【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 第二章第二章 矩矩 陣陣 2.2 可逆矩陣可逆矩陣 一一.行列式的乘法定理行列式的乘法定理 二二.可逆矩陣可逆矩陣 三三.可逆矩陣性質(zhì)可逆矩陣性質(zhì) 上一節(jié)介紹了矩陣的一些基本運(yùn)算。其中矩陣上一節(jié)介紹了矩陣的一些基本運(yùn)算。其中矩陣加法和減法可以看作互逆運(yùn)算；如何規(guī)定矩陣乘加法和減法可以看作互逆運(yùn)算；如何規(guī)定矩陣乘法的逆運(yùn)算呢？法的逆運(yùn)算呢？逆矩陣逆矩陣就是我們尋找的。就是我們尋找的。一一.行列式的乘法定理行列式的乘法定理 定理定理2.1（乘法定理）：（乘法定理）：假設(shè)假設(shè)A、B都是都是n階矩陣，階矩陣，則則|AB|=|A|B|二二.可逆矩陣可逆矩陣 在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)a 0時(shí)，有時(shí)，有其中其中 為為a的倒數(shù)，或稱為的倒數(shù)，或稱為a的的逆逆。分塊初行變分塊初行變列對(duì)換列對(duì)換所以所以|A|B|=|AB|證證:則矩陣則矩陣A-1稱為稱為A的可逆矩陣或逆陣。的可逆矩陣或逆陣。在矩陣的運(yùn)算中，在矩陣的運(yùn)算中，單位陣單位陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的中的1。對(duì)于矩陣。對(duì)于矩陣A，如果存在一個(gè)矩陣，如果存在一個(gè)矩陣A-1，使得，使得 1.逆矩陣定義逆矩陣定義 定義：定義：對(duì)于對(duì)于n階矩陣階矩陣A，若存在，若存在n階矩陣階矩陣B，使，使則稱矩陣則稱矩陣A是是可逆的可逆的，并稱滿足上式的矩陣，并稱滿足上式的矩陣B為為A的的逆矩陣逆矩陣。記作。記作A-1（A-1=B）說(shuō)明說(shuō)明(1).在在定義中矩陣定義中矩陣A與與B地位相同，如果地位相同，如果B是是A的逆矩陣；則的逆矩陣；則A也也是是B的逆矩陣；的逆矩陣；（互逆的）（互逆的）說(shuō)明說(shuō)明(2).可逆矩陣可逆矩陣A與的逆矩陣是唯一的；與的逆矩陣是唯一的；事實(shí)上，若事實(shí)上，若AB=BA=E，AC=CA=E，則則 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C。逆矩陣唯一逆矩陣唯一例如例如 說(shuō)明說(shuō)明(3).不是所有的矩陣都有逆矩陣。不是所有的矩陣都有逆矩陣。例如例如與任意的與任意的2階矩陣相乘，都不可能等于單位矩陣階矩陣相乘，都不可能等于單位矩陣E例例1.解解:設(shè)設(shè)A的逆矩陣為的逆矩陣為利用待定系數(shù)法求矩陣?yán)么ㄏ禂?shù)法求矩陣A的逆矩陣的逆矩陣則則又因?yàn)橛忠驗(yàn)樗运?問(wèn)題：?jiǎn)栴}：在什么條件下，在什么條件下，n階矩陣階矩陣A是可逆的；如是可逆的；如果可逆，如何求出它的逆矩陣？果可逆，如何求出它的逆矩陣？分析：分析：將行列式展開定理將行列式展開定理1.2和推論和推論1.3結(jié)合，得結(jié)合，得行展開行展開列展開列展開該矩陣與逆該矩陣與逆矩陣有關(guān)系矩陣有關(guān)系 2.伴隨矩陣伴隨矩陣 定義：定義：設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣 在在A中的代數(shù)余子式稱矩陣中的代數(shù)余子式稱矩陣為矩陣為矩陣A的的伴隨矩陣伴隨矩陣。說(shuō)明說(shuō)明(1).伴隨矩陣的第伴隨矩陣的第i行元素是行元素是A的第的第i列元素列元素的代數(shù)余子式；第的代數(shù)余子式；第j列元素是列元素是A的第的第j行元素的代數(shù)行元素的代數(shù)余子式。余子式。說(shuō)明說(shuō)明(2).伴隨矩陣伴隨矩陣A*的的第第i行、第行、第j列元素列元素是是Aji，注意兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)代數(shù)代數(shù)余子式余子式和和轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置。例例2.計(jì)算下列矩陣的伴隨矩陣計(jì)算下列矩陣的伴隨矩陣 解解:(1)根據(jù)定義，有根據(jù)定義，有“主換位，負(fù)變號(hào)主換位，負(fù)變號(hào)”(2)計(jì)算代數(shù)余子式計(jì)算代數(shù)余子式 根據(jù)前面的分析和伴隨矩陣的定義，可得根據(jù)前面的分析和伴隨矩陣的定義，可得 引理引理2.1：設(shè)設(shè)n 2，A*是是矩陣矩陣A=(aij)的伴隨矩的伴隨矩陣，則陣，則 3、定理、定理2.2：n階階矩陣矩陣A可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且此時(shí)，且此時(shí) 證：證：(必要性必要性)若若 可逆，可逆，(充分性充分性)說(shuō)明說(shuō)明(4).稱稱A是是非奇異的非奇異的、或、或非退化的非退化的稱稱A是是奇異矩陣奇異矩陣、或、或退化的退化的 定理定理2.2等價(jià)形式：等價(jià)形式：A可逆可逆A是非奇異的是非奇異的 說(shuō)明說(shuō)明(3).定理不僅給出了矩陣可逆的充要條件，定理不僅給出了矩陣可逆的充要條件，也給出了求逆矩陣的公式。也給出了求逆矩陣的公式。4.推論推論2.3：矩陣矩陣A、B均是均是n階矩陣，且滿足：階矩陣，且滿足：AB=E(或或BA=E)，則，則A、B互為逆矩陣?；槟婢仃?。說(shuō)明說(shuō)明(5).推論表明，判別推論表明，判別B是否為是否為A的逆矩陣，只的逆矩陣，只需驗(yàn)證需驗(yàn)證AB=E(或或BA=E)即可。即可。解：解：例例3.判別下列矩陣是否可逆，并求出逆矩陣。判別下列矩陣是否可逆，并求出逆矩陣。例例4.n階矩陣階矩陣A、B滿足滿足A+B=AB。證明。證明(A E)可逆，并求逆矩陣。可逆，并求逆矩陣。解：解：由由A+B=AB，得：，得：AB A B+E=E 即即(A E)(B E)=E 所以所以 A E 可逆，且可逆，且(A E)-1=B E 說(shuō)明說(shuō)明(6).伴隨矩陣法最多求伴隨矩陣法最多求3階逆矩陣。階逆矩陣。三、可三、可逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì) 說(shuō)明說(shuō)明(1).性質(zhì)性質(zhì)4可以推廣到有限個(gè)矩陣相乘求逆?？梢酝茝V到有限個(gè)矩陣相乘求逆。練習(xí)練習(xí)1：求下列行列式、伴隨矩陣或逆矩陣。求下列行列式、伴隨矩陣或逆矩陣。提示：提示：利用關(guān)系式利用關(guān)系式 練習(xí)練習(xí)2：設(shè)設(shè)A是是3階方陣，且階方陣，且|A|=3，計(jì)算：，計(jì)算：例例5.n階矩陣階矩陣A滿足滿足A2-2A+3E=0。求求(A+E)-1，(A-E)-1 例例6.n階矩陣階矩陣A、B、C滿足滿足ABC=E，問(wèn)，問(wèn)A、B、C是否可逆，求它們的逆矩陣。是否可逆，求它們的逆矩陣。例例7.矩陣矩陣A、B、A+B均可逆，則均可逆，則A-1+B-1也可逆，也可逆，且且(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A 說(shuō)明說(shuō)明(2).矩陣乘法的消去律，當(dāng)矩陣乘法的消去律，當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)是可逆矩陣時(shí)成立，即成立，即 利用逆矩陣概念，利用逆矩陣概念，Cramer法則簡(jiǎn)單表示為：法則簡(jiǎn)單表示為：如果如果n階矩陣階矩陣A 可逆，則線性方程組可逆，則線性方程組Ax=b有唯有唯一解一解x=A-1b 2.Cramer法則簡(jiǎn)潔形式法則簡(jiǎn)潔形式 3.矩陣方程矩陣方程 如果線性方程組的右端是一個(gè)矩陣，則線性如果線性方程組的右端是一個(gè)矩陣，則線性方程組可以稱為方程組可以稱為矩陣方程矩陣方程。利用逆矩陣，同樣可以得到矩陣方程的解。利用逆矩陣，同樣可以得到矩陣方程的解。例例8.設(shè)設(shè) 解解:于是于是 例例9.解：解：給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣得得給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣得得給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣