【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件
【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件
一、行列式的基本性質(zhì)一、行列式的基本性質(zhì)1.3 行列式的性行列式的性質(zhì)考慮考慮n 階行列式階行列式 行列式一般不直接用定義計算，而是利用行行列式一般不直接用定義計算，而是利用行列式性質(zhì)，化簡行列式后再進行計算。列式性質(zhì)，化簡行列式后再進行計算。由于關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣成立，由于關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣成立，下面下面只討論行列式關(guān)于行的性質(zhì)只討論行列式關(guān)于行的性質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1.2：互換行列式的兩行，行列式變號?；Q行列式的兩行，行列式變號。證：證：證：證：設(shè)行列式設(shè)行列式是由行列式是由行列式 D 交換第交換第i 和第和第j 兩行得到的兩行得到的（不妨假設(shè)（不妨假設(shè)i j）即當(dāng)即當(dāng) 時時,當(dāng)當(dāng) 時時,于是于是則后一個排列是由前者對則后一個排列是由前者對pi 和和pj 進行一次對換進行一次對換得到的，它們奇偶性不同，于是得到的，它們奇偶性不同，于是例如例如推論推論.如果行列式有兩行完全相同，則此行列式如果行列式有兩行完全相同，則此行列式為零。為零。故故性質(zhì)性質(zhì)1.3：用數(shù)用數(shù)k 乘以乘以行列式的某一行，相當(dāng)于行列式的某一行，相當(dāng)于用數(shù)用數(shù)k 乘以該行列式。乘以該行列式。（證明類似性質(zhì)（證明類似性質(zhì)1.2，略），略）推論推論推論推論.行列式某一行中所有元素的公因子可以提行列式某一行中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。到行列式符號的外面。性質(zhì)性質(zhì)1.4：行列式中如果有兩行元素成比例，則行列式中如果有兩行元素成比例，則該行列式為零。該行列式為零。（由性質(zhì)（由性質(zhì)1.2和性質(zhì)和性質(zhì)1.3的推論可證）的推論可證）性質(zhì)性質(zhì)1.5：如果如果行列式某行元素是兩組數(shù)之和，行列式某行元素是兩組數(shù)之和，則該行列式可以寫成兩個行列式之和。則該行列式可以寫成兩個行列式之和。（證明類似性質(zhì)（證明類似性質(zhì)1.2，略），略）性質(zhì)性質(zhì)1.6：將將行列式某一行的各元素乘以常數(shù)，行列式某一行的各元素乘以常數(shù)，加到另一行的對應(yīng)元素上去，則行列式值不變。加到另一行的對應(yīng)元素上去，則行列式值不變。（由性質(zhì)（由性質(zhì)1.4和性質(zhì)和性質(zhì)1.5可證）可證）例例1.計算行列式計算行列式 下面通過例子，介紹怎樣應(yīng)用行列式性質(zhì)計算下面通過例子，介紹怎樣應(yīng)用行列式性質(zhì)計算行列式。行列式?；痉椒ㄒ唬ɑ癁槿切位痉椒ㄒ唬ɑ癁槿切危海簯?yīng)用行列式性質(zhì)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，將行列式化為上（下）三角形行列式，再求行列將行列式化為上（下）三角形行列式，再求行列式值。式值。解解：r3提公因子提公因子3 例例2.計算計算n 階行列式階行列式解解:將第將第 都加到第一列，得都加到第一列，得提出第提出第1列公因子列公因子各行減去第各行減去第1行行例例3.證明證明:證明證明:本題結(jié)論可以本題結(jié)論可以直接應(yīng)用直接應(yīng)用練習(xí)：練習(xí)：已知已知abcd=1，計算，計算4階行列式階行列式 說明：說明：將行列式化為三角形，再進行計算的方將行列式化為三角形，再進行計算的方法，只對某些特殊的行列式有效；更多時候非常法，只對某些特殊的行列式有效；更多時候非常麻煩、甚至難以化為三角形行列式。麻煩、甚至難以化為三角形行列式。提示：提示：前一個行列式提出因子前一個行列式提出因子abcd。二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開 aij 的余子式的余子式 Mij：a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annD=劃去劃去aij 所在行、列所在行、列得到的得到的n-1階行列式階行列式比如比如M22：aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 1.余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式例如例如 行列式中的每個元素都可以分別對應(yīng)一個余子行列式中的每個元素都可以分別對應(yīng)一個余子式和一個代數(shù)余子式。式和一個代數(shù)余子式。2.行列式展開定理行列式展開定理定理定理1.2：n階行列式階行列式D=det(aij)等于它任意行（列）等于它任意行（列）的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即或或證：證：將行列式第將行列式第i 行的每個元素寫成行的每個元素寫成n個數(shù)之和，則個數(shù)之和，則行列式行列式D拆成拆成n個個行列式之和行列式之和其中其中aij 非零的那個行列式記為：非零的那個行列式記為：將將Dij的第的第i行依次與第行依次與第i-1行、第行、第i-2行，行，第，第1行交行交換換，這時這時元素元素 到第到第1行，其余行之行，其余行之間間的相的相對對位置，位置，則則沒有沒有發(fā)發(fā)生改生改變變。再將它的。再將它的第第j列依次與第列依次與第j-1列、第列、第j-2列，列，第，第1列交換，這時元素列交換，這時元素 到了第到了第1行、第行、第1列。列。中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有由分塊下三角由分塊下三角形行列式形行列式3.推論推論1.3：n階行列式的任一行（列）的元素，階行列式的任一行（列）的元素，與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即當(dāng)和為零，即當(dāng)i j 時，時，說明：說明：定理定理1.2表明表明n階行列式可以化為階行列式可以化為n-1階行階行列式進行計算，所以定理列式進行計算，所以定理1.2被稱為被稱為行列式展開定行列式展開定理理?；痉椒ǘㄖ鸫谓惦A法基本方法二（逐次降階法）：）：先利用行列式性先利用行列式性質(zhì)，質(zhì)，將某行（列）將某行（列）化簡至只有個別非零元素，然化簡至只有個別非零元素，然后將行列式按該行（列）展開并降階，后將行列式按該行（列）展開并降階，直，直到到2、3階階行列式行列式進進行直接行直接計計算。算。例例例例4.4.計算計算計算計算行列式行列式按第按第3行展開行展開按第按第3列展開列展開 證：證：用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例5.證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式范德蒙德行列式的結(jié)果范德蒙德行列式的結(jié)果可以作為公式使用可以作為公式使用 rn-x1rn-1，rn-1-x1rn-2，r2-x1r1 n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式 說明：說明：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明；）數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）逐行相減法化簡行列式）逐行相減法化簡行列式 練習(xí)：練習(xí)：計算行列式計算行列式提示：提示：利用逐行相減技術(shù)利用逐行相減技術(shù)（1）：）：提示：提示：利用利用范德蒙德行列式進行計算。范德蒙德行列式進行計算。（2）：）：三、行列式的計算三、行列式的計算 計算行列式時，需要根據(jù)行列式的特點，選擇計算行列式時，需要根據(jù)行列式的特點，選擇適合的方法，逐步化簡，最終求出結(jié)果。適合的方法，逐步化簡，最終求出結(jié)果。計算計算n+1階行列式階行列式(爪形爪形)其中其中例例6.解：解：解：解：當(dāng)當(dāng) 全不為零時全不為零時1.化為三角形行列式計算化為三角形行列式計算注：注：例例6爪形行列式的結(jié)論，在計算行列式時可以直接爪形行列式的結(jié)論，在計算行列式時可以直接使用。使用。計算計算n+1階行列式階行列式例例7.解解:將第將第 都加到第一列，得：都加到第一列，得：行列式的每一行都是由同樣的行列式的每一行都是由同樣的x,a1,an構(gòu)構(gòu)成，即它成，即它們們的行和是相同的。的行和是相同的。提取行列式第一列的公因子，得提取行列式第一列的公因子，得練習(xí)：練習(xí)：計算行列式計算行列式提示：提示：分析分析行列式的每行元素行列式的每行元素2.化為低階行列式計算化為低階行列式計算計算行列式計算行列式例例8.提出提出r1公因子公因子按第按第1行展開行展開提出提出r1公因子公因子按第按第1行展開行展開計算計算n階階3對角行列式對角行列式例例9.解解:本題有本題有5種解法，包括兩種遞推方法、方程組種解法，包括兩種遞推方法、方程組方法、完全拆項法和歸納證明法方法、完全拆項法和歸納證明法解法一（解法一（遞推法遞推法1）：）：先將先將Dn按第按第1行展開行展開按第按第1列展開列展開由此構(gòu)造遞推式由此構(gòu)造遞推式求解遞推式求解遞推式 （1 1）（a）（an-2）相加后得到相加后得到解法二（解法二（遞推法遞推法2）：）：先將先將Dn第第1列拆成列拆成2列之和列之和（遞推式同解法一，以下過程略）（遞推式同解法一，以下過程略）解法三（方程組方法解法三（方程組方法）：）：假設(shè)假設(shè)a b在行列式在行列式Dn中，參數(shù)中，參數(shù)a、b地位是對稱的，由式地位是對稱的，由式解法四（完全拆項法解法四（完全拆項法）：）：將將Dn的每列都拆成的每列都拆成2列之和列之和從理論上說，從理論上說，Dn拆開后是拆開后是2n 個行列式之和。個行列式之和。但是由于每列但是由于每列后項后項與下一列與下一列前項前項成比例，所成比例，所以拆開后的非零行列式僅有以拆開后的非零行列式僅有n+1個。個。（請同學(xué)們回去自己確定）（請同學(xué)們回去自己確定）練習(xí)：練習(xí)：用遞推方法計算行列式用遞推方法計算行列式提示：提示：對對行列式的最后一列進行拆項行列式的最后一列進行拆項3.其它方法計算行列式其它方法計算行列式用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：例例10.證：證：對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法n=1時，時，結(jié)論成立結(jié)論成立n=2時，時，假設(shè)對階數(shù)小于假設(shè)對階數(shù)小于n的行列式，結(jié)論成立；的行列式，結(jié)論成立；則對于則對于n階行列式階行列式按最后一行展開行列式，則按最后一行展開行列式，則由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)命題得證。命題得證。計算行列式計算行列式例例11.（見書（見書25頁例頁例1.18）1.4 線性方程性方程組的求解的求解 本節(jié)先將二階、三階線性方程組的本節(jié)先將二階、三階線性方程組的Cramer法法則推廣到則推廣到n階線性方程組；然后介紹求解一般線階線性方程組；然后介紹求解一般線性方程組的性方程組的Gauss消元法及相應(yīng)的初等行變換。消元法及相應(yīng)的初等行變換。非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組設(shè)含設(shè)含n個變量、由個變量、由n個方程個方程構(gòu)成的線性方程組構(gòu)成的線性方程組則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.注：齊次注：齊次線性方程組，主要關(guān)注它線性方程組，主要關(guān)注它是否有非零是否有非零解解，如何求出全部非零解；，如何求出全部非零解；非齊次非齊次線性方程組，線性方程組，則是它則是它何時有解何時有解，如何求解。，如何求解。一、一、Cramer法則法則1.定理定理1.2：如果由含如果由含n個變量、個變量、n個方程構(gòu)成的線性個方程構(gòu)成的線性方程組方程組的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即則線性方程組則線性方程組(1)有唯一解有唯一解其中其中Dj是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式D中第中第j列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即階行列式，即證明證明:先證明先證明(2)是是(1)的解；再證明解唯一。的解；再證明解唯一。將行列式將行列式Dj按第按第j列展開：列展開：將將 代入代入(1)的的第第i個方程左邊，得個方程左邊，得 將將 代入代入(1)的的第第i個方程左邊，得個方程左邊，得代入代入Dj提出提出bj展開定理展開定理所以所以(2)滿足滿足(1)的每個方程，是的每個方程，是(1)的解。的解。對對(1)的任意一組解的任意一組解 用用D中第中第j列元素的代數(shù)余子式列元素的代數(shù)余子式 ，依次乘方程組依次乘方程組(1)的的n個方程，得個方程，得 是解是解將將n個方程依次相加，并提出個方程依次相加，并提出 ，得，得根據(jù)展開定理及其推論，得根據(jù)展開定理及其推論，得即方程組即方程組(1)的任意一組解均可唯一表示為：的任意一組解均可唯一表示為：解唯一解唯一例例1.用用Cramer法則解線性方程組法則解線性方程組解解:2.推論推論1.4：如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式為零。有非零解，則其系數(shù)行列式為零。說明說明(1).Cramer法則要求線性方程組滿足法則要求線性方程組滿足2個個條件，條件，一是方程個數(shù)等于變量個數(shù)；二是系數(shù)行一是方程個數(shù)等于變量個數(shù)；二是系數(shù)行列式非零。列式非零。說明說明(2).Cramer法則可以應(yīng)用求解齊次線性方法則可以應(yīng)用求解齊次線性方程組。程組。（用反證法證明）（用反證法證明）說明說明(3).推論推論1.4的等價命題：如果齊次線性方的等價命題：如果齊次線性方程組程組(3)的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零解。解。說明說明(4).可以證明，推論可以證明，推論1.4的逆命題也成立，的逆命題也成立，即如果系數(shù)行列式為零，則方程組即如果系數(shù)行列式為零，則方程組(3)有非零解。有非零解。例例2.參數(shù)參數(shù)取何值時，齊次方程組取何值時，齊次方程組有非零解？有非零解？解：解：首先計算方程組的系數(shù)行列式首先計算方程組的系數(shù)行列式根據(jù)說明根據(jù)說明(4)，D=0時，齊次方程組有非零解。時，齊次方程組有非零解。所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.注注1：Cramer法則建立了線性方程組的解和它的法則建立了線性方程組的解和它的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系。對于階數(shù)較大的線性系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系。對于階數(shù)較大的線性方程組，它需要很大的計算量，故方程組，它需要很大的計算量，故Cramer法則主法則主要用于理論推導(dǎo)。要用于理論推導(dǎo)。注注2：Cramer法則用于求解滿足法則用于求解滿足 (1)方程數(shù)方程數(shù)=變量數(shù)變量數(shù) (2)系數(shù)行列式非零系數(shù)行列式非零的線性方程組。如果上面有一個條件不能滿足，的線性方程組。如果上面有一個條件不能滿足，就無法使用，對于一般的線性方程組問題，需要就無法使用，對于一般的線性方程組問題，需要尋找新的求解方法。尋找新的求解方法。二、二、Gauss消元法消元法由由n個變量、個變量、m個方程構(gòu)成的線性方程組個方程構(gòu)成的線性方程組 線性方程組線性方程組(4)如果有解，稱為是如果有解，稱為是相容的相容的；如果；如果沒有解，稱為是沒有解，稱為是不相容的不相容的。線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的解解集合集合；具有相同解集合的方程組稱為是；具有相同解集合的方程組稱為是同解的同解的。消元法引例消元法引例例例3.求解線性方程組求解線性方程組解：解：消元過程消元過程得到階梯形方程組，再回代求解，得得到階梯形方程組，再回代求解，得方法小結(jié)：方法小結(jié)：1.上述解方程組的方法稱為上述解方程組的方法稱為Gauss消元法消元法，該，該方法理論上可以求任意線性方程組的解；方法理論上可以求任意線性方程組的解；2.對線性方程組進行的消元過程，用到如下三對線性方程組進行的消元過程，用到如下三種變換：種變換：（1）交換方程次序；交換方程次序；（2）以非零數(shù)乘某個方程；以非零數(shù)乘某個方程；（3）一個方程的一個方程的k倍加到另一個方程上。倍加到另一個方程上。（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）（以替換）（以替換）3.上述三種變換都是可逆的。上述三種變換都是可逆的。對線性方程組進行的這三種變換統(tǒng)稱為對線性方程組進行的這三種變換統(tǒng)稱為線性方線性方程組的初等變換程組的初等變換。由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是同解變換同解變換。在用在用Gauss消元法求解線性方程組的過程中，消元法求解線性方程組的過程中，參與運算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項。參與運算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項。為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要引入新的工具。引入新的工具。三、矩陣及其初等行變換三、矩陣及其初等行變換1.矩陣定義矩陣定義 由由 個數(shù)個數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表稱為稱為mn 階階矩陣矩陣，其中，其中aij 稱為稱為矩陣的元素矩陣的元素。矩陣用大寫字母表示：矩陣用大寫字母表示：實矩陣實矩陣與與復(fù)矩陣復(fù)矩陣 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣，稱為的矩陣，稱為n 階方陣階方陣或或n 階矩陣階矩陣；2.特殊矩陣特殊矩陣 只有一行的矩陣稱為只有一行的矩陣稱為行矩陣行矩陣或或行向量行向量；只有一；只有一列的矩陣稱為列的矩陣稱為列矩陣列矩陣或或列向量列向量；例如例如是一個是一個3 階方陣。階方陣。n維維行矩陣行矩陣n維列維列矩陣矩陣11階階矩陣矩陣 具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為同型矩陣同型矩陣；如；如果兩個矩陣是同型的，并且對應(yīng)位置的元素也相果兩個矩陣是同型的，并且對應(yīng)位置的元素也相同，則稱它們是同，則稱它們是相等的相等的。3.矩陣相等矩陣相等4.線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣由由n個變量、個變量、m個方程構(gòu)成的線性方程組個方程構(gòu)成的線性方程組 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣（系數(shù)）矩陣增廣（系數(shù)）矩陣 說明：說明：Gauss消元法實際上只需要消元法實際上只需要方程組的系數(shù)方程組的系數(shù)和常數(shù)項參與運算，即通過對增廣矩陣的操作就和常數(shù)項參與運算，即通過對增廣矩陣的操作就可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的初等行變換。初等行變換。下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換:5.矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換（1）交換矩陣兩行（交換交換矩陣兩行（交換i,j兩行，記為兩行，記為rirj）；）；（2）用非零數(shù)乘矩陣某行（用非零數(shù)乘矩陣某行（k乘乘i行，記為行，記為kri）；）；（3）矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（k乘乘j行行后加到后加到i行，記為行，記為ri+krj）。）。注：注：利用矩陣的初等行變換，利用矩陣的初等行變換，Gauss消元法的求消元法的求解過程，可以通過對增廣矩陣的初等行變換進行。解過程，可以通過對增廣矩陣的初等行變換進行。（分析消元過程結(jié)束時的增廣矩陣，和回代（分析消元過程結(jié)束時的增廣矩陣，和回代過程結(jié)束時的增廣矩陣形式）過程結(jié)束時的增廣矩陣形式）6.階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣 滿足下列條件的矩陣滿足下列條件的矩陣A稱為稱為階梯形矩陣階梯形矩陣 （1）若）若A有零行有零行(元素全為零的行元素全為零的行)，則零行位，則零行位于最下方于最下方;（2）非零行的非零首元）非零行的非零首元(自左至右第一個不為自左至右第一個不為零的元，稱為零的元，稱為主元主元)列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增。列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增。1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,階梯形矩陣階梯形矩陣 滿足以下條件的滿足以下條件的階梯矩陣階梯矩陣稱為稱為簡化階梯形矩陣簡化階梯形矩陣 （1）A的每個非零首元均為的每個非零首元均為1;（2）非零首元所在列其余元素均為）非零首元所在列其余元素均為0。1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0簡化階梯形矩陣簡化階梯形矩陣 說明：說明：對階梯形對階梯形矩陣?yán)^續(xù)進行初等行變換（相矩陣?yán)^續(xù)進行初等行變換（相當(dāng)于當(dāng)于Gauss消元法的回代過程），最終階梯形矩陣消元法的回代過程），最終階梯形矩陣化為簡化階梯形矩陣?；癁楹喕A梯形矩陣。例例4.用用Gauss消元法求解方程組消元法求解方程組（教材（教材P33例例1.22）例例5.討論方程組解的情況討論方程組解的情況 （教材（教材P34例例1.23）線性方程組線性方程組Ax=b增廣矩陣增廣矩陣A,b階梯形方程組階梯形方程組A1x=b1階梯形增廣陣階梯形增廣陣A1,b1簡化階梯形簡化階梯形A2,b2解的方程形式解的方程形式A2x=b2 對應(yīng)對應(yīng) 初等變換消元初等變換消元 初等行變換初等行變換 回代求解回代求解 初等行變換初等行變換 注：注：Gauss消元法的求解過程，與增廣矩陣的初消元法的求解過程，與增廣矩陣的初等行變換，是完全對應(yīng)的。等行變換，是完全對應(yīng)的。注：注：對增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；對方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形矩陣時，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。矩陣時，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3 主元主元 自由變量自由變量 階梯形線性階梯形線性方程組三種方程組三種基本類型基本類型 階梯形方程組（階梯形方程組（A階梯數(shù)階梯數(shù)r1，A,b階梯數(shù)階梯數(shù)r2）2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3 0=0無解無解 唯一解唯一解 無窮多解無窮多解 2 3 4 1 0 2 1 20 0 0 12 1 2 8 0 2 1 10 0 1 51 2 1 1 2 0 0 1 4 30 0 0 0 0解的數(shù)目解的數(shù)目 Ax=bAx=bA,b A,br2=r1+1 r2=r1=n r2=r1 n 四、齊次線性方程組有非零解充分條件四、齊次線性方程組有非零解充分條件1.定理定理1.4：當(dāng)當(dāng)m n時，含時，含n個變量、個變量、m個方程的齊個方程的齊次線性方程組必有非零解。次線性方程組必有非零解。證：證：對方程組的系數(shù)矩陣進行對方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換初等行變換，化化為階梯形矩陣為階梯形矩陣，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。組。階梯形矩陣的階梯形矩陣的階梯數(shù)階梯數(shù)，不超過方程的個數(shù)不超過方程的個數(shù)，小小于變量數(shù)于變量數(shù)（即矩陣列數(shù)），故（即矩陣列數(shù)），故存在自由變量存在自由變量，方，方程組有無窮多解。程組有無窮多解。注：注：利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的階梯數(shù)，判別利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的階梯數(shù)，判別方程組是否有解，也適用于齊次線性方程組。方程組是否有解，也適用于齊次線性方程組。2.定理定理1.5：齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。（證明略）（證明略）第二章第二章 矩矩 陣陣2.3 分塊矩陣分塊矩陣一一.分塊矩陣的運算規(guī)則分塊矩陣的運算規(guī)則二二.分塊矩陣的一些例子分塊矩陣的一些例子 矩陣分塊，是矩陣運算的一個重要方法，可將大矩陣分塊，是矩陣運算的一個重要方法，可將大規(guī)模矩陣的運算化為若干小矩陣進行計算。規(guī)模矩陣的運算化為若干小矩陣進行計算。在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱線，將矩陣分割成若干個小矩陣，每個小矩陣稱為線，將矩陣分割成若干個小矩陣，每個小矩陣稱為矩陣的矩陣的子塊子塊；以子塊為元素的矩陣，稱為；以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣分塊矩陣。1、矩陣分塊的方法、矩陣分塊的方法 例如例如 即即 說明說明(1).矩陣分塊時，同一個矩陣可以有不同的矩陣分塊時，同一個矩陣可以有不同的分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進行選擇。分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進行選擇。2、矩陣分塊一般形式、矩陣分塊一般形式 矩陣矩陣A=(aij)mn，在行方向分，在行方向分s塊，列方向分塊，列方向分t塊，塊，稱稱A為為st分塊矩陣分塊矩陣，第，第k行行l(wèi)列子塊列子塊Akl是是mknl階矩陣。階矩陣。各子塊行數(shù)各子塊行數(shù) 各子塊列數(shù)各子塊列數(shù) 說明說明(2).矩陣分塊三原則：體現(xiàn)矩陣分塊三原則：體現(xiàn)原矩陣特點原矩陣特點，依，依據(jù)據(jù)問題需要問題需要，子塊可以作，子塊可以作元素運算元素運算。一、一、分塊矩陣的運算規(guī)則分塊矩陣的運算規(guī)則 設(shè)設(shè)A、B是是mn階矩陣，采用相同的分塊法分塊將階矩陣，采用相同的分塊法分塊將A、B分塊如下：分塊如下：1、分塊加法、分塊加法 注注.分塊矩陣運算中，每個子塊具有二重性：一分塊矩陣運算中，每個子塊具有二重性：一是是分塊分塊矩陣的元素矩陣的元素；二是本身是；二是本身是矩陣矩陣。2、分塊數(shù)乘、分塊數(shù)乘 設(shè)設(shè)A是是mn階矩陣，任意分塊，階矩陣，任意分塊，k是常數(shù)，則定義是常數(shù)，則定義3、分塊乘法、分塊乘法設(shè)設(shè)A是是ml階矩陣，階矩陣，B是是ln階矩陣，階矩陣，即即A的的列列數(shù)數(shù)=B 的的行行數(shù)數(shù)即即A的的列分塊列分塊法法=B 的的行行分塊分塊法法分塊分塊A=(Auv)sr B=(Bvw)rt則則A與與B的乘積的乘積C=(Cuw)是是st階分塊矩陣，滿足階分塊矩陣，滿足 注注.分塊矩陣乘積分塊矩陣乘積AB中，每個子塊：中，每個子塊：（1）作為分塊陣元素參與運算）作為分塊陣元素參與運算 （2）作為矩陣也要滿足乘法條件）作為矩陣也要滿足乘法條件 例例1.用分塊矩陣法求用分塊矩陣法求AB 解：解：則則又又于是于是 說明說明(3).矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計算過程矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計算過程更簡單，計算量更少。更簡單，計算量更少。4、分塊轉(zhuǎn)置、分塊轉(zhuǎn)置 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(Aij)是是sr 階分塊矩陣階分塊矩陣 例例1的的計算量比較：計算量比較：直接進行矩陣乘積需要的四則運算次數(shù)直接進行矩陣乘積需要的四則運算次數(shù)用分塊矩陣進行矩陣乘積需要的四則運算次數(shù)用分塊矩陣進行矩陣乘積需要的四則運算次數(shù) 合計合計32次次 說明：說明：分塊轉(zhuǎn)置中，每個子塊一方面作為分塊轉(zhuǎn)置中，每個子塊一方面作為分塊分塊陣陣元素元素要轉(zhuǎn)置；另一方面作為要轉(zhuǎn)置；另一方面作為矩陣矩陣本身也要轉(zhuǎn)置。本身也要轉(zhuǎn)置。分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 特別地，對于列分塊矩陣：特別地，對于列分塊矩陣：二、一些特殊的二、一些特殊的分塊矩陣分塊矩陣1.2階階分塊上（下）三角形矩陣求逆分塊上（下）三角形矩陣求逆 例例2.求下列求下列2階分塊逆矩陣階分塊逆矩陣其中其中A11，A22可逆矩陣可逆矩陣其中其中B12，B21可逆矩陣可逆矩陣 解解(1)：設(shè)設(shè)A的分塊逆矩陣為的分塊逆矩陣為 得到得到4個矩陣方程組個矩陣方程組 求解該方程組，得求解該方程組，得 (2)（解略，請仿（解略，請仿(1)方法自行求解）方法自行求解）設(shè)設(shè)A1,A2,As均為方陣（不一定同階），則稱下均為方陣（不一定同階），則稱下面的面的A為為分塊對角矩陣分塊對角矩陣2.分塊對角矩陣分塊對角矩陣 如果矩陣如果矩陣A1,A2,As均可逆，則均可逆，則分塊對角矩陣分塊對角矩陣A可逆，且其逆矩陣為可逆，且其逆矩陣為 說明：說明：分塊對角陣的逆矩陣，與對角矩陣的逆矩分塊對角陣的逆矩陣，與對角矩陣的逆矩陣形式類似。陣形式類似。3.矩陣乘積矩陣乘積AB，A不分塊，不分塊，B按列分塊按列分塊 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A、B分別是分別是sn 和和nt 階矩陣，階矩陣，A不分塊，不分塊，B按列分塊，即按列分塊，即 則則 例例3.求解下列矩陣方程求解下列矩陣方程 說明：說明：矩陣方程矩陣方程AX=B 可看成可看成 t 個線性方程組個線性方程組 Ax1=b1,Ax2=b2,Axt=bt 其中其中B=(b1,b2,bt)，X=(x1,x2,xt)解：解：對增廣矩陣對增廣矩陣(A,B)進行初等行變換進行初等行變換r2+r1r3-2r1 -r2r1-2r2r3+r2 于是方程組于是方程組Ax1=b1有解有解 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)=0 時，時，Ax2=b2有解有解 所以矩陣方程所以矩陣方程AX=B 在參數(shù)在參數(shù)=0 時，有解：時，有解：說明：說明：利用增廣矩陣的初等行變換，可以對矩陣?yán)迷鰪V矩陣的初等行變換，可以對矩陣方程方程AX=B 的的 t 個線性方程組同時進行求解。個線性方程組同時進行求解。4.矩陣乘積矩陣乘積AB，A按列分塊，按列分塊，B每個元素為塊每個元素為塊 （1）設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是是sn 矩陣，矩陣，X 是是n1矩陣：矩陣：將將A按列分塊，即按列分塊，即 則則 我們將表達式我們將表達式 稱為向量稱為向量 的的線性組合線性組合，稱為稱為組合系數(shù)組合系數(shù)。說明說明(1).對于線性方程組對于線性方程組Ax=b，利用這樣的分塊，利用這樣的分塊方式，可以得到方式，可以得到線性方程組的向量形式線性方程組的向量形式 說明說明(2).如果記如果記 ei 是第是第i個分量為個分量為1，其余分量為，其余分量為0的列向量，則的列向量，則同樣記同樣記i 是第是第i個分量為個分量為1，其余分量為，其余分量為0的行向量，的行向量，則則i A表示表示A的第的第i個行向量。個行向量。（2）設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是是sn 矩陣，矩陣，B 是是nt 矩陣，將矩陣，將A按按列分塊，則列分塊，則即即AB的每個列向量，都是的每個列向量，都是A的列向量的線性組合的列向量的線性組合。例例4.設(shè)設(shè)A是是2階矩陣，階矩陣，x是是2維非零列向量。若維非零列向量。若求矩陣求矩陣C，使得，使得AB=BC。（見教材（見教材P69例例2.15）2.4 矩陣的秩矩陣的秩一一.秩的概念秩的概念二二.初等變換和矩陣的秩初等變換和矩陣的秩 初等行變換，可以將矩陣初等行變換，可以將矩陣A化為階梯形矩陣。這個化為階梯形矩陣。這個階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入矩陣的秩概念。矩陣的秩概念。三三.矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形一一.秩的概念秩的概念 在在Am n中，中，任取任取k行、行、k列列(km,kn)，位于這些，位于這些行列交叉處的行列交叉處的k2個元素，按原有的位置個元素，按原有的位置次序所構(gòu)成次序所構(gòu)成的的k階行列式，稱為階行列式，稱為A的的k階子式階子式。1.k階子式階子式 說明說明(1).A共有共有 個個k 階子式。階子式。例如例如2階非零子式階非零子式 3階零子式階零子式 2.秩的定義秩的定義 矩陣矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣稱為矩陣A的秩的秩，記為記為r(A)=r或或rank(A)=r。說明說明(1).0 r(Amn)min m,n 說明說明(2).規(guī)定零矩陣的秩為規(guī)定零矩陣的秩為0，即，即 r(O)=0 說明說明(3).對于對于n階矩陣階矩陣A，有，有 A為滿秩矩陣為滿秩矩陣 更一般地，更一般地，如果如果mn 階矩陣階矩陣A滿足滿足 r(A)=m，A為為行滿秩矩陣行滿秩矩陣 r(A)=n，A為為列滿秩矩陣列滿秩矩陣 例例1.解：解：在在A中，中，例例2.3.矩陣秩的性質(zhì)矩陣秩的性質(zhì) （利用行列式的性質(zhì)證明上述性質(zhì)）（利用行列式的性質(zhì)證明上述性質(zhì)）命題命題2.1：r(A)=r A至少存在一個至少存在一個r 階非零子式，階非零子式，同時同時A所有所有r+1 階子式為零。階子式為零。說明說明(4).A存在一個存在一個r 階非零子式階非零子式 r(A)r A所有所有r+1 階子式為零階子式為零 r(A)r 例例3 解解 更一般地，對于階梯形矩陣更一般地，對于階梯形矩陣 命題命題2.2：階梯形矩陣的秩等于它的階梯數(shù)。階梯形矩陣的秩等于它的階梯數(shù)。說明說明(5).用定義直接計算矩陣的秩，需要計算的用定義直接計算矩陣的秩，需要計算的子式數(shù)量很大；階梯形矩陣的秩可以直接由階梯數(shù)子式數(shù)量很大；階梯形矩陣的秩可以直接由階梯數(shù)確定，能否利用這一點？確定，能否利用這一點？二二.初等變換和矩陣的秩初等變換和矩陣的秩 任何一個矩陣任何一個矩陣A，都可以經(jīng)有限次初等行變換，都可以經(jīng)有限次初等行變換，化為階梯形矩陣。那么初等行變換，是否會影響矩化為階梯形矩陣。那么初等行變換，是否會影響矩陣的秩？陣的秩？引理引理2.2：若矩陣若矩陣A經(jīng)過初等行變換變成經(jīng)過初等行變換變成B，則，則 r(A)r(B)證明證明:只需要證明一次初等行變換的情況：只需要證明一次初等行變換的情況：假設(shè)假設(shè)r(A)=r，且，且A的一個的一個r 階子式階子式 D 0。引理引理2.3：若矩陣若矩陣A經(jīng)過初等行變換變成經(jīng)過初等行變換變成B，則，則B經(jīng)經(jīng)過初等行變換也可變成過初等行變換也可變成A。（證略，利用初等行變換的可逆性）（證略，利用初等行變換的可逆性）由由上述引理，不難得到結(jié)論：上述引理，不難得到結(jié)論：命題命題2.3：初等行變換不改變矩陣的秩。初等行變換不改變矩陣的秩。說明說明(1).矩陣秩的計算：矩陣秩的計算：先經(jīng)初等行變換將矩陣先經(jīng)初等行變換將矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣，再由階梯數(shù)確定矩陣秩。變?yōu)殡A梯形矩陣，再由階梯數(shù)確定矩陣秩。例例4.計算下面矩陣的秩，并求出一個最高階非零計算下面矩陣的秩，并求出一個最高階非零子式。子式。解：解：對對A作初等行變換，將其變?yōu)殡A梯形矩陣：作初等行變換，將其變?yōu)殡A梯形矩陣：矩陣矩陣A已經(jīng)變成階梯形矩陣已經(jīng)變成階梯形矩陣B，其階梯數(shù)為，其階梯數(shù)為3，故，故 下面求下面求A的一個最高階非零子式：的一個最高階非零子式：由由r(A)=3可知，可知，A的最高階非零子式為的最高階非零子式為3階。階。而而A的的3階子式有階子式有 如何找到如何找到A的一個的一個3階非零子式？考慮階非零子式？考慮A的階梯形的階梯形矩陣矩陣B，因為因為r(B)=3，所以階梯形矩陣，所以階梯形矩陣B的前三行，和第的前三行，和第1、2、4列構(gòu)成一個非零子式列構(gòu)成一個非零子式 于是，在矩陣于是，在矩陣A的第的第1、2、4列中，一定可以找到列中，一定可以找到一個一個3階非零子式，例如取第階非零子式，例如取第1、2、3行行 即為矩陣即為矩陣A的一個最高階非零子式。的一個最高階非零子式。說明說明(2).為什么為什么A中選擇與中選擇與B相同的相同的列，就一定存列，就一定存在最高階非零子式？在第在最高階非零子式？在第4章中可以找到答案。章中可以找到答案。三三.矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形 在第一章為了表示線性方程組的消元法，引入了在第一章為了表示線性方程組的消元法，引入了矩陣初等行變換的概念。這里將進一步擴展為矩陣矩陣初等行變換的概念。這里將進一步擴展為矩陣的初等變換。的初等變換。1.矩陣的初等變換矩陣的初等變換 設(shè)矩陣設(shè)矩陣Amn n，記，記 r 表示行，表示行，c 表示列，則表示列，則 rirj，kri，ri+krj，稱為，稱為矩陣的矩陣的初等行變換初等行變換；cicj，kci，ci+kcj，稱為，稱為矩陣的矩陣的初等列變換。初等列變換。說明說明(1).初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣矩陣的初等變換的初等變換2.矩陣的等價關(guān)系矩陣的等價關(guān)系 A B有限次初等變換有限次初等變換 則稱則稱矩陣矩陣A等價于矩陣等價于矩陣B，記為，記為AB。矩陣的等價關(guān)系滿足下列矩陣的等價關(guān)系滿足下列3性質(zhì)：性質(zhì)：1（反身性）（反身性）AA 2（對稱性）（對稱性）AB，則，則BA 3（傳遞性）（傳遞性）AB，且，且BC，則，則A C 說明說明(2).任何滿足上面任何滿足上面3條性質(zhì)的關(guān)系，都可以稱條性質(zhì)的關(guān)系，都可以稱為是一種等價關(guān)系。為是一種等價關(guān)系。例例5.求與例求與例4中的矩陣中的矩陣A等價的矩陣。等價的矩陣。解：解：例例4中對中對A作初等行變換，變?yōu)殡A梯形矩陣：作初等行變換，變?yōu)殡A梯形矩陣：初等行變換初等行變換 階梯形矩陣階梯形矩陣初等行變換初等行變換 簡化階梯形簡化階梯形初等列變換初等列變換 等價標(biāo)準(zhǔn)形等價標(biāo)準(zhǔn)形 一般地，設(shè)矩陣一般地，設(shè)矩陣Amn n的秩為的秩為 r(A)=r，則經(jīng)過一，則經(jīng)過一系列系列初等變換，可以得到與矩陣初等變換，可以得到與矩陣A等價的、最簡單等價的、最簡單的矩陣：的矩陣：稱為矩陣稱為矩陣A的的等價標(biāo)準(zhǔn)形等價標(biāo)準(zhǔn)形。說明說明(3).一個矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形，可以由它的秩一個矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形，可以由它的秩唯一確定。唯一確定。3.定理定理2.3 A、B是同型矩陣，則是同型矩陣，則AB r(A)=r(B)證：證：“”顯然。顯然?！啊痹O(shè)設(shè)r(A)=r(B)=r，則，則A、B的等價標(biāo)準(zhǔn)形相同，的等價標(biāo)準(zhǔn)形相同，都是都是 根據(jù)矩陣等價的性質(zhì)，得根據(jù)矩陣等價的性質(zhì)，得AB 線性方程組的各種形式：線性方程組的各種形式：1)一般形式：一般形式：2)矩陣形式：矩陣形式：3)向量形式：向量形式：命題命題.設(shè)設(shè)A Rm n,b Rm,則則(1)r(A,b)=r(A)+1 Ax=b無解無解;(2)r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n Ax=b有無窮多解有無窮多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)個自由未知量個自由未知量.Ax=b 有解有解 b 能由列向量組能由列向量組 I:A1,An 線性表示線性表示 向量組向量組 I:A1,An與向量組與向量組II:A1,An,b等等價價 r(A)=r(A,b)一一.線性方程組解的存在性和唯一性線性方程組解的存在性和唯一性？Ax=b 有解有解 b 能由列向量組能由列向量組 I:A1,An 線性表示線性表示 向量組向量組 I:A1,An與向量組與向量組II:A1,An,b等等價價 r(A)=r(A,b)命題命題.設(shè)設(shè)A Rm n,b Rm,則則(1)r(A,b)=r(A)+1 Ax=b無解無解;(2)r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n Ax=b有無窮多解有無窮多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)個自由未知量個自由未知量.Ax=b 有有唯一唯一解解 b 能由列向量組能由列向量組A1,An線性表示線性表示,表示方式表示方式唯一唯一 r(A)=r(A,b)，且，且A1,An線性無關(guān)線性無關(guān) r(A)=r(A,b)=n 一一.線性方程組解的存在性和唯一性線性方程組解的存在性和唯一性 推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.一一.線性方程組解的存在性和唯一性線性方程組解的存在性和唯一性 Ax=只有零解只有零解 A1,An線性無關(guān)線性無關(guān) r(A)=r(A1,An)=n 只有零解只有零解 推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.Ax=有非零解有非零解 A1,An線性相關(guān)線性相關(guān)有非零解有非零解 r(A)=r(A1,An)n Ax=只有零解只有零解 A1,An線性無關(guān)線性無關(guān) r(A)=r(A1,An)=n 只有零解只有零解 推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.l若有非零解若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)這些解具有哪些性質(zhì)?也也是是 Ax=0 的解的解.由由 是是Ax=0的解的解,即即性質(zhì)性質(zhì)1也是也是 Ax=0 的解的解.性質(zhì)性質(zhì)2 由由 是是Ax=0的解的解,即即 k,推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.l若有非零解若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)這些解具有哪些性質(zhì)?若若Ax=0 有非零解有非零解,則這些解的任意線性組合仍是解。則這些解的任意線性組合仍是解。K(A)=x Rn|Ax=齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間即即A的核空間或零空間的核空間或零空間l若有非零解若有非零解,如何找到所有的如何找到所有的(無窮多個無窮多個)解解?只要找到向量空間只要找到向量空間K(A)的一個的一個基基,就能表示所有解就能表示所有解.(基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系)二二.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1.Ax=0的一組解的一組解 1,2,s稱為稱為一個一個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系:(1)1,2,s 線性無關(guān)線性無關(guān);(2)Ax=0的的任一解任一解都可由都可由 1,2,s線性表示線性表示.那么該方程組的那么該方程組的通解通解就可表示成就可表示成x=k1 1+k2 2+ks s,其中其中k1,k2,ks為常數(shù)為常數(shù).這種形式的通解稱為這種形式的通解稱為Ax=0的的結(jié)構(gòu)式通解結(jié)構(gòu)式通解.K(A)=x Rn|Ax=齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間 注注1：基礎(chǔ)解系是：基礎(chǔ)解系是Ax=0解向量組的解向量組的極大無關(guān)組極大無關(guān)組，所以基礎(chǔ)解系所以基礎(chǔ)解系不唯一不唯一，且任兩個基礎(chǔ)解系，且任兩個基礎(chǔ)解系等價等價.定理定理4.14 設(shè)設(shè)A Rm n,r(A)=rn,則則dim(K(A)=n r即即Ax=的的任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個解向量個解向量.x1 =c1,r+1xr+1 +c1,r+2xr+2 +c1nxn x2 =c2,r+1xr+1 +c2,r+2xr+2 +c2nxn xr =cr,r+1xr+1 +cr,r+2xr+2 +crnxn xr+1 =xr+1 xr+2 =xr+2 xn =xn n r個個自由自由未知量未知量A初等行變換初等行變換證明：證明：B為行最簡形矩陣為行最簡形矩陣r(B)=r(A)=r Bx=0有有 n r 個自由未知量個自由未知量.=xr+1+xr+2+xn x1 x2 xr xr+1xr+2 xn c1,r+1 c2,r+1 cr,r+1 100c1,r+2 c2,r+2 cr,r+2 01 0 c1n c2n crn 001線性線性無關(guān)無關(guān)增維也增維也無關(guān)無關(guān)=xr+1 1+xr+2 2+xn n-r 1,2,n-r 線性無關(guān)線性無關(guān)任意解任意解x可由其線性表示可由其線性表示基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系定理定理4.14 設(shè)設(shè)A Rm n,r(A)=rn,則則dim(K(A)=n r即即Ax=的的任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個解向量個解向量.為一基為一基礎(chǔ)解系，礎(chǔ)解系，c1,r+1 cr,r+1 100c1,r+2 cr,r+2 01 0 c1n crn 001 1=,2=,n r=含有含有n r個解向量個解向量.設(shè)設(shè) 1,2,t為為任一任一基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.則則 1,2,t線性無關(guān)，且與線性無關(guān)，且與 1,2,n r等價等價.t=n r 即即任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個解向量個解向量.定理定理4.14 設(shè)設(shè)A Rm n,r(A)=rn,則則dim(K(A)=n r即即Ax=的的任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個解向量個解向量.性質(zhì)性質(zhì)1.與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也 是是基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.性質(zhì)性質(zhì)2.若若A Rm n,r(A)=r,則則Ax=的任意的任意n r個個線性無關(guān)的解向量都是線性無關(guān)的解向量都是Ax=的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.3.解解Am n x=的一般步驟的一般步驟 A初等初等行行變換變換 行行階階梯梯陣陣r(A)n?行行最最簡簡形形取非主列取非主列對應(yīng)的變對應(yīng)的變量為自由量為自由未知量未知量;令其為令其為e1,en-r,求得通解求得通解.只有零解只有零解N初等初等行行變換變換 Y注注:自由未知量的選取不是唯一，只要取定自由未知量的選取不是唯一，只要取定A中中r(A)個線性無關(guān)的列，其余列對應(yīng)變量可為自由變量個線性無關(guān)的列，其余列對應(yīng)變量可為自由變量.例例1.求求的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解:初等初等行行變換變換 該方程組的基礎(chǔ)解系可取為該方程組的基礎(chǔ)解系可取為 通解為通解為 101/5 4/5取取x2,x4為自由未知量為自由未知量,自由變自由變量不能量不能取取x3,x4,因不因不能任意能任意取值，取值，x1,x2也也不能表不能表示示例例2.求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組Ax=0，即，即T x=0.若向量若向量 Rn,0,A=T,求求r(A)=,|A|=.10基礎(chǔ)解系中有基礎(chǔ)解系中有n-1個解個解,設(shè)設(shè)是是Ax=0 的解的解.證證明：明：可由可由Ax=0的基礎(chǔ)解系線性表示的基礎(chǔ)解系線性表示.例例3.A Rs n,B Rn t.若若AB=0,則則 r(A)+r(B)n.r2=r1+1 無解無解 r2=r1=n 唯一解唯一解 r2=r1 n 無窮多解無窮多解 基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系的本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組,維數(shù)為維數(shù)為n-r(A)二二.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系K(A)=x Rn|Ax=齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間一一.解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性(Ax=b)r1=r(A),r2=r(A,b).A初等初等行行變換變換 行行階階梯梯陣陣r(A)n?行行最最簡簡形形取非主列對取非主列對應(yīng)的變量為應(yīng)的變量為自由未知量自由未知量;令其為令其為e1,en-r,求求得通解得通解.只有零解只有零解N初等初等行行變換變換 Y三三.非齊次線性方程組的一般解非齊次線性方程組的一般解 1.齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=0 稱為非齊次線性稱為非齊次線性 方程組方程組Ax=b 的的導(dǎo)出組導(dǎo)出組.性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)設(shè) 1,2都是都是 Ax=b 的解的解,則則 1 2是是 Ax=0的解的解.性質(zhì)性質(zhì)2.是是Ax=b的解的解,是是Ax=0 的解的解,則則 +是是Ax=b的解的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì) A(1 2)=A 1A 2=b b=0A(+)=A +A =b+0=b定理定理4.15.設(shè)設(shè) 0是是Ax=b的一個解的一個解,1,n r是是Ax=0 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系,則則Ax=b的的結(jié)構(gòu)式結(jié)構(gòu)式通解通解為為 x=0+k1 1+kn r n r.稱稱 0為為Ax=b的一個的一個特解特解.證明證明:Ax=A(0+k1 1+kn r n r)=A 0=b.對任意對任意Ax=b的解的解x,k1,kn r,s.t.x 0=k1 1+kn r n r,x=0+k1 1+kn r n r.x 0 為為 Ax=0 的解的解,3.解非齊次線性方程組解非齊次線性方程組Am n x=b的一般步驟的一般步驟(A b)初等初等行行變換變換 行行階階梯梯陣陣r(A)=r(A b)?行行最最簡簡形形無解無解N初等初等行行變換變換 Y令非主列令非主列變量為變量為e1,en-r,求求得基解得基解;令其為令其為0,求得特解求得特解.定理定理4.15.設(shè)設(shè) 0是是Ax=b的一個解的一個解,1,n r是是Ax=0 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系,則則Ax=b的的結(jié)構(gòu)式結(jié)構(gòu)式通解通解為為 x=0+k1 1+kn r n r.稱稱 0為為Ax=b的一個的一個特解特解.解解:初等初等行行變換變換方程組的通解為方程組的通解為例例4.求方程組求方程組 的通解的通解.10121/21/2注注:求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系時右端向量為時右端向量為0 四四.線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用1.兩直線的相對位置兩直線的相對位置 A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0 A4x+B4y+C4z+D4=0 r2=r1+1平行或異面平行或異面 r2=r1=3交于一點交于一點 r2=r1=2 3重合重合 記記A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3A4 B4 C4,A=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3A4 B4 C4 D4.r(A)=r1r(A)=r22.三平面的相對位置三平面的相對位置 1:A1x+B1y+C1z+D1=0 2:A2x+B2y+C2z+D2=0 3:A3x+B3y+C3z+D3=0 r2=r1+1 無解無解 平行或平行或“”或或“”r2=r1=3 交于一點交于一點 r2=r1=2 3 交于一線交于一線 r2=r1=1 3 三平面重合三平面重合 記記A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3,A=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3.r(A)=r1r(A)=r2例例5 A Rm n,b Rm,判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確.(1)若若Ax=0只有零解只有零解,則則Ax=b有有唯一解唯一解.答答:錯錯,因因r(A)=n,r(A)=n=r(A,b)(2)若若Ax=0有非零解有非零解,則則Ax=b有無窮多解有無窮多解.答答:錯錯,因因r(A)n,r(A)=r(A,b)?(3)若若Ax=b唯一解唯一解,則則Ax=0只有零解只有零解.答答:對對,r(A)=r(A,b)=n.r(A)=n(5)若若r(A)=r=m,則則Ax=b必有解必有解.答答:對對,r(A)=r=m=r(A,b).(6)若若r(A)=r=n,則則Ax=b必有唯一解必有唯一解.答答:錯錯,A為為m n,當(dāng)當(dāng)m n時時,可有可有r(A,b)=n+1.(4)若若Ax=0有非零解有非零解,則則ATx=0也有非零解也有非零解.答答:錯錯,比如：比如：A為為m n,r(A)=m n,r(AT)=m,這時這時ATx=0只有零解只有零解.例如例如A為為3 4,R(A)=3 4,r(AT)=3=m.例例5 A Rm n,b Rm,判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確.例例6.證明證明r(ATA)=r(A).證明證明:設(shè)設(shè)A為為s n的矩陣的矩陣,x為為n維列向量維列向量.進而得進而得r(ATA)=r(A).一方面一方面Ax=(ATA)x=,xT(ATA)x=0|Ax|2=(Ax)T(Ax)=0 Ax=.可見可見Ax=解必為解必為(ATA)x=的解的解.另一方面另一方面(ATA)x=故故Ax=與與(ATA)x=同解同解,因此因此nr(ATA)=nr(A).
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