初中數學競賽專題復習 第一篇 代數 第5章 不等式試題2 新人教版

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1、 §5.4 不等式的證明和應用 5.4.1★設、、的平均數為，、的平均數為，、的平均數為.若，則與的大小關系是（ ） A. B. C. D.不確定 解析 因為，，，，因為，所以，即，所以.故選B. 5.4.2★若、是正數，且滿足，則與之間的大小關系是（ ） A. B. C. D.不能確定 解析 因為 ， 所以 . 由于，，所以. 所以，即，.故選A. 5.4.3★若（、是實數），則的值一定是（ ）. A.正數 B.負數 C.零 D.整數 解析 因為 ， 且，，這三個數不能同時為，所以.

2、故選A. 5.4.4★設、是正整數，且滿足，，則等于（ ）. A. B. C. D. 解析 由題設得 ，， 所以 . 因此，. 當時，由，得，這樣的正整數不存在. 當時，由，得，所以. 所以，. 故選B. 5.4.5★★已知，、為互質的正整數，且，. （1）試寫出一個滿足條件的； （2）求所有滿足條件的. 解析 （1）滿足條件. （2）因為，、為互質的正整數，且，所以 ， 即 . 當時，，這樣的正整數不存在. 當時，，故，此時. 當時，，故，此時. 當時，，與互質的正整數不存在. 當時，，故，此時. 當時，，與互質的正

3、整數不存在. 當時，，故，4，5，此時，，. 當時，，故，此時. 所以，滿足條件的所有分數為、、、、、、. 5.4.6★★已知：，，，…，，，和.求，，，…，，的值. 解析 將個不等式累加得 ，① 當且僅當個不等式取等號時，①式才成立. 由可以得到 ，② 由可以得到 ，③ … 由可以得到 ， 由②和③可推知.類似地，可以推知，所以，.同理可得. 所以. 5.4.7★★證明：（1）； （2）； （3）如果是正實數，那么； （4）設、是非負實數，則； （5）. 解析 （1）在的左右兩邊分別加上得到 ， 這個不等式說明：如果兩個正數的和是一個常

4、數，則乘積有最大值，如果兩個正數的乘積是一個常數，則和有最小值. （2）在的左右兩邊分別加上得到 ， 這個不等式說明了兩個數的和與平方和之間的不等式關系. （3）在（1）中令，得，這個不等式說明了一個正數與它倒數的和不小于. （4）由（3）可得 ， 這個不等式說明了兩個數的和與倒數和之間的不等式關系. （5）由，，可以得到 . 5.4.8★★設，，，求證： . 解析 因為 ，，， 所以 . 5.4.9★★★設，，，求證： . 解析 因為 ， 而 ， 所以，. 5.4.10★★若正數、、滿足，求證： . 解析 因為

5、 ， 而 ， ， ， 所以 . 5.4.11★★（1）已知正數、、滿足 ， 求證： ； （2）已知正數、滿足，求證： ； （3）已知正數、滿足，求證： . 解析 （1）由題設和平均不等式得 . （2）由題設和平均不等式得 . （3）由題設和平均不等式得 . 5.4.12★★（1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，求的最小值. 解析 （1）因為，當時等號成立，所以，欲求的最小值是. （2）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最小值是. （3）因為 ， 當時等號成立，所

6、以，欲求的最小值是. 5.4.13★★（1）若，求的最大值； （2）若，求的最大值. 解析 （1）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最大值是. （2）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最大值是. 5.4.14★★求代數式的最大值. 解析 我們有 ， 當時等號成立，故欲求的最大值為. 評注 這里，在第一個不等式中，用了 . 5.4.15★★★設正實數、、滿足 ， 求的最小值. 解析 因為 ， 當，，時等號成立，故最小值為. 5.4.16★★★設，求的最小值. 解析 因為 ， 所以 ， 當，時等號成立. 所以，

7、欲求的最小值是. 5.4.17★★設，，. 求證：. 解析 因為 ， 又，所以，即. 5.4.18★★已知、、是實數，且 ，. 求證：，，. 解析 因為 ，， 而 ， 所以 ， ， ， ， 解得 . 同理可證：，. 5.4.19★★★已知實數、、滿足：，且 ，. 求證： . 解析 原不等式等價于 . 因為，， 又因為，所以 ， ， ， ， 解得 . 若，則，由，可得.于是 ， 矛盾！ 故 . 5.4.20★★★若實數、滿足，求的取值范圍. 解析 由題設分別消去、，得 ， . 而，，所以

8、 所以 . 反之，若滿足不等式，則易知存在、滿足題設條件. 所以，所求的的取值范圍為. 5.4.21★★★已知實數、滿足，且，求的取值范圍. 解析1 由，相加，得，故. 又 ， 所以且. 于是可知、是關于的方程 的兩個實數根. 由，解出. 綜上所述，的取值范圍是. 解析2 由，所以.（當時等號成立） 由 ， 故，即.（當時等號成立） 于是有，從而有. 根據解析1，可知：. 所以. 5.4.22★★設正數、滿足. 求證：. 解析 由可得 ， 則 . ① 由于、是兩個正數，所以，，所以，從而. 另一方面，由，可得，

9、結合①式可得，所以. 因此，. 5.4.23★★★設（、、都是實數），已知，，，求證：當時，. 解析 因為 所以 于是 . 5.4.24★★★證明：對任意三角形，一定存在它的兩條邊，它們的長、滿足 . 解析 若結論不成立，則對于的三邊長、、，不妨設，于是 ， ① . ② 記，，則，，代入①得 ， ， 令，，則 . ③ 由，得，即，于是.由②得 ， ④ 由③、④得 ， 矛盾.從而命題得證. 5.4.25★★★若正實數、、可以是一個三角形的三邊長，則稱（，，）是三角形數.若（，，）和均為三角形數，且.求的取值范圍.

10、解析 由題設得所以 ， 即有，，得 . 而，所以所求的的取值范圍為 . §5.5 應用題 5.5.1★某賓館底樓客房比二樓客房少間.某旅游團有人，若全安排住在底樓，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒有住滿5人.又若全安排住二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有住滿4人.問該賓館底樓有多少間客房？ 解析 設底樓有客房間，則二樓有客房間.依題意，可得如下不等式組： 解不等式組得 . 因為是整數，所以，. 故賓館的底樓有10間客房. 5.5.2★★一列客車始終作勻速運動，它通過長為米的橋時，從車頭上橋到車尾下橋共用33秒；它 穿過長760米的隧

11、道時，整個車身都在隧道里的時間為22秒．從客車的對面開來一列長度為米，速 度為每秒米的貨車，兩車交錯，從車頭相遇到車尾相離共用秒． （1）寫出用、表示的函數解析式； （2）若貨車的速度不低于每秒米，且不到每秒米，其長度為米，求兩車交錯所用時間的取值范圍． 解析 （1）設客車的速度為每秒米，客車的長度為米．依題意知 解得 所以，（，）. （2）當，時，由（1）得. 又因為，所以， . 故的取值范圍為. 5.5.3★★個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘人（不包括司機）．其中一輛小 汽車在距離火車站的地方出現故障，此時距停止檢票的時間還有分鐘．這時唯一可

12、利用的交 通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內這輛車限乘人，且這輛車的平均速度是，人步行的平均速度是．試設計兩種方案，通過計算說明這個人能夠在停止檢票前趕到火車站． 解析 【方案一】當一輛小汽車出現故障時，乘這輛車的個人下車步行，另一輛車將車內的個人送到火車站，立即返回接步行的個人到火車站． 設乘出現故障汽車的個人步行的距離為，根據題意，有 ， 解得．因此這個人全部到火車站所需時間為 （小時）（分鐘）（分鐘）. 故此方案可行， 【方案二】當一輛小汽車出現故障時，乘這輛車的個人先下車步行，另一輛車將車內的個人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外

13、個人，使得兩批人員最后同時到達車站． 分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，為無故障汽車人員下車地點，為有故障 汽車人員再次上車地點．因此，設，根據題意，有 ， 解得．因此這個人同時到火車站所需時間為（小時）（分鐘）（分鐘）. 故此方案也可行． 5.5.4★★某出租車的收費標準是：千米之內起步費是元，以后每增加千米增收元（不足千米也算一個千米）．現從地到地共支出元（不計等候時間所需費用）．如果從地到地是先 步行米，然后再乘車也是元（同樣不計等候時間所需費用），求從的中點到地需多少車費． 解析 設從地到地的距離為千米，由于，所以，即 . ① 又 ， 所

14、以 . ② 由①、②便知.故． 即與之間的路程在千米至千米之間，所需車費為（元）． 5.5.5★★從站到站千米，每千米設一路標（如圖），從早開始，貨車每隔分鐘從站發(fā)出一輛開往站，車速為每小時千米；早上由站發(fā)出一輛小轎車駛向站，車速為每小時千米．已知小轎車在某兩相鄰路標之間（不包括路標處）追過三輛貨車，問：此時小轎車已經追過 多少輛貨車（與小轎車同時出發(fā)的那輛貨車不計算在內）？ 解析 因為相鄰兩輛貨車之間的距離為（千米），所以小轎車從追上第輛貨車開始，到它追上第輛貨車，所需時間為（小時），所以它追上第志輛貨車需要小時， 設小轎車追上第、、輛貨車是在兩個路標之間，這兩個路標

15、分別是第、個，則我們有 由①得，；由②得，，而、都是整數，所以 ，，1，2，…，. 于是只有，和，（舍去）． 所以，小轎車追過了輛貨車． 5.5.6★★★正五邊形廣場的周長為米，甲、乙兩人分別從、兩點同時出發(fā)繞廣場沿 的方向行走，甲的速度為米／分，乙的速度為米／分，那么，出發(fā)后經過多少分鐘，甲、乙第一次開始行走在同一條邊上？ 解析 設甲走完（為正整數）條邊時，兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了米，乙走了米.于是 ， 且， 所以，，故，此時.即經過分鐘，甲、乙第一次開始行走在同一條邊上. 5.5.7★★★如圖，甲、乙兩人在周長為的正方形水池相鄰的兩頂點上同時同

16、向出發(fā)繞池邊行走， 乙在甲后，甲每分鐘走，乙每分鐘走，求 （1）甲、乙兩人自出發(fā)后經幾分鐘才能初次在同一邊上行走（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點時的情形）； （2）第一次相遇之前，兩人在正方形同一邊上行走了多少分鐘？ 解析 （1）兩人初次在同一邊上時，甲比乙要多走邊． 設兩人初次在同一邊上時，乙已走了邊，則甲走了邊，也就是甲走了，乙走了. 因為甲在前乙在后，所以，當甲、乙同在一邊時，乙所走的距離應超過，并且當甲到了另一邊 的端點時，乙肯定沒到相鄰的端點，所以乙走的距離又應不足.于是 ， 解得 ． 故當（邊），需經過分鐘時才能初次在同一邊上行走． （2）設出發(fā)分

17、鐘后，甲、乙兩人第一次相遇（即甲追上乙）． 則，（分鐘）． 甲從出發(fā)后分鐘開始，每走到一頂點，都要與乙同在一邊上行走一段距離，直到乙走到頂點開始轉彎，甲從第分鐘開始，要走邊后才能與乙在某一頂點相遇． 分別討論如下： 第分鐘時，，.甲、乙位置如圖（1）所示，第一次同行時間為分鐘. 第分鐘時，，.甲、乙位置如圖（2）所示，第二次同行的時間為分鐘． 同樣，不難推得后次位置如圖（3）～（8）所示． 所以，第一次相遇前，兩人在同一邊上行走的時間是： （分鐘）. 5.5.8★★某人將一本書的頁碼按，，，…的順序相加，其中有一個頁碼被多加了一次，結果得到 一個錯誤的總和為，則被多加的

18、頁碼是多少？ 解析 設全書共頁，被多加的頁碼為，則 ，. ① 而 ， 即 . ② 由于，驗算知滿足②的. 代入①得. 5.5.9★★甲、乙兩個糧庫原來各存有整袋的糧食．如果從甲庫調袋到乙?guī)?，則乙?guī)齑婕Z是甲庫的倍；如果從乙?guī)煺{若干袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋叮畣柤讕煸瓉碜钌俅婕Z多少袋？ 解析 設甲庫原來存糧袋，乙?guī)煸瓉泶婕Z袋，依題意可得 . ① 再設乙?guī)煺{袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋?，? ． ② 由①式得 . ③ 把③代入②，并整理得． 由于，又、是正整數，從而有，即；并 且整除，又因為與互素，所以整除. 經檢驗，可知的最小值

19、為． 5.5.10★★一家機密文件碎紙公司有許多位雇員，這些雇員在輸送帶前排列成一列，分別編號為，， ，…老板接到將一張文件撕碎的任務，他把這份文件撕成塊后交給第號雇員．每當第號雇員接到前手傳來的一疊紙時，都從中取塊，把每塊再分成塊，然后再傳給第號雇員．若第號雇員接到前手傳來的總塊數少于塊，但傳給下一位的總塊數超過塊，請問是多少？ 解析 第次操作完畢后為（塊）；第次操作完畢后為（塊）；第次操作完畢后為 （塊）……第次操作完畢后為塊. 當時，； 當時，. 所以，. 5.5.11★★把若干個蘋果分給若干個孩子，如果每人分個，則余個；每人分個，則最后一人分得的蘋果數不足個，問共有多

20、少個孩子？多少個蘋果？ 解析 如設有個蘋果，個孩子，那么解此題的關鍵是理解“每人分個，則最后一人分得數不足 個”這句話的含義，此話是蘋果多于個，同時又少于個. 設有蘋果個，小孩子人，則根據題意，得 于是 解得，，所以小孩子數為或. 當時，，當時，. 所以，有個孩子，個蘋果，或個孩子，個蘋果． 5.5.12★★★在黑板上從開始，寫出一組連續(xù)的正整數，然后擦去其中一個數，剩下來的數的平均數是，問擦去的數是什么數？ 解析 設在黑板上寫出來的數是，．…，，擦去的數是，則，于是 ， . 由題意便得 解得 . 由于是正整數，且，故只能為，再由，解得，故擦

21、去的數是． 5.5.13★★某工廠每天用于生產玩具小狗和小貓的全部勞動力為個工時，原料為個單位．生產 一個小狗要用個工時和個單位的原料；生產一個小貓要用個工時和個單位的原料．問每天生產玩具小狗和小貓的總數最多是多少？ 解析1 設生產玩具小狗和小貓的數量分別是和，由已知條件，可以得到兩個不等式： ① 可以分別列出①的第個和第個不等式和的解，然后再找出的最大值. 解析2 將①的第個不等式方程乘與第個不等式相加，得到.即有不等式 ， . ② 解二元一次方程組 得到，是滿足①的一組解，即可以有， . ③ 從①的第一個方程， ， ④ ④式說明最大是，結合③

22、，所以，．再次利用④ . 因為必須是整數，所以，.再次利用③，得到． 利用②，得到 . 上式說明最大不超過，③式說明，可以達到.所以，每天生產玩具小狗和小貓的總數最多可以是個． 5.5.14★★某種商品的原價為元，現有四種調價方案： （1）先漲價，再降價； （2）先漲價，再降價； （3）先漲價，再降價； （4）先漲價，再降價． 其中.求調價后售價最高的方案， 解析 第（1）種方案售價為 ； 第（2）種方案售價為 ； 第（3）種方案售價為 ； 第（4）種方案售價為 . 因為，于是有 ， ， 兩式相乘得 ， 即. 又因為，于是有

23、， 即.因為 . 顯然既可以大于，又可以小于，還可以等于． 所以，可能有，或. 因此，調價后售價最高的方案是第（1）方案或第（3）方案， 5.5.15★★某人乘船由甲地順流到乙地，再從乙地逆流回到甲地，如果水流速度和船速保持不變，請你思考，在靜水時用的時間多，還是在有流速時用的時間多？ 解析 設甲地距乙地千米，水流速度為千米／時，船的靜水速度為千米／時． （1）靜水中往返甲、乙兩地，需 （時）； （2）由甲地順流到乙地，再逆流返回甲地，需 （時）， 因為，所以 . 故在靜水時用的時間少． 5.5.16★★一隊公共汽車正在行駛，甲、乙兩個檢查員招呼這列車隊停下來．甲專門統(tǒng)計超載汽車在這車隊中的百分數，乙專門統(tǒng)計超載乘客在總乘客中的百分數，他們誰的百分數大些（規(guī)定超過名乘客就算超載）？ 解析 乙的大. 假設這個車隊中超載公共汽車的輛數為，未超載的輛數為，超載的汽車上的乘客人數為，未超載汽車上的乘客人數為． 那么依題意有，，兩式變形為，，因此，在不等式的兩端同時加上，于是就得到，兩端同時取倒數并乘以，就得到 . 這個不等式就表明了超載乘客的百分數要大于超載汽車輛數在車隊內所占的百分數． 20