【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 6.2 空間的曲面與曲線空間的曲面與曲線 將空間曲線將空間曲線c 看成某兩個(gè)曲面看成某兩個(gè)曲面S1:F(x,y,z)=0 與與S2:G(x,y,z)=0的交線，則的交線，則 若點(diǎn)若點(diǎn)P(x,y,z)在曲面在曲面S 上上 F(x,y,z)=0，則稱，則稱F(x,y,z)=0為為曲面曲面S的方程的方程。稱為稱為空間曲線空間曲線c 的一般方程。的一般方程。F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 S P(x,y,z)F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 x=x(t)y=y(t)z=z(t)曲面的一般方程曲面的一般方程:曲線的一般方程曲線的一般方程:曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程:一、常見曲面一、常見曲面 基本問題：基本問題：(1)給出圖形，建立曲面方程；給出圖形，建立曲面方程；(2)已知坐標(biāo)滿足的方程，研究其表示的曲面。已知坐標(biāo)滿足的方程，研究其表示的曲面。1.球面球面(1)以點(diǎn)以點(diǎn)P0(x0,y0,z0)為球心，為球心，R為半徑的球面方程為半徑的球面方程(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R2(2)球面方程的特點(diǎn)球面方程的特點(diǎn):三元二次三元二次;二次項(xiàng)二次項(xiàng)x2,y2,z2前面的系數(shù)相同前面的系數(shù)相同;沒有沒有xy,yz,zx這類交錯(cuò)項(xiàng)。這類交錯(cuò)項(xiàng)。(3)由方程由方程 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0，配方得，配方得(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=k x y z O R ax2+ay2+az2+bx+cy+dz+e=0(x )2+(y )2+(z )2=k b 2a c 2a b 2a 當(dāng)當(dāng)k 0時(shí)時(shí):球面球面,球心球心(,),b 2a c 2a b 2a 半徑半徑 k 當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)時(shí):點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)當(dāng)k 0時(shí)時(shí):虛球面虛球面 曲線曲線C:Cy zO繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2.旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 母線母線xCy zO母線母線曲線曲線C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2.旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 繞繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周得軸旋轉(zhuǎn)一周得旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面 S.CSM(x,y,z)NPy zOf(y1,z1)=0 xM(x,y,z)S曲線曲線C:2.旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 母線母線旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):母線母線 C:S:C中中軸軸坐標(biāo)坐標(biāo)(z)不變不變,用另用另2個(gè)變量的平方和個(gè)變量的平方和的正負(fù)算術(shù)平方根代替方程中的另的正負(fù)算術(shù)平方根代替方程中的另1個(gè)變量個(gè)變量.反過來反過來,方程中若有方程中若有兩個(gè)變量以兩個(gè)變量以平方和形式平方和形式平方和形式平方和形式出現(xiàn)出現(xiàn),這這個(gè)方程的圖形一般是旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)€方程的圖形一般是旋轉(zhuǎn)曲面.幾種常用的幾種常用的旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面:旋轉(zhuǎn)曲面名稱旋轉(zhuǎn)曲面名稱與母線名稱對(duì)應(yīng)與母線名稱對(duì)應(yīng).z y Ox 繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(1)旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面:yxz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)橢圓橢圓旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同母線母線 C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)O(2)旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面:xOy繞繞 x 軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周.雙曲線雙曲線旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同母線母線 C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)z(3)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面:a0旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同母線母線 C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞 y 軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周.雙曲線雙曲線xyz(4)旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面:拋物線拋物線繞繞 z 軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周.yO旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同母線母線 C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)xz(5)圓錐面圓錐面:直線直線繞繞 x 軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周.旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同母線母線 C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)zxyo z y O O x y=1 x=0 x2+y2=1 旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的特點(diǎn):兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同兩個(gè)平方項(xiàng)系數(shù)相同母線母線 C:繞繞 z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞 z 軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周.直線直線(6)圓柱面圓柱面:動(dòng)直線動(dòng)直線平行于平行于z 軸沿著圓軸沿著圓移動(dòng)移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面所產(chǎn)生的曲面 3.柱面柱面 沿給定曲線沿給定曲線C 平行移動(dòng)的直線平行移動(dòng)的直線L 所形成的軌跡叫所形成的軌跡叫做做柱面柱面。其中的定曲線其中的定曲線C 稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線L 稱為柱稱為柱面的面的母線母線。說明說明(2).可適當(dāng)選取坐標(biāo)系，使母線平行于坐標(biāo)軸?？蛇m當(dāng)選取坐標(biāo)系，使母線平行于坐標(biāo)軸。下面考察母線平行于下面考察母線平行于z軸的柱面。軸的柱面。則此柱面的方程為則此柱面的方程為f(x,y)=0。母線平行于母線平行于 設(shè)柱面設(shè)柱面S的準(zhǔn)線方程為的準(zhǔn)線方程為 f(x,y)=0 z=0 z軸，軸，xzy0母線母線L L準(zhǔn)線準(zhǔn)線CM(x,y,z)N(x,y,0)Sf(x,y)=0z=0C:M(x,y,z)SS:f(x,y)=0(母線母線z z軸軸)圓柱面圓柱面 橢圓柱面橢圓柱面 雙曲柱面雙曲柱面 拋物柱面拋物柱面 4.錐面錐面 直線直線l1 繞繞另一條與另一條與l1 相交直線相交直線l2 旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面圓錐面。說明說明(3).l1 與與l2 的交點(diǎn)稱為圓錐的的交點(diǎn)稱為圓錐的頂點(diǎn)頂點(diǎn)，兩條直線，兩條直線的夾角的夾角 (0 0)令令y=acost,z=asint,代入代入x2+z2=b2得得 x=b2 a2sin2t 由此可得該雙柱面曲線的參數(shù)方程為由此可得該雙柱面曲線的參數(shù)方程為 x=b2 a2sin2t(0 t 0)的簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)圖.得得z2+z 20=0,解解:由由 x2+y2+z2=25 z=x2+y2 5 而而z 0,所以所以z=4.因而該曲線也可以看成柱面因而該曲線也可以看成柱面x2+y2=9與平面與平面z=4的交線，其的交線，其簡(jiǎn)圖如右圖所示。簡(jiǎn)圖如右圖所示。O x y z 1.橢球面橢球面 2.單葉雙曲面單葉雙曲面 3.雙葉雙曲面雙葉雙曲面 4.二次錐面二次錐面 5.橢圓拋物面橢圓拋物面 6.雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面)一、二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程一、二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程 6.3 二次曲面二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面二、一般方程表示的二次曲面 所謂所謂二次曲面二次曲面，就是由一個(gè)三元二次方程所表示，就是由一個(gè)三元二次方程所表示的曲面，可以利用二次型來研究它。的曲面，可以利用二次型來研究它。對(duì)于一般的二次曲面對(duì)于一般的二次曲面 f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0 其中其中x=(x1,x2,x3)T，A=(aij)為為3階階實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱矩陣，矩陣，BT=(b1,b2,b3)。由正交變換由正交變換x=Qy化為化為 g(y1,y2,y3)=1y12+2y22+3y32+b1 y1+b2 y2+b3 y3+c=0 1.當(dāng)秩當(dāng)秩(A)=3時(shí)，再配方為時(shí)，再配方為 h(z1,z2,z3)=1z12+2z22+3z32+c =0 原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸平移坐標(biāo)軸平移 根據(jù)系數(shù)根據(jù)系數(shù) 1,2,3 和常數(shù)和常數(shù) c 取值取值1.橢球面橢球面 x2 a2+y2 b2+z2 c2=1(a0,b0,c0)xybaczO xybaczO 對(duì)稱性對(duì)稱性:關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱 區(qū)區(qū) 域域:截截 面面:用用z=h截得的截線截得的截線:為橢圓為橢圓 用用x=h,y=h截得的截線截得的截線類似類似 2.單葉雙曲面單葉雙曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)x y z O 對(duì)稱性對(duì)稱性:關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱 區(qū)區(qū) 域域:截截 面面:用用z=h截得的截線截得的截線 橢圓橢圓 用用y=k截得的截線截得的截線無界無界 雙曲線雙曲線 雙曲線雙曲線 兩直線兩直線 用用x=l截得的截線與截得的截線與y=k類似類似x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)對(duì)稱性對(duì)稱性:關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱 區(qū)區(qū) 域域:截截 面面:用用z=h截得的截線截得的截線 橢圓橢圓 用用y=k截得的截線截得的截線雙曲線雙曲線 用用x=l截得的截線與截得的截線與y=k類似類似3.雙葉雙曲面雙葉雙曲面 x y z O z=c之上之上z=c之下之下無交無交x2 a2+y2 b2 z2 c2=0(a0,b0,c0)對(duì)稱性對(duì)稱性:關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱 截截 面面:用用z=h截得的截線截得的截線 橢圓橢圓 用用y=k截得的截線截得的截線用用x=l截得的截線與截得的截線與y=k類似類似4.二次錐面二次錐面 x y z O 雙曲線雙曲線 兩直線兩直線 過原點(diǎn)沿過原點(diǎn)沿橢圓移動(dòng)橢圓移動(dòng)2.單葉雙曲面單葉雙曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)x y z O 3.雙葉雙曲面雙葉雙曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)x y z O 4.二次錐面二次錐面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=0(a0,b0,c0)x y z O 5.橢圓拋物面橢圓拋物面 2.當(dāng)秩當(dāng)秩(A)=2時(shí)時(shí),再配方再配方h(z1,z2,z3)=1z12+2z22+b z3=0 x2 a2+y2 b2=2z(a0,b0)x y z O 對(duì)稱性對(duì)稱性:關(guān)于關(guān)于yOz、xOz、z軸對(duì)稱軸對(duì)稱 區(qū)區(qū) 域域:截截 面面:橢圓橢圓 z 0拋物線拋物線 g(y1,y2,y3)=1y12+2y22+3y32+b1 y1+b2 y2+b3 y3+c=0 根據(jù)根據(jù) 1,2 和和常數(shù)常數(shù) b 取值取值6.雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面)x2 a2 y2 b2=2z(a0,b0)x y z O 對(duì)稱性對(duì)稱性:關(guān)于關(guān)于yOz、xOz、z軸對(duì)稱軸對(duì)稱 區(qū)區(qū) 域域:截截 面面:無限伸展無限伸展拋物線開口向上拋物線開口向上 雙曲線雙曲線 雙曲線雙曲線 兩直線兩直線 拋物線開口向下拋物線開口向下 f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0 x=Qy保持原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)保持原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的平移坐標(biāo)軸的平移g(y)=yT y+BTy+c=0 y=z+1z12+2z22+3z32=bzi+d 一般的二次曲面一般的二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面二、一般方程表示的二次曲面條件條件方方 程程p,qd二次曲面二次曲面p=3,q=0r(A)=3 b=0橢球面橢球面球面球面p=2,q=1d0p=0,q=3d0d 0,而而 1=2 0,3=|A|=1 k2/2.由此可得由此可得,k 時(shí)時(shí),原方程表示一個(gè)橢球原方程表示一個(gè)橢球面面.22 x2+y2+z2 2xz+4x+2y 4z 5=0例例11.試用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)下面的方程試用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)下面的方程.解解:令令A(yù)=1 0 1 0 1 0,1 0 1 則原方程可寫成則原方程可寫成 TA +=5,=4,2,4,=x y z,先求得正交矩陣先求得正交矩陣Q=,2121212 10 0 0 1 0 使使QTAQ=1 0 0 0 2 0.0 0 0 但這里但這里|Q|=1.可得可得x 2+2z 2 =10,這表示一個(gè)橢圓柱面這表示一個(gè)橢圓柱面.令令 =P,其中其中 =u,v,wT,則原方程化為則原方程化為 故取故取P=2121212 10 0 0 1 0 ,則則P也是正交矩陣也是正交矩陣,且且|P|=1.2(u+1)2+2(w+)2=10,2u2+2w2+2u+4 w 5=0 再令再令 x y z =+21 0 u v w,x y z =21 0 u v w,即即 綜上所述綜上所述,經(jīng)直角坐標(biāo)變換經(jīng)直角坐標(biāo)變換 原方程化為原方程化為x 2+2z 2 =10.21(y+z)1 x=y=x 1 21(y z)+1 z=abcyx zo1.橢球面橢球面 xzy0用用用用z=a 截曲面截曲面截曲面截曲面用用用用y=0 截曲面截曲面截曲面截曲面用用用用x=b 截曲面截曲面截曲面截曲面 6.馬鞍面馬鞍面