【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 二次曲線及其矩陣表示二次曲線及其矩陣表示 二次曲線二次曲線ax2+2bxy+cy2 =1m(x)2+n(y)2=1一般形一般形標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形代數(shù)代數(shù):可作可作(特殊的特殊的)正交變換正交變換，它能保持幾何，它能保持幾何圖形的形狀不變圖形的形狀不變。代數(shù)代數(shù):也可作一般的也可作一般的可逆線性變換可逆線性變換，它可能改，它可能改變幾何圖形的形狀。變幾何圖形的形狀。a b b c xy x y m 0 0 n xy x y P可逆可逆一一.二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示 f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an 1,nxn 1xn n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 設(shè)設(shè) aij=aji f(x1,x2,xn)=aijxixj i,j=1n6.1 二次型二次型 第六章二次型與二次曲面第六章二次型與二次曲面 f(x1,x2,xn)=A=a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 annx=x1x2xnf(x)=xTAx f 的矩陣的矩陣A的二次型的二次型 f 的秩的秩:r(A)r(f)aijxixj i,j=1naij=aji AT=A=k1y12+k2y22+knyn2 xTAx=(y1,y2,yn)k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn y1 y2 yn f(x1,x2,xn)=aijxixj i,j=1nx=PyP可逆可逆x=PyP可逆可逆=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形一般形一般形=yT yf(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y =yT y=g(y)尋求可逆矩陣尋求可逆矩陣P，使得，使得即即尋求可逆的線性變換尋求可逆的線性變換x=Py，使得，使得 PTAP=k1 0 0 0 k2 0 0 0 kn 實(shí)二次型實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形可逆線性變換可逆線性變換AT=A二二.化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理6.2(主軸定理主軸定理)：對(duì)于任何一個(gè)對(duì)于任何一個(gè)n元實(shí)二次型元實(shí)二次型f=xTAx，都有，都有正交變換正交變換x=Qy，使，使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 f=1y12+2y22+nyn2其中其中 1,2,n為為A的的n個(gè)個(gè)特征值特征值，Q的列向量是的列向量是對(duì)應(yīng)特征值的對(duì)應(yīng)特征值的n個(gè)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量。正交變換正交變換下標(biāo)準(zhǔn)形下標(biāo)準(zhǔn)形 實(shí)二次型實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形正交變換正交變換 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，與特征值的順序有關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，與特征值的順序有關(guān)；正交矩陣不唯一，與選取的正交特征向量有關(guān)。正交矩陣不唯一，與選取的正交特征向量有關(guān)。1.正交變換法正交變換法例例1.用用正交變換正交變換把把將將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x3 4x2x3 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 =2的一個(gè)特征向量：的一個(gè)特征向量：1=(1,1,2)T，|E A|=(+2)(4)2，初等初等 行變換行變換 解解:f 的矩陣的矩陣A=3 1 2 1 3 2 2 2 0,2E A=5 1 2 1 5 2 2 2 2 1 0 0 0 1 0 1/2 1/2 0 1=2，2=3=4。得得對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 =4的的另一個(gè)另一個(gè)特征向量特征向量 3=(5,1,2)T，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 =4的的一個(gè)一個(gè)特征向量：特征向量：2=(0,2,1)T，初等初等 行變換行變換 再解線性方程組再解線性方程組4EA=1 1 2 1 1 2 2 2 4 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 1 2 2 1 x=單位化，得正交矩陣單位化，得正交矩陣Q=0 6 162525 130530130261令令x=Qy，得該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，得該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 f=2y12+4y22+4y32 分析分析:求二次型在條件求二次型在條件x12+x22+x32=1下的最大、最小值。下的最大、最小值。x12+x22+x32=xTx 當(dāng)當(dāng)x12+x22+x32=xTx=yTy=1時(shí)，即時(shí)，即y12+y22+y32=1=yTQTQ y=yTy 例例1.用用正交變換正交變換把把將將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 f(x)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x3 4x2x3 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12+4y22+4y32 4(y12+y22+y32)=4 f 在在 yTy=1 時(shí)的最大值為時(shí)的最大值為4，此時(shí)此時(shí)y=(0,0,1)T，x=Qy=為為極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形f=2y12+4y22+4y32 -2(y12+y22+y32)=-2 f 在在 yTy=1 時(shí)的最大值為時(shí)的最大值為4，此時(shí)此時(shí)y=(1,0,0)T，x=Qy=為為極小值點(diǎn)極小值點(diǎn) 用用正交變換法正交變換法化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，無(wú)論在理化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用中都是很重要的一種方法。論上還是在實(shí)際應(yīng)用中都是很重要的一種方法。如果如果不要求給出變換，不要求給出變換，只想得到標(biāo)準(zhǔn)形只想得到標(biāo)準(zhǔn)形，用，用正正交變換法交變換法特別方便。特別方便。如果要得到變換公式，利用這種方法計(jì)算起來(lái)如果要得到變換公式，利用這種方法計(jì)算起來(lái)就比較繁，而且只適應(yīng)于實(shí)二次型。就比較繁，而且只適應(yīng)于實(shí)二次型。下面介紹下面介紹更加簡(jiǎn)便，更加簡(jiǎn)便，且對(duì)且對(duì)所有二次型所有二次型都適用的都適用的配方法配方法。實(shí)二次型實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形可逆線性變換可逆線性變換練習(xí)練習(xí).二次型二次型 f(x)=3x12+ax22+x32+4x2x3經(jīng)正交變經(jīng)正交變換化為換化為3y12+3y22+by32，求，求a、b及正交陣及正交陣Q。2.配方法配方法例例2.用配方法化用配方法化 f=4x12+3x22+3x32+2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形。為標(biāo)準(zhǔn)形。解解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3 令令 則則 f=4y12+3y22+(8/3)y32 可逆線性變換為可逆線性變換為x=P 1y即即y=x=Px1 0 0 0 1 0 0 1/3 1 1 0 0 0 1 0 0 1/3 1 即即x=y例例3.用配方法化用配方法化 f =x12 3x22 2x1x2 6x2x3+2x1x3 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的可逆線性變換。為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的可逆線性變換。解解:f=x12 3x22 2x1x2 6x2x3+2x1x3=x12 2x1(x2 x3)+(x2 x3)2(x2 x3)2 3x22 6x2x3=(x1 x2+x3)2 4x22 4x2x3 x32所用的可逆線性變換為所用的可逆線性變換為=(x1 x2+x3)2 (2x2+x3)2=y12 y22 其中其中y=x 1 0 0 1 2 0 1 1 1 x=y 1 0 0 1/2 1/2 0 3/2 1/2 1 例例4.用配方法化用配方法化 f =2x1x2+2x1x3 6x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣。并求所用的變換矩陣。解解:先配先配x1，令令x1=y1+y2,x2=y1 y2,x3=y3，則則f=2y12 2y22 4y1y3+8y2y3；再配方，再配方，f=2(y1 y3)2 2y32 2y22+8y2y3 =2(y1 y3)2 2(y2 2y3)2+6y32令令z1=y1 y3,z2=y2 2y3,z3=y3，f=2z12 2z22+6z32可可逆逆線線性性變變換換x=P1P2 1 z可逆線性變換矩陣為可逆線性變換矩陣為x=y=P1y1 1 0 1 1 00 0 1 z=y=P2y1 0 0 010 1 2 1 若用正交變換法化若用正交變換法化 f 為標(biāo)準(zhǔn)形非常麻煩。為標(biāo)準(zhǔn)形非常麻煩。于是于是 f 可化為標(biāo)準(zhǔn)形可化為標(biāo)準(zhǔn)形 0 1 1 1 0 3 1 3 0,f(x1,x2,x3)的矩陣的矩陣A=分析分析:標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形f=2z12 2z22+6z32例例4.用配方法化用配方法化 f =2x1x2+2x1x3 6x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣。并求所用的變換矩陣。但是要得到正交變換矩陣，但是要得到正交變換矩陣，難！難！難！難！難！難！得到得到f=2x1x2+2x1x3 6x2x3兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)形兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)形:f=2z12 2z22+6z32 正交變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：正交變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形：可逆線性變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形可逆線性變換得到的實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形:（1）對(duì)角線元素是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值；對(duì)角線元素是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值；（1）對(duì)角線元素不一定是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值；對(duì)角線元素不一定是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的特征值；（2）標(biāo)準(zhǔn)形在不計(jì)特征值順序時(shí)是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)形在不計(jì)特征值順序時(shí)是唯一的。正交變換法：正交變換法：配方法配方法(可逆線性變換可逆線性變換)：正交變換正交變換與與可逆變換可逆變換得標(biāo)準(zhǔn)形的得標(biāo)準(zhǔn)形的不同點(diǎn)不同點(diǎn)：（2）標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。標(biāo)準(zhǔn)形的相同點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)形的相同點(diǎn)：平方項(xiàng)平方項(xiàng)中中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同；平方項(xiàng)平方項(xiàng)中中正正(負(fù)負(fù))項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同項(xiàng)的個(gè)數(shù)相同。得到得到f=2x1x2+2x1x3 6x2x3兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)形兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)形:f=2z12 2z22+6z32 正交變換法：正交變換法：配方法配方法(可逆線性變換可逆線性變換)：正交變換正交變換與與可逆變換可逆變換得標(biāo)準(zhǔn)形的得標(biāo)準(zhǔn)形的相同點(diǎn)相同點(diǎn)：三三.慣性定理慣性定理 1.定理定理6.3.實(shí)二次型實(shí)二次型f(x)=xTAx總可以通過(guò)總可以通過(guò)Rn中的中的可逆線性變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形可逆線性變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形 f=k1y12+knyn2其中其中k1,kn中非零的個(gè)數(shù)中非零的個(gè)數(shù)r=秩秩(f)，且正項(xiàng)的個(gè)，且正項(xiàng)的個(gè)數(shù)數(shù)p與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)q(p+q=r)都是在都是在可逆線性變換可逆線性變換下的不變量下的不變量。f(或或A)的的正慣性指數(shù)正慣性指數(shù) f(或或A)的的負(fù)慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù) 說(shuō)明說(shuō)明(1).在在R3中線性變換的幾何意義：中線性變換的幾何意義：可逆線性變換可逆線性變換仿射變換仿射變換 幾何圖形：幾何圖形：形變質(zhì)不變形變質(zhì)不變正交變換正交變換 幾何圖形：幾何圖形：夾角距離不變，形不變夾角距離不變，形不變2.推論推論1.實(shí)二次型實(shí)二次型f(x)=xTAx總可以通過(guò)總可以通過(guò)Rn中的可逆中的可逆線性變換將其化為線性變換將其化為規(guī)范形規(guī)范形 且規(guī)范形是唯一的。且規(guī)范形是唯一的。p項(xiàng)項(xiàng) q項(xiàng)項(xiàng) r項(xiàng)項(xiàng) 3.推論推論2.設(shè)設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的的秩為秩為r，正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)為為p，負(fù)慣性指數(shù)為負(fù)慣性指數(shù)為q，則存在可逆陣則存在可逆陣P，使，使Ep Eq On-r PTAP=說(shuō)明說(shuō)明(2).n階階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A可逆可逆 p+q=n實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣n個(gè)特征值均為實(shí)數(shù)個(gè)特征值均為實(shí)數(shù)f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y =yT y=g(y)尋求可逆矩陣尋求可逆矩陣P，使得，使得 即即尋求可逆的線性變換尋求可逆的線性變換x=Py，使得，使得 PTAP=實(shí)二次型實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形可逆線性變換可逆線性變換AT=AA與與 合同合同定義定義:對(duì)于方陣對(duì)于方陣A、B，若存在可逆矩陣，若存在可逆矩陣P，使得，使得 PTAP=B，則稱(chēng)，則稱(chēng)A與與B相合相合或或合同合同。例例5.4 0 0 0 0 0 0 0 33 0 0 0 0 0 0 0 40 0 1 0 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 0 1 03 0 0 0 4 0 0 0 01/3 0 0 0 1/2 0 0 0 11/3 0 0 0 1/2 0 0 0 11 0 0 0 1 0 0 0 0定義定義:若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣P，使得，使得PTAP=B，則稱(chēng)，則稱(chēng)方陣方陣A與與B相合相合或或合同合同。定義定義:對(duì)于方陣對(duì)于方陣A、B，若存在可逆矩陣，若存在可逆矩陣P，使得，使得 PTAP=B，則稱(chēng)，則稱(chēng)A與與B相合相合或或合同合同。說(shuō)明：矩陣間的相合關(guān)系也是一種等價(jià)關(guān)系。說(shuō)明：矩陣間的相合關(guān)系也是一種等價(jià)關(guān)系。(1)反身性反身性:A=ETAE(2)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性:(3)傳遞性傳遞性:A與與B相合，相合，B與與C相合相合 A與與C相合相合 PTAP=B A=(PT)1BP 1=(P 1)TBP 1 4.方陣的合同方陣的合同相合的相合的實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的最簡(jiǎn)形的最簡(jiǎn)形:PTAP 不變量不變量:秩；正秩；正(負(fù)負(fù))慣性指數(shù)慣性指數(shù)規(guī)規(guī)范范形形Ep Eq O=5.推論推論3.實(shí)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣對(duì)稱(chēng)陣A與與B相合相合p、q、r相同相同命題命題:A與與B相合，相合，A是對(duì)稱(chēng)陣，則是對(duì)稱(chēng)陣，則B也是對(duì)稱(chēng)陣。也是對(duì)稱(chēng)陣。PTAP=B 證明：證明：A與與B相合，則存在可逆陣相合，則存在可逆陣P，使得，使得 BT=PTATP=PTAP=B 若若A=與對(duì)角陣相合與對(duì)角陣相合,則則(x,y)=對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)(1,2)例例6.規(guī)范形相同規(guī)范形相同相合的相合的實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的最簡(jiǎn)形的最簡(jiǎn)形:PTAP 不變量不變量:秩；正秩；正(負(fù)負(fù))慣性指數(shù)慣性指數(shù)Ep Eq O=實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相合實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相合正負(fù)慣性指數(shù)相同正負(fù)慣性指數(shù)相同相抵相抵相相似似四種等價(jià)關(guān)系之間的相互關(guān)系四種等價(jià)關(guān)系之間的相互關(guān)系相相合合正交正交相似相似實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相似相似必必相合相合?實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相合相合必必相似相似?相似的不變量相似的不變量:秩；特征值，跡，行列式秩；特征值，跡，行列式 規(guī)范形相同規(guī)范形相同相合的相合的實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的最簡(jiǎn)形的最簡(jiǎn)形:PTAP 不變量不變量:秩；正秩；正(負(fù)負(fù))慣性指數(shù)慣性指數(shù)Ep Eq O=實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相合實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相合正負(fù)慣性指數(shù)相同正負(fù)慣性指數(shù)相同等價(jià)等價(jià)關(guān)系關(guān)系定義定義矩陣矩陣定義定義等價(jià)類(lèi)等價(jià)類(lèi)代表代表不變量不變量 Rn nRm n相抵相抵相似相似正交正交相似相似Rn n實(shí)對(duì)稱(chēng)實(shí)對(duì)稱(chēng)相抵標(biāo)準(zhǔn)形相抵標(biāo)準(zhǔn)形為初等陣為初等陣 i為特征值為特征值 秩秩 特征值特征值,跡跡,行列式行列式 秩秩 相合相合Rn nr(f),p(A),q(A),對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性秩秩 實(shí)對(duì)稱(chēng)實(shí)對(duì)稱(chēng)若若A可相似可相似對(duì)角化對(duì)角化 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相似相似，特征值、，特征值、p、q同，必同，必相合相合；反之不然反之不然Ep Eq O 相似的不變量相似的不變量:秩秩;特征值特征值,跡跡,行列式行列式實(shí)對(duì)稱(chēng)相合不變量實(shí)對(duì)稱(chēng)相合不變量:秩秩;正負(fù)慣性指數(shù)正負(fù)慣性指數(shù),規(guī)范形規(guī)范形,對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性相抵的不變量相抵的不變量:秩秩 例例7.假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣A=,在實(shí)矩陣在實(shí)矩陣B=中中,與與A相抵的有相抵的有;與與A相似相似的有的有;與與A相合相合的有的有.B,C,D,FF由跡為由跡為1排除法只有排除法只有F由對(duì)稱(chēng)性排除剩下由對(duì)稱(chēng)性排除剩下B,CB,C由秩為由秩為1確定確定特征值也為特征值也為0,2，p=1,q=0F有兩個(gè)不同的特征值有兩個(gè)不同的特征值0,1特征值中正項(xiàng)、負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)特征值中正項(xiàng)、負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)例例8.設(shè)設(shè)問(wèn)問(wèn)A、B、C 哪些相似？哪些合同？哪些相似？哪些合同？解解(1)A是對(duì)角陣，是對(duì)角陣，B是上三角陣，且有是上三角陣，且有3個(gè)互異特個(gè)互異特征值與征值與A相同，故相同，故B 可以相似對(duì)角陣化為可以相似對(duì)角陣化為A。即即A與與B相似。相似。(2)因?yàn)橐驗(yàn)锳是對(duì)角陣，所以與是對(duì)角陣，所以與A合同的矩陣必是對(duì)合同的矩陣必是對(duì)稱(chēng)陣，而稱(chēng)陣，而B(niǎo)不是對(duì)稱(chēng)陣，不是對(duì)稱(chēng)陣，A與與B不合同。不合同。(3)C實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且與實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且與A、B相同特征值，故相同特征值，故C 與與A即相似又合同；故即相似又合同；故C 與與B相似不合同。相似不合同。四、正定二次型與正定矩陣四、正定二次型與正定矩陣 1.定義定義：實(shí)二次型：實(shí)二次型 f(x)=xTAx，對(duì)，對(duì)Rn中中任何非零任何非零向量向量x，有，有f(x)0，則稱(chēng)則稱(chēng) f 為為正定二次型正定二次型，A為為正定正定矩陣矩陣。若對(duì)若對(duì)Rn中中任何非零向量任何非零向量x，有，有 f(x)0，i=1,2,n 例例1.設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(aij)正定，則正定，則 aii 0。例例2.Am n，則，則ATA正定正定 r(A)=n 2.性質(zhì)性質(zhì) 3 同階正定矩陣的和仍為正定矩陣同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.1 可逆線性變換不改變二次型的正定性可逆線性變換不改變二次型的正定性.x ,f(x)=xTAx 0,x=Py,P可逆可逆y=P 1x ,g(y)=yT(PTAP)y=xTAx 0 2 相合矩陣的正定性也相同相合矩陣的正定性也相同.A,B正定正定,則則 x ,xTAx0,xTBx0,(A+B)T=AT+BT=A+B,x ,xT(A+B)x=xTAx+xTBx0 A+B正定正定 A+B實(shí)對(duì)稱(chēng)實(shí)對(duì)稱(chēng)設(shè)設(shè)A,B正定正定,3.定理定理6.4 設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，則下列命題等價(jià)：階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，則下列命題等價(jià)：(1)A 是正定矩陣；是正定矩陣；(2)A 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為n；(3)A 的特征值均大于零；的特征值均大于零；(4)A 與與E 相合；相合；(5)存在可逆陣存在可逆陣P，使得使得A=PTP。例例3.實(shí)對(duì)稱(chēng)實(shí)對(duì)稱(chēng)A 滿足滿足A2 3A+2E=O，則矩陣，則矩陣A正定正定 證明證明:設(shè)設(shè) 為為A的特征值，則的特征值，則 2 3+2=0，=1或或2因此因此A的所有可能特征值均大于零，的所有可能特征值均大于零，所以所以A是正定的是正定的(負(fù)定負(fù)定)(q=n)(i 0)(A與與 I相合相合)(A=PTP)例例4.設(shè)設(shè)A實(shí)對(duì)稱(chēng)，若實(shí)對(duì)稱(chēng)，若A-E正定正定，則，則E-A-1也正定也正定 例例5.設(shè)設(shè)A,B都是都是n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若A特征值均大特征值均大于于a，B的特征值均大于的特征值均大于b，證明：，證明：A+B的特征值均大的特征值均大于于a+b。定理定理6.5.n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定正定 A的各階的各階順序主順序主子式子式,2=a11 a12 a21 a22,1=a11,均大于零。均大于零。n=|A|說(shuō)明說(shuō)明(3).實(shí)對(duì)稱(chēng)實(shí)對(duì)稱(chēng)A負(fù)定負(fù)定各階各階順序主子式順序主子式負(fù)正相間負(fù)正相間例例6.已知已知A=，若對(duì)任意的，若對(duì)任意的2維列向量維列向量，有，有 TA =0,則則a,b,c,d 滿足條件滿足條件?例如例如 2 6 6 3 2=30 0,例例7.參數(shù)參數(shù)t 滿足？矩陣滿足？矩陣 正定。正定。例例8.判別判別n階矩陣階矩陣 正定性。正定性。