【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 幾幾 何何 與與 代代 數(shù)數(shù)l 重要性重要性 工科基礎(chǔ)工科基礎(chǔ) 考研基礎(chǔ)考研基礎(chǔ)l 學(xué)時學(xué)時 64 學(xué)時學(xué)時,共共16 周課周課l 成績成績 平時平時5%,實驗實驗5%，期末期末90%一、教學(xué)內(nèi)容一、教學(xué)內(nèi)容 線性代數(shù)線性代數(shù)(抽象抽象)為了解決多變量問題為了解決多變量問題 形成的學(xué)科形成的學(xué)科.（代數(shù)為幾何提供了便利（代數(shù)為幾何提供了便利 的研究工具的研究工具,幾何為代數(shù)幾何為代數(shù) 提供了直觀想象的空間提供了直觀想象的空間).解析幾何解析幾何(直觀直觀)相相互互支支撐撐相相互互促促進進二、課程特點二、課程特點l 內(nèi)容（抽象）內(nèi)容（抽象）l 三多（概念多、符號多、定理多）三多（概念多、符號多、定理多）l 計算（原理簡單、計算量大）計算（原理簡單、計算量大）l 證明（簡潔、技巧）證明（簡潔、技巧）l 應(yīng)用（廣泛）應(yīng)用（廣泛）掌握三基掌握三基基本基本概念概念(定義、符號定義、符號)基本基本理論理論(定理、公式定理、公式)基本基本方法方法(計算、證明計算、證明)提前預(yù)習(xí)提前預(yù)習(xí)了解概念與方法了解概念與方法動手動腦動手動腦深入體會思想方法深入體會思想方法能力培養(yǎng)能力培養(yǎng)自學(xué)自學(xué)能力能力，分析問題，分析問題能力能力 和解決問題和解決問題能力能力三、學(xué)習(xí)方法三、學(xué)習(xí)方法第一章第一章 行列式和線性方程組的求解行列式和線性方程組的求解1.1 二二階、三、三階行列式行列式1.2 n 階行列式的概念行列式的概念1.3 行列式的性行列式的性質(zhì)1.4 線性方程性方程組的求解的求解用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入1.1 二二階、三、三階行列式行列式兩式相減，消去兩式相減，消去x2，可得：，可得：方程組的唯一解方程組的唯一解 此解不易記憶，因此有必要引進新的符號此解不易記憶，因此有必要引進新的符號“行列式行列式”來表示解來表示解類似地，消去類似地，消去x1，得：，得：主對角線主對角線副對角線副對角線對角線法則對角線法則定義：定義：若記若記對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為注意：注意：分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例例1.求解二元線性方程組求解二元線性方程組解：解：二、三階行列式可以用對角線法則定義二、三階行列式可以用對角線法則定義說明說明(1)：對角線法則對角線法則只適用二階、三階只適用二階、三階行列式行列式 (2)：三階行列式有三階行列式有6（或（或 3!）項）項(3正，正，3負(fù)負(fù))；每；每一項為不同行、不同列三個元素的乘積一項為不同行、不同列三個元素的乘積 如果三元線性方程組如果三元線性方程組的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 則三元一次線性方程組存在唯一解，且其解的則三元一次線性方程組存在唯一解，且其解的形式與二元線性方程組類似形式與二元線性方程組類似若記若記或或記記即即得得得得則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:克萊姆法則克萊姆法則例例2.計算三階行列式計算三階行列式 解解：按對角線法則，有按對角線法則，有例例3.解線性方程組解線性方程組解解:由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式同理可得同理可得故方程組的解為故方程組的解為:怎樣定義怎樣定義n階階行列式行列式?1.排列：排列：由由1,2,n 組成的有序數(shù)組稱為一個組成的有序數(shù)組稱為一個 n級排列級排列,記為記為:例如例如 自然數(shù)自然數(shù)1,2,3 的排列共有六種。的排列共有六種。例如例如 1 2 n 是一個是一個n階排列，稱為階排列，稱為自然排列自然排列。一、排列的逆序數(shù)與對換一、排列的逆序數(shù)與對換說明：說明：n 階階排列排列共有共有n!種種1.2 n 階行列式的概念行列式的概念2.逆序數(shù)：逆序數(shù)：在一個排列在一個排列 中，排在第中，排在第k k個個數(shù)數(shù)j jk k前、但比前、但比j jk k大的數(shù)的個數(shù)，稱為大的數(shù)的個數(shù)，稱為j jk k在這個排在這個排列中的列中的逆序數(shù)逆序數(shù)；一個排列中所有元素的逆序數(shù)之和，稱為這一個排列中所有元素的逆序數(shù)之和，稱為這個個排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)，記為：，記為：如果如果如果如果為偶數(shù)，則稱為為偶數(shù)，則稱為偶排列偶排列；為奇數(shù)，則稱為為奇數(shù)，則稱為奇排列奇排列。如果如果如果如果例例1.求下列排列的求下列排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)。(1)3 2 5 1 4 (2)n(n 1)(n 2)3 2 1 當(dāng)當(dāng) 時為偶排列；時為偶排列；當(dāng)當(dāng) 時為奇排列。時為奇排列。當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時，排列為偶排列；為偶數(shù)時，排列為偶排列；當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時，排列為奇排列。為奇數(shù)時，排列為奇排列。=1+2+k+(k-1)+(k-2)+1+04.定理定理1.1：對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性需要進行需要進行 2s+1 次相鄰對換，次相鄰對換，證：證：(1)相鄰對換相鄰對換(2)不相鄰對換不相鄰對換所以對換改變排列的奇偶性。所以對換改變排列的奇偶性。3.對換：對換：對調(diào)對調(diào)排列中的任排列中的任兩個兩個元素，其余元素不動元素，其余元素不動相鄰對換：相鄰對換：將將相鄰相鄰的兩個元素對換的兩個元素對換奇排列奇排列s個個偶排列偶排列t個個(1,2)對換對換(1,2)對換對換證證：推論推論1.2：全部全部 n(2)階排列中奇偶排列各占一半階排列中奇偶排列各占一半設(shè)設(shè)n!個個n階階排列中排列中有有s(t)個奇?zhèn)€奇(偶偶)排列，則排列，則1.三階行列式分析三階行列式分析 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 二、二、n階行列式的定義階行列式的定義排列排列j1 j2 j3的逆序數(shù)的逆序數(shù) 對所有對所有3級排列級排列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 二階行列式：二階行列式：2.n階行列式的定義階行列式的定義 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注注注.(1)n階行列式是階行列式是 n!項的代數(shù)和；項的代數(shù)和；(3)n階方陣階方陣A的的行列式，記為行列式，記為|A|或或 detA；(2)當(dāng)當(dāng)n=1時時,一階行列式一階行列式|a11|=a11,有正負(fù)號有正負(fù)號;排列排列j1 j2 jn的逆序數(shù)的逆序數(shù)(4)定義只能計算一些簡單的行列式。定義只能計算一些簡單的行列式。例例例例2.2.證明：對角形行列式、上證明：對角形行列式、上(下下)三角形行列式都三角形行列式都等于其主對角元素的乘積，即等于其主對角元素的乘積，即以下三角行列式為例來證明。以下三角行列式為例來證明。先確定所有可能的非零項先確定所有可能的非零項 其次求非零項的符號其次求非零項的符號證：證：證：證：其中其中*表示此處元素可以是任意的數(shù)表示此處元素可以是任意的數(shù)例例例例3.3.例例4.設(shè)設(shè)A=(aij)nn,證明證明f()=|IA|是是 的的n次次 多項式多項式,并求并求 n,n1的系數(shù)及常數(shù)項的系數(shù)及常數(shù)項.a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf()=|IA|=d d1 1=(=(a11)()(a22)()(ann)f(0)=|A|A的的跡跡,記為記為trA =(1)n|A|=(1)n例例5.已知已知，求，求x3項的系數(shù)。項的系數(shù)。解解:含含 的項有兩項的項有兩項,即即對應(yīng)于對應(yīng)于所以所以x3項的系數(shù)為項的系數(shù)為-1。三、行列式的轉(zhuǎn)置三、行列式的轉(zhuǎn)置1.引理引理1.1：將一般項將一般項 的因子次序的因子次序調(diào)整為調(diào)整為 ，則，則 與與 有相同的奇偶性。有相同的奇偶性。每一次調(diào)整一般項中兩個因子的次序，相當(dāng)于每一次調(diào)整一般項中兩個因子的次序，相當(dāng)于其其行下標(biāo)行下標(biāo)與與列下標(biāo)列下標(biāo)的排列各作一次對換。因此行、的排列各作一次對換。因此行、列下標(biāo)逆序數(shù)之和的奇偶性不變。列下標(biāo)逆序數(shù)之和的奇偶性不變。2.n階行列式的等價定義階行列式的等價定義 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann3.3.性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1.11.1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式。的轉(zhuǎn)置行列式。記記證：證：按定義按定義 又因為行列式又因為行列式D可表示為可表示為故故說明：說明：行列式中行列式中行與列的地位相同行與列的地位相同，凡是對行成，凡是對行成立的性質(zhì)，對列也同樣成立。立的性質(zhì)，對列也同樣成立。