【幾何與代數(shù)】教學課件

【幾何與代數(shù)】教學課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學,課件 1.4 線性方程性方程組的求解的求解 本節(jié)先將二階、三階線性方程組的本節(jié)先將二階、三階線性方程組的Cramer法法則推廣到則推廣到n階線性方程組；然后介紹求解一般線階線性方程組；然后介紹求解一般線性方程組的性方程組的Gauss消元法及相應(yīng)的初等行變換。消元法及相應(yīng)的初等行變換。非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組設(shè)含設(shè)含n個變量、由個變量、由n個方程個方程構(gòu)成的線性方程組構(gòu)成的線性方程組則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.注：齊次注：齊次線性方程組，主要關(guān)注它線性方程組，主要關(guān)注它是否有非零是否有非零解解，如何求出全部非零解；，如何求出全部非零解；非齊次非齊次線性方程組，線性方程組，則是它則是它何時有解何時有解，如何求解。，如何求解。一、一、Cramer法則法則1.定理定理1.2：如果由含如果由含n個變量、個變量、n個方程構(gòu)成的線性個方程構(gòu)成的線性方程組方程組的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即則線性方程組則線性方程組(1)有唯一解有唯一解其中其中Dj是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式D中第中第j列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即階行列式，即證明證明:先證明先證明(2)是是(1)的解；再證明解唯一。的解；再證明解唯一。將行列式將行列式Dj按第按第j列展開：列展開：將將 代入代入(1)的的第第i個方程左邊，得個方程左邊，得 將將 代入代入(1)的的第第i個方程左邊，得個方程左邊，得代入代入Dj提出提出bj展開定理展開定理所以所以(2)滿足滿足(1)的每個方程，是的每個方程，是(1)的解。的解。對對(1)的任意一組解的任意一組解 用用D中第中第j列元素的代數(shù)余子式列元素的代數(shù)余子式 ，依次乘方程組依次乘方程組(1)的的n個方程，得個方程，得 是解是解將將n個方程依次相加，并提出個方程依次相加，并提出 ，得，得根據(jù)展開定理及其推論，得根據(jù)展開定理及其推論，得即方程組即方程組(1)的任意一組解均可唯一表示為：的任意一組解均可唯一表示為：解唯一解唯一例例1.用用Cramer法則解線性方程組法則解線性方程組解解:2.推論推論1.4：如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式為零。有非零解，則其系數(shù)行列式為零。說明說明(1).Cramer法則要求線性方程組滿足法則要求線性方程組滿足2個個條件，條件，一是方程個數(shù)等于變量個數(shù)；二是系數(shù)行一是方程個數(shù)等于變量個數(shù)；二是系數(shù)行列式非零。列式非零。說明說明(2).Cramer法則可以應(yīng)用求解齊次線性方法則可以應(yīng)用求解齊次線性方程組。程組。（用反證法證明）（用反證法證明）說明說明(3).推論推論1.4的等價命題：如果齊次線性方的等價命題：如果齊次線性方程組程組(3)的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零解。解。說明說明(4).可以證明，推論可以證明，推論1.4的逆命題也成立，的逆命題也成立，即如果系數(shù)行列式為零，則方程組即如果系數(shù)行列式為零，則方程組(3)有非零解。有非零解。例例2.參數(shù)參數(shù)取何值時，齊次方程組取何值時，齊次方程組有非零解？有非零解？解：解：首先計算方程組的系數(shù)行列式首先計算方程組的系數(shù)行列式根據(jù)說明根據(jù)說明(4)，D=0時，齊次方程組有非零解。時，齊次方程組有非零解。所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.注注1：Cramer法則建立了線性方程組的解和它的法則建立了線性方程組的解和它的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系。對于階數(shù)較大的線性系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系。對于階數(shù)較大的線性方程組，它需要很大的計算量，故方程組，它需要很大的計算量，故Cramer法則主法則主要用于理論推導(dǎo)。要用于理論推導(dǎo)。注注2：Cramer法則用于求解滿足法則用于求解滿足 (1)方程數(shù)方程數(shù)=變量數(shù)變量數(shù) (2)系數(shù)行列式非零系數(shù)行列式非零的線性方程組。如果上面有一個條件不能滿足，的線性方程組。如果上面有一個條件不能滿足，就無法使用，對于一般的線性方程組問題，需要就無法使用，對于一般的線性方程組問題，需要尋找新的求解方法。尋找新的求解方法。二、二、Gauss消元法消元法由由n個變量、個變量、m個方程構(gòu)成的線性方程組個方程構(gòu)成的線性方程組 線性方程組線性方程組(4)如果有解，稱為是如果有解，稱為是相容的相容的；如果；如果沒有解，稱為是沒有解，稱為是不相容的不相容的。線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的解解集合集合；具有相同解集合的方程組稱為是；具有相同解集合的方程組稱為是同解的同解的。消元法引例消元法引例例例3.求解線性方程組求解線性方程組解：解：消元過程消元過程得到階梯形方程組，再回代求解，得得到階梯形方程組，再回代求解，得方法小結(jié)：方法小結(jié)：1.上述解方程組的方法稱為上述解方程組的方法稱為Gauss消元法消元法，該，該方法理論上可以求任意線性方程組的解；方法理論上可以求任意線性方程組的解；2.對線性方程組進行的消元過程，用到如下三對線性方程組進行的消元過程，用到如下三種變換：種變換：（1）交換方程次序；交換方程次序；（2）以非零數(shù)乘某個方程；以非零數(shù)乘某個方程；（3）一個方程的一個方程的k倍加到另一個方程上。倍加到另一個方程上。（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）（以替換）（以替換）3.上述三種變換都是可逆的。上述三種變換都是可逆的。對線性方程組進行的這三種變換統(tǒng)稱為對線性方程組進行的這三種變換統(tǒng)稱為線性方線性方程組的初等變換程組的初等變換。由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是同解變換同解變換。在用在用Gauss消元法求解線性方程組的過程中，消元法求解線性方程組的過程中，參與運算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項。參與運算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項。為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要引入新的工具。引入新的工具。三、矩陣及其初等行變換三、矩陣及其初等行變換1.矩陣定義矩陣定義 由由 個數(shù)個數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表稱為稱為mn 階階矩陣矩陣，其中，其中aij 稱為稱為矩陣的元素矩陣的元素。矩陣用大寫字母表示：矩陣用大寫字母表示：實矩陣實矩陣與與復(fù)矩陣復(fù)矩陣 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣，稱為的矩陣，稱為n 階方陣階方陣或或n 階矩陣階矩陣；2.特殊矩陣特殊矩陣 只有一行的矩陣稱為只有一行的矩陣稱為行矩陣行矩陣或或行向量行向量；只有一；只有一列的矩陣稱為列的矩陣稱為列矩陣列矩陣或或列向量列向量；例如例如是一個是一個3 階方陣。階方陣。n維維行矩陣行矩陣n維列維列矩陣矩陣11階階矩陣矩陣 具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為同型矩陣同型矩陣；如；如果兩個矩陣是同型的，并且對應(yīng)位置的元素也相果兩個矩陣是同型的，并且對應(yīng)位置的元素也相同，則稱它們是同，則稱它們是相等的相等的。3.矩陣相等矩陣相等4.線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣由由n個變量、個變量、m個方程構(gòu)成的線性方程組個方程構(gòu)成的線性方程組 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣（系數(shù)）矩陣增廣（系數(shù)）矩陣 說明：說明：Gauss消元法實際上只需要消元法實際上只需要方程組的系數(shù)方程組的系數(shù)和常數(shù)項參與運算，即通過對增廣矩陣的操作就和常數(shù)項參與運算，即通過對增廣矩陣的操作就可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的初等行變換。初等行變換。下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換:5.矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換（1）交換矩陣兩行（交換交換矩陣兩行（交換i,j兩行，記為兩行，記為rirj）；）；（2）用非零數(shù)乘矩陣某行（用非零數(shù)乘矩陣某行（k乘乘i行，記為行，記為kri）；）；（3）矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（k乘乘j行行后加到后加到i行，記為行，記為ri+krj）。）。注：注：利用矩陣的初等行變換，利用矩陣的初等行變換，Gauss消元法的求消元法的求解過程，可以通過對增廣矩陣的初等行變換進行。解過程，可以通過對增廣矩陣的初等行變換進行。（分析消元過程結(jié)束時的增廣矩陣，和回代（分析消元過程結(jié)束時的增廣矩陣，和回代過程結(jié)束時的增廣矩陣形式）過程結(jié)束時的增廣矩陣形式）6.階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣 滿足下列條件的矩陣滿足下列條件的矩陣A稱為稱為階梯形矩陣階梯形矩陣 （1）若）若A有零行有零行(元素全為零的行元素全為零的行)，則零行位，則零行位于最下方于最下方;（2）非零行的非零首元）非零行的非零首元(自左至右第一個不為自左至右第一個不為零的元，稱為零的元，稱為主元主元)列標隨行標的遞增而遞增。列標隨行標的遞增而遞增。1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,階梯形矩陣階梯形矩陣 滿足以下條件的滿足以下條件的階梯矩陣階梯矩陣稱為稱為簡化階梯形矩陣簡化階梯形矩陣 （1）A的每個非零首元均為的每個非零首元均為1;（2）非零首元所在列其余元素均為）非零首元所在列其余元素均為0。1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0簡化階梯形矩陣簡化階梯形矩陣 說明：說明：對階梯形對階梯形矩陣繼續(xù)進行初等行變換（相矩陣繼續(xù)進行初等行變換（相當于當于Gauss消元法的回代過程），最終階梯形矩陣消元法的回代過程），最終階梯形矩陣化為簡化階梯形矩陣?；癁楹喕A梯形矩陣。例例4.用用Gauss消元法求解方程組消元法求解方程組（教材（教材P33例例1.22）例例5.討論方程組解的情況討論方程組解的情況 （教材（教材P34例例1.23）線性方程組線性方程組Ax=b增廣矩陣增廣矩陣A,b階梯形方程組階梯形方程組A1x=b1階梯形增廣陣階梯形增廣陣A1,b1簡化階梯形簡化階梯形A2,b2解的方程形式解的方程形式A2x=b2 對應(yīng)對應(yīng) 初等變換消元初等變換消元 初等行變換初等行變換 回代求解回代求解 初等行變換初等行變換 注：注：Gauss消元法的求解過程，與增廣矩陣的初消元法的求解過程，與增廣矩陣的初等行變換，是完全對應(yīng)的。等行變換，是完全對應(yīng)的。注：注：對增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；對方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；當增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形當增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形矩陣時，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。矩陣時，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3 主元主元 自由變量自由變量 階梯形線性階梯形線性方程組三種方程組三種基本類型基本類型 階梯形方程組（階梯形方程組（A階梯數(shù)階梯數(shù)r1，A,b階梯數(shù)階梯數(shù)r2）2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3 0=0無解無解 唯一解唯一解 無窮多解無窮多解 2 3 4 1 0 2 1 20 0 0 12 1 2 8 0 2 1 10 0 1 51 2 1 1 2 0 0 1 4 30 0 0 0 0解的數(shù)目解的數(shù)目 Ax=bAx=bA,b A,br2=r1+1 r2=r1=n r2=r1 n 四、齊次線性方程組有非零解充分條件四、齊次線性方程組有非零解充分條件1.定理定理1.4：當當m n時，含時，含n個變量、個變量、m個方程的齊個方程的齊次線性方程組必有非零解。次線性方程組必有非零解。證：證：對方程組的系數(shù)矩陣進行對方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換初等行變換，化化為階梯形矩陣為階梯形矩陣，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。組。階梯形矩陣的階梯形矩陣的階梯數(shù)階梯數(shù)，不超過方程的個數(shù)不超過方程的個數(shù)，小小于變量數(shù)于變量數(shù)（即矩陣列數(shù)），故（即矩陣列數(shù)），故存在自由變量存在自由變量，方，方程組有無窮多解。程組有無窮多解。注：注：利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的階梯數(shù)，判別利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的階梯數(shù)，判別方程組是否有解，也適用于齊次線性方程組。方程組是否有解，也適用于齊次線性方程組。2.定理定理1.5：齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。（證明略）（證明略）