【幾何與代數(shù)】教學課件

【幾何與代數(shù)】教學課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學,課件 1“斐波那契斐波那契數(shù)數(shù)列列”v若一若一個數(shù)個數(shù)列，列，前兩項前兩項等等于于1，而，而從從第三第三項項起，每起，每一一項項是是其其前前兩項兩項之和，之和，則稱該數(shù)列為則稱該數(shù)列為斐波那契斐波那契數(shù)數(shù)列列。即：。即：1，1，2，3，5，8，13，意大利數(shù)學家斐波那契的意大利數(shù)學家斐波那契的算盤書算盤書（1202年）年）2二階遞二階遞推公式推公式由由可得可得因此因此問題的提出：設問題的提出：設 A 是是n階方陣階方陣,求求Ak?分析：分析：(1)若若A是對角陣是對角陣，則易求，則易求 Ak=k.A=P 1 Q 1(2)一般方陣一般方陣A可與對角陣可與對角陣 相抵，即存相抵，即存在在n階可逆陣階可逆陣P,Q,使得使得 PAQ=.Ak=(P 1 Q 1)(P 1 Q 1)(P 1 Q 1)若若Q 1=P,則則 Ak=P 1 k Q 1=Q k Q 1(3)因此，當存在因此，當存在n階可逆陣階可逆陣Q,使得使得 Q 1AQ=(對角陣對角陣)時時,易求易求方陣方陣Ak.此時稱方陣此時稱方陣A可與對角陣可與對角陣 相似。相似。問題：問題：當當A可與對角陣可與對角陣 相似相似,Q 與與 的關系如何的關系如何?當方陣當方陣A可與對角陣可與對角陣 相似，即相似，即存在存在n階可逆陣階可逆陣Q,使使得得 Q 1AQ=(對角陣對角陣)時時,易求易求方陣方陣Ak.Q1AQ=,設設Q 的列向量為的列向量為q1,q2,qn.顯然顯然它們線性無關它們線性無關.即即A(q1,q2,qn)=(1q1,2q2,nqn),即即 A qi=i qi,i=1,n 特征值特征值 特征向量特征向量 對應對應 qi 則則AQ=Q =Qdiag(1,2,n),1.定義定義 =n階方陣階方陣 非零非零向量向量 特征值特征值(eigenvalue)特征向量特征向量(eigenvector)對應對應 5.1 方陣方陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量 一一.特征值、特征向量的概念特征值、特征向量的概念A 數(shù)數(shù) 注注1.幾何意義幾何意義A3 3 y=A =/y=A 注注2.否則否則,=,R,A =但是可以但是可以 =0,此時此時,A =0 =A =(EA)=0|EA|=0 特征方程特征方程=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多項式特征多項式 特征值特征值 特征向量特征向量 對每個對每個，求求(EA)x=0的基礎解系的基礎解系 1,2,t對應于對應于 的的所有特征向量為所有特征向量為 k1 1+k2 2+kt t，k1,kt 不全不全為為0。2.計算計算 先解先解|EA|=0，求出，求出所有特征值所有特征值，解解:|EA|=(+1)(2)2.所以所以A的特征值為的特征值為 1=1,2=3=2.(EA)x=的基礎解系的基礎解系:p1=(1,0,1)T.對應于對應于 1=1的特征向量為的特征向量為k1p1(k1 0).(2EA)x=的基礎解系的基礎解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.對應于對應于 2=3=2的特征向量為的特征向量為k2p2+k3p3 (k2,k3不同時為零不同時為零).例例1.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:|EA|=(2)(1)2.所以所以A的特征值為的特征值為 1=2,2=3=1.對于對于 1=2,求得求得(2EA)x=0 的基礎解系的基礎解系:p1=(0,0,1)T.對應于對應于 1=2的特征向量為的特征向量為k1p1(k1 0).對于對于 2=3=1,求得求得(EA)x=0 的基礎解系的基礎解系:p2=(1,2,1)T.對應于對應于 2=3=1的特征向量為的特征向量為k2p2(k2 0).例例2.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解法解法1:所以所以A的全部特征值為的全部特征值為 0(n 1重根重根)和和 例例3.設設 0，Rn，求求A=T的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。設設a1 0解解:當當=0時時,(E A)x=0,即即Ax=0.不妨設不妨設例例3.設設 0，Rn，求求A=T的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。對應對應 =0的任意的任意特征向量特征向量不全為不全為0此時只有一個線性無關的特征向量此時只有一個線性無關的特征向量解解:當當=T 時，時，(T E A)x=0因為因為Ax=x，即即 x=x注意到注意到即即 為為A的對應特征值的對應特征值 =T 的的特征向量特征向量所以只要找一個非零向量滿足上述方程即可所以只要找一個非零向量滿足上述方程即可 例例3.設設 0,Rn,求求A=T的特征值和特征向量的特征值和特征向量.r(T E A)+r(x)nr(T E A)n 1r(T E A)+r(A)r(T E A+A)=r(T E)=nr(T E A)=n 1 =T 的的特征向量為特征向量為r(A)=1二二.特征值的性質特征值的性質 性質性質1.設設 1,n(實數(shù)或復數(shù)，可重復實數(shù)或復數(shù)，可重復)是是n階方階方陣陣A=(aij)的的n個個特征值，即特征值，即|EA|=(1)(2)(n)，則，則 i=trA=aii n i=1 n i=1 i=detA=|A|n i=1 證明：證明：|EA|=(1)(2)(n)推論推論1.方陣方陣A可逆可逆A的特征值均不為的特征值均不為0性質性質3.設設 是是A的的特征值，對應特征向量特征值，對應特征向量，則則 k、m、1/、f()分別是分別是 kA、Am、A-1、f(A)的特征值，且特征向量不變。的特征值，且特征向量不變。性質性質2.方陣方陣A與與AT的的特征值相同特征值相同 證明：證明：|EA|=|(EA)T|=|EAT|性質性質4.若若f 是多項式，是多項式，A是是一個一個方陣，方陣，使使 f(A)=0 說明說明(1).稱稱 f 為為A的一個的一個化零化零多項式多項式。則則A的任的任一特征值一特征值 必滿足必滿足f()=0。注注1.A的化零多項式的根是的化零多項式的根是A的所有的所有可能可能的特征值的特征值.例例4.若若 A2=E,求求A的所有的所有可能可能的特征值的特征值.1=2=1 1=2=1 1=1,2=1解解:由由A2 E=0知，知，f(x)=x2 1為為A一個化零多項式。一個化零多項式。f(x)=x2 1=0 的的根根1、-1為為A的所有的所有可能可能特征值。特征值。注注2.A的化零多項式的根的化零多項式的根未必未必都是都是A的特征值的特征值.例例5.f(x)=x2 1，根為根為1、-1A1=1 0 0 1,A2=1 0 0 1,A3=0 11 0.錯誤做法：錯誤做法：A2=E,A2 E=0,(A+E)(A E)=0,|A+E|A E|=0,|A+E|=0,|A E|=0,=1,1錯誤在于只能說明錯誤在于只能說明1、-1 是是A的的可能可能的特征值，但的特征值，但不能保證是不能保證是所有可能所有可能的特征值。的特征值。解法解法2:所以所以A的所有可能的特征值的所有可能的特征值 滿足滿足所以所以A的所有可能的特征值的所有可能的特征值例例3.設設 0，Rn，求求A=T的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。所以所以A的全部特征值為的全部特征值為 0(n 1重根重根)及及 例例7.設設3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為2、1、-1，則則解：解：A可逆可逆若若 是是可逆陣可逆陣A的的特征值，特征值，則則 1/是是A 1的特征值。的特征值。故故(+1/)是是(A+A 1)的特征值。的特征值。例例8.設設3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為1,2,3,則則的特征值為的特征值為:即即 11,5,3(A+A 1)的特征值為：的特征值為：例例8.設設3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為 2、1、4，則可逆矩陣，則可逆矩陣:(A)E A(B)4E A(C)2E A(D)2E+A例例9.若方陣若方陣A不可逆，則不可逆，則A的一個特征值為的一個特征值為()0例例10.若方陣若方陣A滿足滿足A2=2A，0不是不是A的特征值，則的特征值，則A=A可逆可逆A=2E