初中數(shù)學競賽專題復習 第一篇 代數(shù) 第1章 實數(shù)試題 新人教版

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1、 第一篇代數(shù) 第1章實數(shù) 1．1實數(shù)的運算 1．1．1★計算： ． 解析 將及分別分解為兩數(shù)的積，得 ， ， 所以，原式． 評注 一般地有 ；；；… 1.1.2★計算： ． 解析 原式． 1.1.3★計算：． 解析原式． 評注 在做分數(shù)加減法運算時，根據(jù)特點，將其中一些分數(shù)適當拆開，使得拆開后有一些分數(shù)可以相互抵消，達到簡化運算的目的，這種方法叫拆項法．本例中，我們把拆成，即有 ． 其他常用的拆項方法如： (1)．它經(jīng)常用于分母各因子成等差數(shù)列，且公差為的情形． (2)． 1.1.4★計算：． 解析原式 ． 1.1.5★★計算： ． 解析

2、 因為，所以 原式 ． 1.1.6★★計算：． 解析 因為 ， 所以 原式 ． 1.1.7★★設，求與最接近的正整數(shù)． 解析 對于正整數(shù)，有 ， 所以 ． 因為，所以，與最接近的正整數(shù)為25． 1.1.8★★2008加上它的得到一個數(shù)，再加上所得的數(shù)的又得到一個數(shù)，再加上這次得數(shù)的又得到一個數(shù)，…，依此類推，一直加到上一次得數(shù)的．最后得到數(shù)為 ． 1.1.9★計算： ． 解析 因為 ， 所以 ． 1.1.10★計算： ． 解析 1.1.11★★計算： ． 解析 因為 ， ， ， …… ， 所以 ．

3、1.1.12★★計算：． 解析 ． 1.1.13★★計算：． 解析 設，則 ， 所以， 故． 評注 一般地，對于求和：，我們常常采用如下方法，令 ， 則， 于是， ． 1.1.14★★計算：． 解析 設，則，所以 ，． 1.1.15★計算： ． 解析 設， ， 則原式． 1.1.16★★計算下列繁分數(shù)： （2008個減號）． 解析 先耐心地算幾步，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．可將用字母代替（這樣可以得到更一般的結(jié)論）．自下而上逐步算出 ， ， ． 由此可見，每計算3步，又重新出現(xiàn)，即3是一個周期．而，所以，原式．特別地，在時，得出本題的答案是．

4、1.1.17★★比較與2的大小． 解析先將中的每一個數(shù)拆成兩數(shù)的差： ，，， ，，． 所以， ＝， 好 1.1.18★★★已知 ，問：的整數(shù)部分是多少？ 解析 我們只要估算出在哪兩個相鄰整數(shù)之間即可． ． 這里， 下面進一步估計介于哪兩個相鄰整數(shù)之間． ， ． 所以，，． 即的整數(shù)部分是101． 1.1.19★★在數(shù)，，，，，，，的前面分別添加“”或“”，使它們的和為1，你能想出多少種方法？ 解析 這8個有理數(shù)的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9這8個整數(shù)的代數(shù)和為10即可，而，所以添加“”或“”后，正數(shù)的和應為．

5、 方法很多．如 ， ， ， ， 等． 1.1.20★★計算 ． 解析 因為 ， 所以，原式等于 ． 1.1.21★★★求和：． 解析因為，所以 ， 原原式 ． 1.1.22★★已知，其中為正整數(shù)，證明： ． 解析 注意到 ， 所以 ． 1.1.23★★★求下列分式的值：． 解析 由于 ． 由此， 原式 ． 評注 對通項的分子分母同乘2，發(fā)現(xiàn)可以首尾配對是本題的關鍵． 1.1.24★★設，求的整數(shù)部分． 解析 對于，，，，因為 ， 所以 ， 于是有，故的整數(shù)部分等于4． 1.2實數(shù)與數(shù)軸 1.2.1★數(shù)、在

6、數(shù)軸上對應的點如圖所示，試化簡． 解析 由圖可知，，而且由于點離原點的距離比點離原點的距離大，因此．我們有 ． 評注本題由圖，即數(shù)軸上、兩點的位置，“讀”得，，等條件，從而去掉絕對值符號，解決問題． 1.2.2★已知，化簡：． 解析 這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號． 原式（因為） （因為） ． 1.2.3★若，化簡． 解析因為，所以，從而 ，， ， ． 因此，原式． 評注 根據(jù)所給的條件，先確定絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式的正負，然后化去絕對值符號．若有多層絕對值符號，即在一個絕對值符號內(nèi)又含有絕對值符號（如本題中的分

7、子），通常從最內(nèi)層開始，逐層向外化去絕對值符號． 1.2.4★化簡：． 解析 本題是兩個絕對值和的問題．解題的關鍵是如何同時去掉兩個絕對值符號．若分別去掉每個絕對值符號，則是很容易的事．例如，化簡，只要考慮的正負，即可去掉絕對值符號．這里我們是分是一個分界點．類似地，對于而言，是一個分界點．為同時去掉兩個絕對值符號，我們把兩個分界點和標在數(shù)軸上，把數(shù)軸分為三個部分（如圖所示），即 ，，． 這樣我們就可以分類討論化簡了． （1）當時， 原式； （2）當時， 原式； （3）當時， 原式． 即 評注 解這類題目，可先求出使各個絕對值等于零的變量字母的值，即先求出各個分

8、界點，然后在數(shù)軸上標出這些分界點，這樣就將數(shù)成分幾個部分，根據(jù)變量字母的這些取值范圍分類討論化簡，這種方法又稱為“零點分段法”． 1.2.5★設，且，試化簡 ． 解析 因為，，所以．，即，所以 ，， 因此 ． 1.2.6★★化簡． 解析 先找零點． 由得．由即，得， 從而或．由得． 所以零點共有，，三個．因此，我們應將數(shù)軸分成4個部分，即 ，，，． 當時， 原式 ． 當時， 原式 ． 當， 原式 ． 當時， 原式 ． 即 原式 評注 由于本例中含又重絕對值，采用零點分段法時，不要忘了考慮的零點． 1.2.7★★若的值恒為常數(shù)，求滿

9、足的條件及此常數(shù)的值． 解析 要使原式對任何數(shù)恒為常數(shù)，則去掉絕對值符號，化簡合并時，必須使含的項相加為零，即的系數(shù)之和為零，故本題只有一種情況．因此必須有且．故應滿足的條件是 解得． 此時，原式． 1.2.8★★如果，且，求的最大和最小值． 解析（1）當時，有 ， 所以． （2）當時，有 ， 所以． 綜上所述，的最值是3，最小值是． 1.2.9★★求代數(shù)式的最小值． 解析 設，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道表示數(shù)軸上對應的點到對應、、的點的距離之和，下面分類討論： 當時，； 當時，； 當時，． 因此，當時，取最小值25． 1.2.10★★如果為有理

10、數(shù)，求代數(shù)式的最小值． 解析 分，，，，五個部分進行討論．去掉絕對值符號，經(jīng)過化簡得到： 當時，原式，最小值為17； 當時，原式，最小值為15； 當時，原式，是一固定值； 當時，原式，最小值大于15； 當時，原式，最小值大于15． 綜上所述，原代數(shù)式的最小值為15． 評注 此題還可以用絕對值的向何意義求解．本題就是要在數(shù)軸上找一點，使它到、、1、3的距離之和最?。@一點顯然應在與之間（包括這兩點）的任意一點，它到、、、的距離之和為15，就是要求的最小值． 1.2.11★★已知，，且 ， 求的最大值和最小值． 解析由題設條件知：，． 于是，．所以 （1）當時，有

11、 ， 所以 ． （2）當時，有 ， 所以 ． 因此，的最大值是為7，最小值為3． 1.2.12★★已知 ，求的最大值． 解析 首先使用“零點分段法”將化簡，然后在各個取值范圍內(nèi)求出的最大值，再加以比較，從中選出最大者． 有三個分界點：，，． （1）當時，，由于，所以，的最大值是． （2）當時，，由于，所以，的最大值是6． （3）當時，，由于，所以，的最大值是6． （4）當時，，由于，所以，的最大值是0． 綜上可知，當時，取得最大值為6． 1.2.13★★★設，求 的最小值． 解析 設、、、、在數(shù)軸上的對應點分別為、、、、，則表示線段之長，同理，，，分別表示

12、線段，，之長，現(xiàn)要求，，，這和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點，使該點到、、、四點距離之和最?。? 因為，所以、、、的排列應如圖所示： 所以當在、之間時，距離和最小，這個最小值為，即． 1.2.14★★、為有理數(shù)，且，試求的值． 解析 當時，由得，故此時． 當時，由，得，故此時． 所以，不管是還是，、中至少有一個為0，因此，． 1.2.15★★若、、為整數(shù)，且，試計算的值． 解析 因為、、均為整數(shù)，則，也應為整數(shù)，且，為兩個非負整數(shù)，和為1，所以只能是 且， ① 或者且． ② 由①有且，于是；由②有且，于是．無論①或②都有 且， 所以 ． 1.2.16★★★將

13、1，2，…，100這100個正整數(shù)任意分成50組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一個數(shù)記為，另一個數(shù)記為，代入代數(shù)式中進行計算，求出其結(jié)果，50組都代入后可求得個值，求這50個值的和的最大值． 解析 代數(shù)式的值就是、中的較大數(shù)，為保證所計算出的50個值之和最大，分組時不要把51，52，…，100這50個數(shù)中任兩個分成一組即可． 對于任意一組中的兩個數(shù)、，不妨設，則代數(shù)式 ． 于是這50個值之和與大數(shù)有關，所以，這50個值的和的最大值為 ． 1.2.17★★★設個有理數(shù)，，…，滿足 ，且 ， 求的最小值． 解析 先估計的下界，由，及，知 ， 所以，． 又當時，取

14、 滿足已知條件，所以，正整數(shù)的最小值為20． 1.3實數(shù)的判定 1.3.1★★證明循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)． 解析 要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的形式．設 ， ① 兩邊同乘以100得 ． ② ②①得 ， 所以 ． 既然能寫成兩個整數(shù)比的形式，從而也就證明了是有理數(shù)． 1.3.2★★已知是無理數(shù)，且是有理數(shù)，在上述假定下，分析下面四個結(jié)論是： （1）是有理數(shù)； （2）是無理數(shù)； （3）是有理數(shù)； （4）是無理數(shù)． 哪些是正確的？哪些是錯誤的？ 解析 取無理數(shù)，這時 是有理數(shù)，而是無理數(shù)，故結(jié)論（1）不正確．仍取，仿上可知結(jié)論

15、（3）不正確．由于 ， 且是有理數(shù)，是無理數(shù)，故是無理數(shù)，即結(jié)論（2）正確．同樣，由 ， 知結(jié)論（4）正確． 1.3.3★★求證：是有理數(shù)． 解析 要證明所給的數(shù)能表示成（，為整數(shù)，）的形式，關鍵是要證明是完全平方數(shù)． ， 所以 ． 因為與3均為整數(shù)，所以是有理數(shù)． 1.3.4★★證明是無理數(shù)． 解析 要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證法． 假設不是無理數(shù)，則必為有理數(shù)．設（、是互質(zhì)的正整數(shù)），兩邊平方有 ，① 所以一定是偶數(shù)．設

16、（是正整數(shù)），代入①得 ，， 所以也是偶數(shù)．、均為偶數(shù)和與互質(zhì)矛盾，所以不是有理數(shù)，于是是無理數(shù)． 評注只要是質(zhì)數(shù)，就一定是無理數(shù)，這個結(jié)論的證明并不困難，請自行完成． 1.3.5★★設是正整數(shù)，是有理數(shù)，則必是完全平方數(shù)；反過來，如果是完全平方數(shù)，則是有理數(shù)（而且是正整數(shù)）． 解析第二個結(jié)論顯然成立，下面證明第一個結(jié)論．因是有理數(shù)，故可設（、為互質(zhì)的正整數(shù)），從而 ． ① 我們知道，任何一個平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式中，每一個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是正偶數(shù)（反過來也成立）；而非平方（自然）數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式中，至少有一個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)．由此可見，如果不是完全平方數(shù)，那么無論與有

17、無相同的質(zhì)因數(shù)，在的質(zhì)因數(shù)分解式中，至少有一個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)，即不是平方數(shù)． 這樣①式不可能成立．所以，是完全平方數(shù)． 評注 本題是一個重要的結(jié)論，它可作為定理使用，讀者應熟悉它．有了這個結(jié)論，可以立即斷定、、等都是無理數(shù)． 1.3.6★★設、及都是整數(shù)，證明：及都是整數(shù)． 解析 由于負數(shù)不能開平方，故由題設知、都是非負整數(shù)．若或，易知結(jié)論成立．若、都是正整數(shù)，由，兩邊平方得 ， 所以． 由所設、及都整數(shù)，故是有理數(shù)，從而是平方數(shù)，故是整數(shù)，從而是整數(shù)． 1.3.7★★求滿足等式 的有理數(shù)、． 解析 把原式兩邊立方，得 ． 因、是有理數(shù)，故 解得，或，，易

18、檢驗它們都滿足原式． 1.3.8★★求滿足條件 的正整數(shù)、、． 解析將原式兩邊平方得 ．① 顯然，是無理數(shù)，假設是有理數(shù)，則是有理數(shù)，這與①式矛盾，所以必為無理數(shù)． 由①式變形為 ． 假設，則必為非零有理數(shù)，設為，即，所以有 ， 兩邊平方得 ， 所以． 因為，所以是無理數(shù)，而是有理數(shù)，矛盾．所以 且． 所以 又因為，所以，所以滿足條件的正整數(shù)為：，，或，，． 1.3.9★★若（其中、、、為有理數(shù)，為無理數(shù)），則，，反之，亦成立． 解析 設法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明． 將原式變形為．若，則． 因為是無理數(shù)，而是有理數(shù)，矛盾．所以必有，

19、進而有． 反之，顯然成立． 評注 本例的結(jié)論是一個常用的重要運算性質(zhì)． 1.3.10★★設與是兩個不相等的有理數(shù)，試判斷實數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，并說明理由． 解析 假設是有理數(shù)，設其為，即 ． 整理得 ． 由1.3.9題知 ，， 即，這與已知矛盾．所以原假設是有理數(shù)錯誤，故是無理數(shù)． 評注 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)論．解這樣的問題時，可以先找到一個立足點，如本例以為有理數(shù)作為立足點，以其作為推理的基礎． 1.3.11★★★已知、是兩個任意有理數(shù)，且，求證：與之間存在著無窮多個有理數(shù)（即有理數(shù)集具有稠密性）． 解析 只要構造出符合條件的有理數(shù)，

20、題目即可被證明． 因為，所以，所以 ． 設，顯然是有理數(shù)（因為、為有理數(shù)）．因為，所以，同理可證．設，顯然也是有理數(shù)，依此類推，設， 為任意正整數(shù)，則有，且為理數(shù)，所以在和 之間存在無窮多個有理數(shù)． 1.3.12★★★已知在等式中，、、、都是有理數(shù)，是無理數(shù)，問： （1）當、、、滿足什么條件時，是有理數(shù)； （2）當、、、滿足什么條件時，是無理數(shù)． 解析 （1）當，時，為有理數(shù)． 當時，有 ， 所以，只有當，即時，為有理數(shù)． 故當，且；或，且時，為有理數(shù)． （2）當，，時，為無理數(shù)． 當時，有 ， 故只有當，即時，為無理數(shù)． 所以，當，，；或，，為無理數(shù)． 1.

21、3.13★★已知、是兩個任意有理數(shù)，且，問是否存在無理數(shù)，使得成立？ 解析 因為，，所以 ， 即． ① 又因為，所以 ， 即． ② 由①，②有 ， 所以． 取 ． 因為、是有理數(shù)，且，所以是無理數(shù)，即存在無理數(shù)，使得成立． 1.3.14★★已知數(shù)的小數(shù)部分是，求 的值． 解析 因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這類涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題，往往是先估計它的整數(shù)部分（這是容易確定的），然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法． 因為，即，所以的整數(shù)部分為3．設，兩邊平方得 ， 所以． ． 1.3.15★★已

22、知：、是有理數(shù)，，且滿足，試求的值． 解析 將代入方程，得 ， 化簡，得． 因為、都是有理數(shù)，則 解方程組，得所以． 評注 本題應用到了性質(zhì)：若、為有理數(shù)，為無理數(shù)，． 1.3.16★★若為正整數(shù)，求證： 必為無理數(shù)． 解析 只需證為非完全平方數(shù)．而這只要證明它位于兩個相鄰的正整數(shù)的平方之間即可． 因為， 又因為， 所以． 而與是兩個相鄰的整數(shù)的完全平方數(shù)，它們之間一定沒有完全平方數(shù)．因則對任意的正整數(shù)，數(shù)不可能是完全平方數(shù)，即必為無理數(shù)． 1.3.17★★★若、是正整數(shù)，、是實數(shù)，問是否存在三個不的素數(shù)、、，滿足，，？ 解析 假設存在三個不同的素數(shù)、、，

23、滿足，，．其中，、為實數(shù)，、是正整數(shù)． 消去、，得 ， 即． ① ①式的兩邊立方，得 ．②將①式中的代入②式，得 ． 但是是無理數(shù)，故上面等式有矛盾．因此，不存在在個不同的素數(shù)、、，滿足，，． 1.3.18★★★★設是的個位數(shù)字，，2，3，…，求證：．是有理數(shù)． 解析 有理數(shù)的另一個定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以，要證是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手． 計算的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．發(fā) 現(xiàn)：

24、，，，，…，于是猜想：，若此式成立，說明是由20個數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即 ． 下面證明． 令，當是10的倍數(shù)時，表明與有相同的個位數(shù)，而 ． 由前面計算的若干值可知：是10的倍數(shù)，故成立，所以是一個有理數(shù)． 1.3.19★★已知、、、均為有理數(shù)，如果它們中有三個數(shù)相等，求、的值． 解析 依題意，，否則無意義． 若，則，矛盾． 所以． 若，則由或都得到，矛盾．所以． 因此，三個相等的代數(shù)式只能是： （1）或（2）． 由得． 當時，由（1）得，矛盾；由（2）得，矛盾．所以． 當時，由（1）得，，． 由（2）得，，． 所以，． 1.3.20★★★表示

25、不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令． （1）找出一個實數(shù)滿足； （2）證明：滿足上述等式的，都不是有理數(shù)． 解析 設，，，，則、是整數(shù)，，．由題設，所以， ， ． 令，則，再驗證它滿足 ． （1）取，則，于是，，所以 ． （2）設，，其中、是整數(shù)，，．則，．于是 ， ． 當時，，均不滿足 ． 當時，若 ， 其中為正整數(shù)，則 ． 由于，且與同奇偶，所以 或均不可能．故不是完全平方數(shù)，從而是無理數(shù)． 1.3.21★★★★設、是實數(shù)，對所有正整數(shù)，都是有理數(shù)，證明：是有理數(shù)． 解析 由題意，，，，…都是有理數(shù)．而有如下“遞推關系”： ， 所以 ， ， 從中

26、解出即可． 設，，則有 ， ， 消去，得 ． 所以，當，即時， 是有理數(shù)． 當時，若、全為0，則結(jié)論成立；若、中恰有一個為0，不妨設，則為有理數(shù)，從而為有理數(shù)；若，且、均不為0，則 是有理數(shù)． 從而命題得證． 評注 本題分析中給出的遞推關系：非常重要．遇到涉及類型的問題時，利用這一遞推關系，可以幫助我們解題． 1.3.22★★★★設是給定的正有理數(shù)． （1）若是一個三邊長都是有理數(shù)的直角三角形的面積，證明：一定存在3個正有理數(shù)、、，使得 ； （2）若存在3個正有理數(shù)、、，滿足 ． 證明：存在一個三邊長都是有理數(shù)的直角三角形的三邊長，、、都是有理數(shù)，且，． 若，則，．這與、、都是有理數(shù)的假定矛盾，故． 不妨設，取，，，則、、都是正有理數(shù)，且 ， ． （2）設三個正有理數(shù)、、滿足，則．取，，，則、、都是正有理數(shù)，且 ， ， 即存在一個三邊長、、都是正有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于． 27