初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題2 新人教版

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1、 第11章 比例與相似 11．2．5★在銳角三角形中，是是一點，滿足，過作，為垂足，證明：． 解析 由條件知∽，且，又，故∽，于是． 11．2．6★已知正方形，點和分別在上，且，與垂直于，求的 取值范圍． 解析 易知∽，故有．又，故∽，． 11．2．7★在中，，點是內(nèi)的一點，使得，且，，求． 解析 由條件易知，又，故∽．． 因此，． 11．2．8★如圖，在直角三角形中，斜邊的長為35，有一個邊長為12的正方形內(nèi)接于，求的周長． 解析 設，，則．又∽，所以，，即，故．所以，，解得(另一個解-25舍去)．所以三角形的周長為84． 11．2．9★★是正

2、方形的邊的中點，點分對角線的比為，證明：． 解析 如圖，連結、，交于，則，，而，，，故∽，這是順相似，所以∽，． 11．2．10★★如圖，，，，與分別是與的高， 點與分別為與的垂心，求證：被平分． 解析 本題即是證明，這可以轉化為求證或．很容易看出∽，故．由于四邊形是矩形，有，，于是結論成立． 11．2．11★★已知，向外作正方形和正方形．若，求證：． 解析 如圖，不妨設與、分別交于、，于是，，∽，，兩邊同時減去，得，于是． 評注 本題也可通過、向直線作垂線，并通過全等三角形來證明．與或不相交是不可能的，這樣、將在直線的異側． 11．2．12★★中，，，求的

3、取值范圍． 解析 如圖，設三對應邊分別為、、，延長至，使，于是，∽，故，即，從而．接下去考慮三角形不等式，顯然，也顯然，，即，或，故．又，故．因此，的取值范圍是． 11．2．13★★已知正三角形，在上，，在上，求證：． 解析 如圖，不妨設，，，則．又設，，則，，解得．于是，∽，故有． 11．2．14★★已知銳角，是高，，，是中點，作與延長線垂直且交于，若在的中垂線上，求． 解析 如圖，設中點為，由于，故∽∽，所以，．設，則由，得，，所以，，，． 11．2．15★★如圖，直角三角形中，，是角平分線，于，則；． 解析 延長與交于，易知．由于，故∽，于是．又作關

4、于之對稱點，則．由于∽，故． 11．2．16★★能否把任意兩個直角三角形各劃分成兩個三角形，使它們分別對應相似? 解析 如圖，設．若兩三角形相似，結論顯然成立．否則可不妨設，則于是可在上取一點，使；在上取一點，使．易知∽，∽． 11．2．17★★設凸四邊形的對角線、的交點為．過點作的平行線分別交、于點、，交的延長線于點．是以為圓心，為半徑的圓上一點．求證：． 解析 延長、交于點．由得，即．同理，得，即．所以．由條件得，所以，因此可得∽，則有． 11．2．18★證明：三角形的一條高線的垂足和它在另外兩條高線上的射影組成的三角形，與原三角形 相似． 解析 如圖，中，、、

5、是高，在、上的射影分別是、．則．又，故，故有∽． 評注 本題亦可用四點共圓證明．又本題將畫成銳角三角形，若為非銳角三角形，結論不變． 11．2．19★★★點、分別在、上，與交于，若，且，，求． 解析 如圖，延長至，使，連結．于是由，得，故、、、共圓，有，于是． 11．2．20★★★已知一個紅三角形與一個藍三角形，試將每個三角形用兩刀分成三個三角形，使每個盛色的部分與一個相應的紅色部分相似(或全等)． 解析 如果兩個三角形可以分別劃分成個小三角形，使對應的組三角形均相似(或全等)，則稱這兩個三角形是“相似”的，于是，立刻可以得出如下結論：“1相似”即“相似(或全等)”．“

6、相似”可推出“相似”．以下先證一個結論：對與′′′，若′，則它們是“2相似”的．證明如下：由前知，∽′′′，則其“2相似”，否則，不妨設′，則′，可在、′′上分別找點，′，使′，′′′，于是∽′′′，∽′′′,結論證畢．現(xiàn)對于一般的與△′′′，不妨設以最大，最??；△′′′中′最大，而且′(′就不要做了)≥，則，如圖，今在同側作∽′′′，使′，′，則在外，設與交于，則與“2相似”，故與“3相似”；又∽△′′′，故與′′′“3相似”． 11．2．21★★如圖(a)，，，，，，現(xiàn)有點在直線上，并且滿足條件：與相似，求的長度． 解析 設．分三種情況討論：(1)在延長線上時，如圖(b)，只

7、能是∽，則，即，解得；（2）在延長線上，如圖(c)，是∽或∽，則或，即或，解得或2或8.4； (3)在延長線上，如圖(d)，是∽或∽，則或，即或，解得或； 綜上所述，這樣的點有六個，的長分別為，2，8.4，12，42或+7． 11．2．22★★★設四邊形的對角線交于點，點、分別是、的中點，點、(不重合)分別是與的垂心，求證：． 解析 如圖，不妨設（）(其余情形請讀者自己討論)，并不妨設與的延長線 交于點．取中點，連結、．易見，從而，同理可得，于是．對于與來說，對應角已有一組相等，對應邊已有兩組垂直，如能證明它們是(順向)相似的，則立得第三組對應邊垂直，即．于是，問題歸結為求

8、證或．設，于是，此處點和分別為點及點在上的垂足．又，故，同理，即得． 11．2．23★★★菱形中，，在上，與延長后交于，延長后與交于，求． 解析 連結，如圖．由平行成比例及菱形性質(zhì)知，于是，而，故∽，所以． 從而． 11．2．24★★如圖(a)，在梯形中，，對角線的交點為，、分別是邊、上的點，使得，，求證：． 解析 如圖(b)延長至，使得，則，于是∽，故，所以．又因為∽，所以． 同理可得．而，所以，故． 11．2．25★★證明拿破侖定理：以每邊為邊分別向外作正三角形，則這3個正三角形的中心是另一個正三角形的頂點． 解析 如圖，設、與均為正三角形，、、是各自的中

9、心．連結、、．易知，又，故∽，． 同理，，于是．同理，于是為正三角形． 11．2．26★★四邊形是梯形，點是上底邊上一點，的延長線與的延長線交于點， 過點作的平行線交的延長線于點，與交于點．證明：． 解析 設與交于點，由，得，所以．又，故，所以．從而，即．又，故∽，，從而，．又，故．所以． 11．2．27★★★在中，設是邊的中點，點、分別在邊、上，，交于點，于點，交的延長線于，求證： (1)； (2)． 解析 (1)因為，所以∽，，又，所以∽，，因此，從而∽，故． (2)延長交于點，則是平行四邊形，在直角三角形中，是斜邊的中點，所以，，于是． 11．2．28

10、★★★不等邊銳角三角形中，是底邊上一點，上有一點，延長、，分別交、于、，若平分，求證：． 解析 如圖，連結，交于，又作，、在上，設與交于，與交于．則，故，故∽，于是，又，故． 評注 本題也可用塞瓦定理加以證明． 11．2．29★★等邊的三條邊、、上分別有三條相等的線段、、．求證：直線、、，所構成的三角形上，三條線段、、與包含它們的邊成比例． 解析 設直線、、所構成的三角形為(如圖)，過、分別作、的平行線，相交于點，則是等邊三角形，且，，可得，，即∽，，所以． 11．2．30★★★已知，，是中點，直線．是上任一點，延長后交直線于，、分別是、中點，求證：平分． 解析 如

11、圖，連結、，與交于，則由角平分線及平行線性質(zhì)，知，，故∽，．又，故平分． 11．2．31★★★設直角三角形中，，是斜邊上的高，、的內(nèi)心分別是、，延長，交兩直角邊于、，證明：，并用、來表示． 解析 如圖，連結、、、．因為∽，、為對應線段，故，且∽，于是，從而．又，故≌，，同理．于是 ． 11．2．32★★分別以銳角三角形的邊、、為斜邊向外作等腰直角三角形、、．求證：(1)；(2)． 解析 (1)延長至點，使，連結、．因為是等腰直角三角形，所以=．又，所以．因為是等腰直角三角形，所以，于是∽，，即．又在和中,有，，所以∽，，即．所以，． (2)因為∽，所以=．又由∽，得

12、,于是．所以，． 11．2．33★★★已知，向外作正三角形與，、分別是、的中點，是上一點，，求的三個內(nèi)角值． 解析 如圖，作于，連結、，則，于是，． 又，，故∽，且是順相似，于是∽，所以的內(nèi)角依次為、、． 評注 ≥時結論不變． 11．2．34★★★已知：，向外作正三角形和正三角形，與依次是它們的中心，是中點，求證：． 解析 如圖，設、的中點分別為、，連結與，則， 又，故∽，于是，同理，由∽，可得，于是． 11．2．35★★★已知銳角三角形，、為高，是垂心，、延長后交于，為中點，求證：． 解析 如圖，設與交于，與交于．由面積知、、、是調(diào)和點列，即，又由梅氏定理，

13、，即．又∽，且順相似，， ，、是對應點，故，即． 評注 調(diào)和點列見15．1．65，此題是一個一般結果之特例． 11．2．36★★★已知中，，、在上，在上，，，在上，(為中點)，交于，求證：． 解析 如圖，延長、，設交于，連結．由于∽，故，于是，又由，，故∽，同理∽． 于是，，由于，故． 11．2．37★★★★為的邊上一點，和分別為線段和上的點．滿足．再設、為線段和上的點，使得．求證：． 解析 如圖，在上取點，使，連結、．易知與位似，故，．而，故，從而，所以、、、共圓(與不重合)，于是． 又，加之，即得． 11．2．38★★★★已知中，、上各有一點、，直線與延

14、長線交于點，求證：． 解析 在上取，使、、、共圓，則，，又在上取， 使、、、共圓，則，，于是， 于是問題變成求證．顯見∽，，又∽，故，欲證式成為，或，這是梅氏定理，故結論成立． 11．2．39★★★★如圖，和′′′是兩個全等的正三角形，六邊形的邊長分別是，，，，，．求證：（1）；(2)． 解析 (1)不妨設、′、、′、、的面積分別為、、、、、．由∽′∽∽′∽∽′，可得(由得，同理可得其余)． 因為≌′′′，所以，則． (2)不妨設、′、、′的周長分別為、、、、、． 可得 (由，得，因此，同理可得其余)． 又設、′′′的周長均為，，，由上面等式可得，化得，而，因此，即． 11．2．40★★★★已知平行四邊形，在邊、上的射影分別是、，延長后與延長線交于，求證：． 解析 延長，交于，則∽，下面就來證明此式．延長，交延長線于，又延長，交延長線于．于是，于是欲證式變?yōu)?，而這顯然成立． 11．2．41★★★★已知內(nèi)有一點，上有一點，、在外，∽，∽(即，，，)，求證：． 解析 如圖，延長至，使，連結．于是∽∽，而且是順相似，故∽．故，． 又∽，故，于是． 又 ，故∽，于是，同時由，得、、三點共線． 16