初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題2 新人教版

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1、 第11章 比例與相似 11．2．5★在銳角三角形中，是是一點(diǎn)，滿足，過作，為垂足，證明：． 解析 由條件知∽，且，又，故∽，于是． 11．2．6★已知正方形，點(diǎn)和分別在上，且，與垂直于，求的 取值范圍． 解析 易知∽，故有．又，故∽，． 11．2．7★在中，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，使得，且，，求． 解析 由條件易知，又，故∽．． 因此，． 11．2．8★如圖，在直角三角形中，斜邊的長(zhǎng)為35，有一個(gè)邊長(zhǎng)為12的正方形內(nèi)接于，求的周長(zhǎng)． 解析 設(shè)，，則．又∽，所以，，即，故．所以，，解得(另一個(gè)解-25舍去)．所以三角形的周長(zhǎng)為84． 11．2．9★★是正

2、方形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分對(duì)角線的比為，證明：． 解析 如圖，連結(jié)、，交于，則，，而，，，故∽，這是順相似，所以∽，． 11．2．10★★如圖，，，，與分別是與的高， 點(diǎn)與分別為與的垂心，求證：被平分． 解析 本題即是證明，這可以轉(zhuǎn)化為求證或．很容易看出∽，故．由于四邊形是矩形，有，，于是結(jié)論成立． 11．2．11★★已知，向外作正方形和正方形．若，求證：． 解析 如圖，不妨設(shè)與、分別交于、，于是，，∽，，兩邊同時(shí)減去，得，于是． 評(píng)注 本題也可通過、向直線作垂線，并通過全等三角形來證明．與或不相交是不可能的，這樣、將在直線的異側(cè)． 11．2．12★★中，，，求的

3、取值范圍． 解析 如圖，設(shè)三對(duì)應(yīng)邊分別為、、，延長(zhǎng)至，使，于是，∽，故，即，從而．接下去考慮三角形不等式，顯然，也顯然，，即，或，故．又，故．因此，的取值范圍是． 11．2．13★★已知正三角形，在上，，在上，求證：． 解析 如圖，不妨設(shè)，，，則．又設(shè)，，則，，解得．于是，∽，故有． 11．2．14★★已知銳角，是高，，，是中點(diǎn)，作與延長(zhǎng)線垂直且交于，若在的中垂線上，求． 解析 如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由于，故∽∽，所以，．設(shè)，則由，得，，所以，，，． 11．2．15★★如圖，直角三角形中，，是角平分線，于，則；． 解析 延長(zhǎng)與交于，易知．由于，故∽，于是．又作關(guān)

4、于之對(duì)稱點(diǎn)，則．由于∽，故． 11．2．16★★能否把任意兩個(gè)直角三角形各劃分成兩個(gè)三角形，使它們分別對(duì)應(yīng)相似? 解析 如圖，設(shè)．若兩三角形相似，結(jié)論顯然成立．否則可不妨設(shè)，則于是可在上取一點(diǎn)，使；在上取一點(diǎn)，使．易知∽，∽． 11．2．17★★設(shè)凸四邊形的對(duì)角線、的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作的平行線分別交、于點(diǎn)、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．是以為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn)．求證：． 解析 延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．由得，即．同理，得，即．所以．由條件得，所以，因此可得∽，則有． 11．2．18★證明：三角形的一條高線的垂足和它在另外兩條高線上的射影組成的三角形，與原三角形 相似． 解析 如圖，中，、、

5、是高，在、上的射影分別是、．則．又，故，故有∽． 評(píng)注 本題亦可用四點(diǎn)共圓證明．又本題將畫成銳角三角形，若為非銳角三角形，結(jié)論不變． 11．2．19★★★點(diǎn)、分別在、上，與交于，若，且，，求． 解析 如圖，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)．于是由，得，故、、、共圓，有，于是． 11．2．20★★★已知一個(gè)紅三角形與一個(gè)藍(lán)三角形，試將每個(gè)三角形用兩刀分成三個(gè)三角形，使每個(gè)盛色的部分與一個(gè)相應(yīng)的紅色部分相似(或全等)． 解析 如果兩個(gè)三角形可以分別劃分成個(gè)小三角形，使對(duì)應(yīng)的組三角形均相似(或全等)，則稱這兩個(gè)三角形是“相似”的，于是，立刻可以得出如下結(jié)論：“1相似”即“相似(或全等)”．“

6、相似”可推出“相似”．以下先證一個(gè)結(jié)論：對(duì)與′′′，若′，則它們是“2相似”的．證明如下：由前知，∽′′′，則其“2相似”，否則，不妨設(shè)′，則′，可在、′′上分別找點(diǎn)，′，使′，′′′，于是∽′′′，∽′′′,結(jié)論證畢．現(xiàn)對(duì)于一般的與△′′′，不妨設(shè)以最大，最??；△′′′中′最大，而且′(′就不要做了)≥，則，如圖，今在同側(cè)作∽′′′，使′，′，則在外，設(shè)與交于，則與“2相似”，故與“3相似”；又∽△′′′，故與′′′“3相似”． 11．2．21★★如圖(a)，，，，，，現(xiàn)有點(diǎn)在直線上，并且滿足條件：與相似，求的長(zhǎng)度． 解析 設(shè)．分三種情況討論：(1)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖(b)，只

7、能是∽，則，即，解得；（2）在延長(zhǎng)線上，如圖(c)，是∽或∽，則或，即或，解得或2或8.4； (3)在延長(zhǎng)線上，如圖(d)，是∽或∽，則或，即或，解得或； 綜上所述，這樣的點(diǎn)有六個(gè)，的長(zhǎng)分別為，2，8.4，12，42或+7． 11．2．22★★★設(shè)四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、(不重合)分別是與的垂心，求證：． 解析 如圖，不妨設(shè)（）(其余情形請(qǐng)讀者自己討論)，并不妨設(shè)與的延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)．取中點(diǎn)，連結(jié)、．易見，從而，同理可得，于是．對(duì)于與來說，對(duì)應(yīng)角已有一組相等，對(duì)應(yīng)邊已有兩組垂直，如能證明它們是(順向)相似的，則立得第三組對(duì)應(yīng)邊垂直，即．于是，問題歸結(jié)為求

8、證或．設(shè)，于是，此處點(diǎn)和分別為點(diǎn)及點(diǎn)在上的垂足．又，故，同理，即得． 11．2．23★★★菱形中，，在上，與延長(zhǎng)后交于，延長(zhǎng)后與交于，求． 解析 連結(jié)，如圖．由平行成比例及菱形性質(zhì)知，于是，而，故∽，所以． 從而． 11．2．24★★如圖(a)，在梯形中，，對(duì)角線的交點(diǎn)為，、分別是邊、上的點(diǎn)，使得，，求證：． 解析 如圖(b)延長(zhǎng)至，使得，則，于是∽，故，所以．又因?yàn)椤祝裕? 同理可得．而，所以，故． 11．2．25★★證明拿破侖定理：以每邊為邊分別向外作正三角形，則這3個(gè)正三角形的中心是另一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)． 解析 如圖，設(shè)、與均為正三角形，、、是各自的中

9、心．連結(jié)、、．易知，又，故∽，． 同理，，于是．同理，于是為正三角形． 11．2．26★★四邊形是梯形，點(diǎn)是上底邊上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)， 過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．證明：． 解析 設(shè)與交于點(diǎn)，由，得，所以．又，故，所以．從而，即．又，故∽，，從而，．又，故．所以． 11．2．27★★★在中，設(shè)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，求證： (1)； (2)． 解析 (1)因?yàn)?，所以∽，，又，所以∽，，因此，從而∽，故? (2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則是平行四邊形，在直角三角形中，是斜邊的中點(diǎn)，所以，，于是． 11．2．28

10、★★★不等邊銳角三角形中，是底邊上一點(diǎn)，上有一點(diǎn)，延長(zhǎng)、，分別交、于、，若平分，求證：． 解析 如圖，連結(jié)，交于，又作，、在上，設(shè)與交于，與交于．則，故，故∽，于是，又，故． 評(píng)注 本題也可用塞瓦定理加以證明． 11．2．29★★等邊的三條邊、、上分別有三條相等的線段、、．求證：直線、、，所構(gòu)成的三角形上，三條線段、、與包含它們的邊成比例． 解析 設(shè)直線、、所構(gòu)成的三角形為(如圖)，過、分別作、的平行線，相交于點(diǎn)，則是等邊三角形，且，，可得，，即∽，，所以． 11．2．30★★★已知，，是中點(diǎn)，直線．是上任一點(diǎn)，延長(zhǎng)后交直線于，、分別是、中點(diǎn)，求證：平分． 解析 如

11、圖，連結(jié)、，與交于，則由角平分線及平行線性質(zhì)，知，，故∽，．又，故平分． 11．2．31★★★設(shè)直角三角形中，，是斜邊上的高，、的內(nèi)心分別是、，延長(zhǎng)，交兩直角邊于、，證明：，并用、來表示． 解析 如圖，連結(jié)、、、．因?yàn)椤?，、為?duì)應(yīng)線段，故，且∽，于是，從而．又，故≌，，同理．于是 ． 11．2．32★★分別以銳角三角形的邊、、為斜邊向外作等腰直角三角形、、．求證：(1)；(2)． 解析 (1)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)、．因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所?．又，所以．因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，于是∽，，即．又在和?有，，所以∽，，即．所以，． (2)因?yàn)椤?，所?．又由∽，得

12、,于是．所以，． 11．2．33★★★已知，向外作正三角形與，、分別是、的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，求的三個(gè)內(nèi)角值． 解析 如圖，作于，連結(jié)、，則，于是，． 又，，故∽，且是順相似，于是∽，所以的內(nèi)角依次為、、． 評(píng)注 ≥時(shí)結(jié)論不變． 11．2．34★★★已知：，向外作正三角形和正三角形，與依次是它們的中心，是中點(diǎn)，求證：． 解析 如圖，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，連結(jié)與，則， 又，故∽，于是，同理，由∽，可得，于是． 11．2．35★★★已知銳角三角形，、為高，是垂心，、延長(zhǎng)后交于，為中點(diǎn)，求證：． 解析 如圖，設(shè)與交于，與交于．由面積知、、、是調(diào)和點(diǎn)列，即，又由梅氏定理，

13、，即．又∽，且順相似，， ，、是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故，即． 評(píng)注 調(diào)和點(diǎn)列見15．1．65，此題是一個(gè)一般結(jié)果之特例． 11．2．36★★★已知中，，、在上，在上，，，在上，(為中點(diǎn))，交于，求證：． 解析 如圖，延長(zhǎng)、，設(shè)交于，連結(jié)．由于∽，故，于是，又由，，故∽，同理∽． 于是，，由于，故． 11．2．37★★★★為的邊上一點(diǎn)，和分別為線段和上的點(diǎn)．滿足．再設(shè)、為線段和上的點(diǎn)，使得．求證：． 解析 如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、．易知與位似，故，．而，故，從而，所以、、、共圓(與不重合)，于是． 又，加之，即得． 11．2．38★★★★已知中，、上各有一點(diǎn)、，直線與延

14、長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證：． 解析 在上取，使、、、共圓，則，，又在上取， 使、、、共圓，則，，于是， 于是問題變成求證．顯見∽，，又∽，故，欲證式成為，或，這是梅氏定理，故結(jié)論成立． 11．2．39★★★★如圖，和′′′是兩個(gè)全等的正三角形，六邊形的邊長(zhǎng)分別是，，，，，．求證：（1）；(2)． 解析 (1)不妨設(shè)、′、、′、、的面積分別為、、、、、．由∽′∽∽′∽∽′，可得(由得，同理可得其余)． 因?yàn)椤铡洹洹?，所以，則． (2)不妨設(shè)、′、、′的周長(zhǎng)分別為、、、、、． 可得 (由，得，因此，同理可得其余)． 又設(shè)、′′′的周長(zhǎng)均為，，，由上面等式可得，化得，而，因此，即． 11．2．40★★★★已知平行四邊形，在邊、上的射影分別是、，延長(zhǎng)后與延長(zhǎng)線交于，求證：． 解析 延長(zhǎng)，交于，則∽，下面就來證明此式．延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于，又延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于．于是，于是欲證式變?yōu)?，而這顯然成立． 11．2．41★★★★已知內(nèi)有一點(diǎn)，上有一點(diǎn)，、在外，∽，∽(即，，，)，求證：． 解析 如圖，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)．于是∽∽，而且是順相似，故∽．故，． 又∽，故，于是． 又 ，故∽，于是，同時(shí)由，得、、三點(diǎn)共線． 16