，乙到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為（分）． 4．2．7★★甲、乙兩人在圓形跑道上從同一地點(diǎn)出發(fā)，按相反方向跑步．甲速每秒6米，乙速每秒7米，直到它們

5、第一次又在處相遇之前，在途中共相遇多少次？ 解析假設(shè)跑道長(zhǎng)為，甲、乙第一次又在處相遇時(shí)所用時(shí)間為，甲、乙相遇一次，則跑過(guò)的路程為一圈即． 設(shè)甲、乙第一次又在點(diǎn)相遇時(shí)共跑了圈，則甲、乙兩人第一次又在點(diǎn)相遇所跑過(guò)的路程為，即 ． 甲、乙第一次又在處相遇時(shí)，乙比甲多跑了一圈， ， 解得，則途中相遇次數(shù)為（次）． 即他們第一次又在點(diǎn)相遇之前，在途中共相遇12次． 評(píng)注因?yàn)槊咳ο嘤鲆淮?，最后一圈相遇點(diǎn)，故為次（起始點(diǎn)不算在內(nèi)） 4．2．8★★某船往返于甲、乙兩港之間，順?biāo)滦栌?小時(shí)，逆水而上需要12小時(shí)，由于暴雨后水速增加，該船順?biāo)惺悄嫠兴〞r(shí)間的，那么逆水而行需幾小時(shí)？

6、 解析 設(shè)甲、乙兩港之間距離為，該船在靜水中的速度為千米／時(shí)，水速為千米／時(shí)，水速增加后為千米／時(shí)． 依題意得 解得 ，，． 所以水速增加后，該船逆水而行所需時(shí)間為 （小時(shí)）． 評(píng)注 解流水問(wèn)題只要抓住基本公式：順?biāo)俣却偎?，逆水速度船速水速，則很多該類型 題目都可以通過(guò)列方程組迎刃而解，上下坡問(wèn)題跟流水問(wèn)題也有類似之處． 4．2．9★★★甲、乙兩人同時(shí)從圓形跑道上同一點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針?lè)较蚺懿?，甲的速度比乙快，過(guò)了一段時(shí)間，甲第一次從背后追上乙，這時(shí)甲立即背轉(zhuǎn)身子，以原來(lái)的速度沿逆時(shí)針?lè)较蚺苋ィ?dāng)兩人再次相遇時(shí)，乙恰好跪了4圈，試問(wèn)甲的速度是乙的幾倍？ 解析 本題是甲

7、、乙兩人跑圓圈，先同向，后反向．就問(wèn)題的實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō)，跑圓圈和跑直線的思考方法相同．如果設(shè)甲的速度為，乙的速度為，跑道一圈的長(zhǎng)為．則有，乙跑4圈的速度是，距離為．再設(shè)乙跑4圈所用的時(shí)間為，于是. 所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何根據(jù)已知條件列出關(guān)于、、的表示時(shí)間的關(guān)系式就可以了． 設(shè)甲的速度為，乙的速度為，跑道一圈的長(zhǎng)為，那么有 ． 由于，所以原方程可化為 ， 即． 本題要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我們只需求出為某一常數(shù)即可．于是，方程可化為 ， 解得 ，或（舍去）． 所以，甲的速度是乙的倍． 評(píng)注 本題中是多設(shè)的未知數(shù)，它對(duì)于列方程來(lái)說(shuō)起到了橋梁作用，使列方程變得思路簡(jiǎn)單，易

8、于理 解，在方程列出后，直接相約（或相消），又立即去掉了多設(shè)的未知數(shù)．這種方法稱為設(shè)輔助元法． 4．2．10★★小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過(guò)一輛18路公交車，每隔3分鐘迎面駛來(lái)一輛18路公交車．假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車， 問(wèn)：發(fā)車間隔的時(shí)間是多少分鐘？ 解析 設(shè)18路公交車的速度是米／分，小王行走的速度是米／分，同向行駛的相鄰兩車的間距為 米． 每隔6分鐘從背后開(kāi)過(guò)一輛18路公交車，則 ．① 每隔3分鐘從迎面駛來(lái)一輛18路公交車，則 ．② 由①，②可得，所以． 即18路公交車息站發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘． 4

9、．2．11★★兩地相距120千米，已知人的步行速度是每小時(shí)5千米，摩托車的行駛速度是每小時(shí) 50千米，摩托車后座可帶一人．問(wèn)有三人并配備一輛摩托車從地到地最少需要多少小時(shí)？（保留1位小數(shù)） 解析 記此三人為甲、乙和丙，甲開(kāi)摩托車后座帶乙人，三人同時(shí)出發(fā)，甲和乙到地所用時(shí)間設(shè)為小時(shí)，并且放下乙，乙繼續(xù)步行，到達(dá)地所用時(shí)間設(shè)為小時(shí)，而甲馬上折返，在地遇到丙后，攜帶丙乘摩托車駛向地，為了與乙同時(shí)到達(dá)地，和應(yīng)當(dāng)滿足如下方程： ①甲和乙到達(dá)地時(shí)，丙到達(dá)地（見(jiàn)下圖）步行的路程是千米； ②之間的距離是千米； ③甲折返與丙在地相遇所用時(shí)間是小時(shí)； ④丙步行到地，所用時(shí)間是小時(shí)；從地乘摩托車到所

10、用時(shí)間是 小時(shí)；而乙乘摩托車到地，所用時(shí)間是小時(shí)；從地步行到達(dá)地所用時(shí) 間是小時(shí)． 從上述分析，可以列出二元一次方程組 解得，． 所以，有三人并配備一輛摩托車從地到地最少需要小時(shí)． 4．2．12★★一工人在定期內(nèi)要制造出一定數(shù)量的同樣零件，若他每天多做10個(gè)，則提前天完成， 若他每天少做5個(gè)，則要誤期3天．問(wèn)他要做多少個(gè)零件？比定期是多少天？ 解析 設(shè)這個(gè)工人要做個(gè)零件，定期為天，則他每天做個(gè)零件．根據(jù)題目條件，若他每天多做10個(gè)，則可減少天工期．所以，同理，可列另一個(gè)方程．即可得方程組 解得 所以，工人要做1350個(gè)零件，此定期為27天． 4．2．13★★某

11、項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？ 解析 設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需、、天完成，則 解得 再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付、、元，則 解得 于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是 （元）． 由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是 （元）． 而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少． 4．2．14★★已知甲、乙、丙三人，甲單獨(dú)做這件工作所用時(shí)間是乙、丙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的倍，乙單獨(dú)做這件工

12、作所用時(shí)間是甲、丙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的倍，求丙單獨(dú)工作所用時(shí)間是甲、乙兩人合作做這件工作所用時(shí)間的幾倍． 解析 甲、乙、丙獨(dú)立完成這一工作分別需、、天，再設(shè)整個(gè)工程是1．于是，乙單獨(dú)做一天完成的工作量是，丙是，這樣乙、丙合做一天完成的工作量是，那么乙、丙合作這項(xiàng)工作所用的時(shí)間應(yīng)是天，依題意有 解得 所以 故丙獨(dú)立完成這一工作需要的時(shí)間是甲、乙兩人合作完成同一工作所需的時(shí)間的倍． . 4．2．15★★某商店經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨價(jià)降低了，使得利潤(rùn)率提高了，那么原來(lái)經(jīng)銷這種商品的利潤(rùn)率是多少？ 解析 本題雖然題干很短，但牽涉到的商業(yè)方面的概念及公式還是很豐富的．這里，寫出

13、幾個(gè)與利潤(rùn)有 關(guān)的“盈虧”公式： (1)利潤(rùn)售出價(jià)進(jìn)貨價(jià)； (2)利潤(rùn)率； (3)進(jìn)貨價(jià)． 本題涉及兩種情況，可設(shè)原進(jìn)價(jià)為元，銷售價(jià)為元，并表示出按原價(jià)銷售的利潤(rùn)率和按新價(jià)銷 售的利潤(rùn)率，再根據(jù)兩者之間的關(guān)系，得出與的數(shù)量關(guān)系，最后代入求值． 設(shè)原進(jìn)貨價(jià)為元，銷售價(jià)為元，由公式(2)有 按原價(jià)銷售的利潤(rùn)率為：； 按新價(jià)銷售的利潤(rùn)率為：． 依題意列方程 ． 解方程得. 因此，原來(lái)經(jīng)銷這種商品的利潤(rùn)率 ． 評(píng)注 隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制的建立，有關(guān)營(yíng)銷類應(yīng)用問(wèn)題已屢見(jiàn)不鮮，對(duì)這類問(wèn)題，學(xué)生首先要了解一些 日常的基本常識(shí)和有關(guān)名詞，如進(jìn)貨、售出價(jià)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率、盈利、虧本等，

14、同時(shí)要掌握好基本關(guān)系公式，巧妙地建立關(guān)系式． 4．2．16★★現(xiàn)有一塊黃銅和一塊青銅的混合物，其中含有的銅，的鋅和的錫．已知青銅含的銅，的鋅和的錫，而黃銅是銅和鋅的合金．求黃銅含有銅和鋅之比． 解析 設(shè)黃銅中含銅，則含鋅．黃銅和青銅的混合物中含黃銅，青銅．則 由①，得，③ 由②，得，④ 由③、④，得． 所以，黃銅含有銅和鋅之比是． 4．2．17★★李明、張斌、王鋼三人去文具店買練習(xí)本、圓珠筆和橡皮，李明買了4本練習(xí)本、一支圓珠筆和10塊橡皮，共付了11元，張斌買了3本練習(xí)本、一支圓珠筆和7塊橡皮，共付了8.9元，王鋼買了一本練習(xí)本、一支圓珠筆和一塊橡皮共付了多少錢？ 解析

15、設(shè)、、分別表示1本練習(xí)本、1支圓珠筆和1塊橡皮的價(jià)錢（以角為單位），得方程組 這是一個(gè)三個(gè)未知數(shù)二個(gè)方程的不定方裎，想從中求出、、是很難的，但問(wèn)題是要我們求的值，故②①得 . 因此，王鋼買1本練習(xí)本，1支圓珠筆和1塊橡皮共付了4.7元． 4．2．18★★學(xué)校用一筆錢買獎(jiǎng)品，若以一支鋼筆和2本日記本為一份獎(jiǎng)品，則可買60份獎(jiǎng)品；若以1支鋼筆和3本日記本為一份獎(jiǎng)品，則可買50份獎(jiǎng)品，問(wèn)這筆錢全部用來(lái)買鋼筆或日記本，可買多少？ 解析 由于這筆錢是未知的，若直接依題目要求去設(shè)未知數(shù)，則不易列方程．故像這類題目必需間接設(shè) 元．設(shè)鋼筆元／支，日記本元／本，則這筆錢可表示為：或． 所以．

16、 得． 于是，這筆錢全用于買鋼筆，可買 (支)； 這筆錢全用于買日記本，可買 （本）． 4．2．19★★甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題，試問(wèn)：難題多還是容易題多？（多的比少的）多幾道題？ 解析設(shè)有道難題，道容易題，中等的（兩人解出的）題為道，則由題意可得方程組： ①②，得 . 所以，難題多，難題比容易題多20道． 4．2．20★現(xiàn)有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)買甲3件，乙7件，丙1件共需315元；若購(gòu)買甲4件， 乙10件，丙1件共需420元，問(wèn)要購(gòu)買甲、乙、丙各一件共需多少元？ 解

17、析 設(shè)甲、乙、丙三種貨物每件分別為元、元、元．依題意，得 ①②，得 ． 所以，購(gòu)買甲、乙、丙各一件共需105元． 4．2．21★★甲、乙、丙、丁四人，每三個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29、23、21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？ 解析 設(shè)四個(gè)人的年齡分別為、、、，根據(jù)題意有 由上述四式可知 比較⑤、⑥、⑦、⑧知，最大，最小，⑤⑧得． 所以，即這四個(gè)人中最大年齡與最小年齡的差為18. 4．2．22★★★現(xiàn)在父母年齡的和是子女年齡和的6倍；2年前，父母年齡和是子女年齡和的10倍；6年后，父母年齡的和是子女年齡和的3倍，問(wèn)共有多少子女？ 解

18、析 設(shè)現(xiàn)在父母年齡之和為歲，子女年齡之和為歲，子女共有人，由題意得 ① 代入②、③，得 ② 兩式相減，得，所以，子女共有3人． 4．2．23★★★★一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了、、三道題目，25個(gè)學(xué)生每人至少能解出一道題目．在這些不能解的學(xué)生中，能解的人數(shù)等于能解的二倍；在能解的學(xué)生中，至少還能解別的一題的人數(shù)比不能解別的題目的人數(shù)少一個(gè)．如果正好能解一道題目的學(xué)生中，有一半不能解．問(wèn)有多少學(xué)生正好能解出這道題目？ 解析 由題意可知，本題涉及的量很多，如果采用直接成間接設(shè)元都很難列出方程，因此我們可以采用 設(shè)輔助未知數(shù)，以此作為橋梁建立等量關(guān)系，列出方程．最后，消去輔助未知數(shù)，從而獲得所要

19、的答案． 設(shè)，，分別表示正好能解，與，與與的學(xué)生人數(shù)，則依題意可得 其中，．，，，，都是非負(fù)數(shù)． 由①和③，得 ,⑤ 而②可寫成 ,⑥ 而④可寫成⑦ 由⑤、⑥、⑦得,即 ．⑧ 代入⑥，得.⑨ 因?yàn)椋?，所以由⑧和⑨分別得 ，． 但是是整數(shù)，所以． 所以，有6個(gè)學(xué)生正好能解出這道題目． §4.3含絕對(duì)值的方程組 4．3．1★方程組的解的個(gè)數(shù)為（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 解析若，則于是，這不可能． 若，則于是，解得，進(jìn)而求得． 所以，原方程組的解為(，)（，9），只有1個(gè)解．故選A. 4．3．2★如果和是非零實(shí)數(shù)，使得和，那

20、么等于（ ）． A．3 B． C． D． 解析 將代入，得． (1)當(dāng)時(shí)，，方程，無(wú)實(shí)根； (2)當(dāng)時(shí)，，得方程，，解得，正根舍去，從而． 于是． 故． 因此，結(jié)論(D)是正確的． 4．2．3★★解方程組 解析 由①得 ． 因?yàn)?，所以，所以? 把③代入②，得 ， 即．把代入①，得 ， 即，于是． 由時(shí)，得． 故原方程組的解為 4．3．4★★解方程組 解析 由①得或．即或． 可得方程組(①)或（②） 解方程組(①)：由，解得或，再代入，得方程組 （①）的解或 解方程組(②)得或 綜上所述，原方程組的解為 4．3．5

21、★★求方程組在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解的組數(shù)． 解析 設(shè)．，則原方程組可化為 兩式相減并化為 ， 則或． 由此可得 由第一個(gè)方程組解得 (，)(0，0)，(4，4)； 由第二個(gè)方程組解得 (，)（，），（，）． 由(，)的第一組解推得(，)(0，0)；其他三組解每組可推得(，)的4組解．所以，原方程組共有13組不同的實(shí)數(shù)解． 4．3．6★★★解方程組： 這里、、、是已知的兩兩不同的實(shí)數(shù)． 解析因?yàn)椤?、、是兩兩不同的?shí)數(shù)，又方程組中交換下標(biāo)、的位置方程組不變，所以可先設(shè)．此時(shí)方程組可寫成 ①②，得 ． ②③，得 . ③④，得 ． 由于、、、兩兩不同，所以 ⑤⑦，得代入⑥式，得.更由⑤式，得，．故 ． 將代入①式，得． 所以在的條件下，已知方程組的解為，． 在一般情況下，設(shè)，這里、、、是1、2、3、4的一個(gè)排列，則方程組的解是 ，． 14