【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 一、行列式的基本性質(zhì)一、行列式的基本性質(zhì)1.3 行列式的性行列式的性質(zhì)考慮考慮n 階行列式階行列式 行列式一般不直接用定義計(jì)算，而是利用行行列式一般不直接用定義計(jì)算，而是利用行列式性質(zhì)，化簡行列式后再進(jìn)行計(jì)算。列式性質(zhì)，化簡行列式后再進(jìn)行計(jì)算。由于關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣成立，由于關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣成立，下面下面只討論行列式關(guān)于行的性質(zhì)只討論行列式關(guān)于行的性質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1.2：互換行列式的兩行，行列式變號?；Q行列式的兩行，行列式變號。證：證：證：證：設(shè)行列式設(shè)行列式是由行列式是由行列式 D 交換第交換第i 和第和第j 兩行得到的兩行得到的（不妨假設(shè)（不妨假設(shè)i j）即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),于是于是則后一個(gè)排列是由前者對則后一個(gè)排列是由前者對pi 和和pj 進(jìn)行一次對換進(jìn)行一次對換得到的，它們奇偶性不同，于是得到的，它們奇偶性不同，于是例如例如推論推論.如果行列式有兩行完全相同，則此行列式如果行列式有兩行完全相同，則此行列式為零。為零。故故性質(zhì)性質(zhì)1.3：用數(shù)用數(shù)k 乘以乘以行列式的某一行，相當(dāng)于行列式的某一行，相當(dāng)于用數(shù)用數(shù)k 乘以該行列式。乘以該行列式。（證明類似性質(zhì)（證明類似性質(zhì)1.2，略），略）推論推論推論推論.行列式某一行中所有元素的公因子可以提行列式某一行中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。到行列式符號的外面。性質(zhì)性質(zhì)1.4：行列式中如果有兩行元素成比例，則行列式中如果有兩行元素成比例，則該行列式為零。該行列式為零。（由性質(zhì)（由性質(zhì)1.2和性質(zhì)和性質(zhì)1.3的推論可證）的推論可證）性質(zhì)性質(zhì)1.5：如果如果行列式某行元素是兩組數(shù)之和，行列式某行元素是兩組數(shù)之和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和。則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和。（證明類似性質(zhì)（證明類似性質(zhì)1.2，略），略）性質(zhì)性質(zhì)1.6：將將行列式某一行的各元素乘以常數(shù)，行列式某一行的各元素乘以常數(shù)，加到另一行的對應(yīng)元素上去，則行列式值不變。加到另一行的對應(yīng)元素上去，則行列式值不變。（由性質(zhì)（由性質(zhì)1.4和性質(zhì)和性質(zhì)1.5可證）可證）例例1.計(jì)算行列式計(jì)算行列式 下面通過例子，介紹怎樣應(yīng)用行列式性質(zhì)計(jì)算下面通過例子，介紹怎樣應(yīng)用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式。行列式?；痉椒ㄒ唬ɑ癁槿切位痉椒ㄒ唬ɑ癁槿切危海簯?yīng)用行列式性質(zhì)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，將行列式化為上（下）三角形行列式，再求行列將行列式化為上（下）三角形行列式，再求行列式值。式值。解解：r3提公因子提公因子3 例例2.計(jì)算計(jì)算n 階行列式階行列式解解:將第將第 都加到第一列，得都加到第一列，得提出第提出第1列公因子列公因子各行減去第各行減去第1行行例例3.證明證明:證明證明:本題結(jié)論可以本題結(jié)論可以直接應(yīng)用直接應(yīng)用練習(xí)：練習(xí)：已知已知abcd=1，計(jì)算，計(jì)算4階行列式階行列式 說明：說明：將行列式化為三角形，再進(jìn)行計(jì)算的方將行列式化為三角形，再進(jìn)行計(jì)算的方法，只對某些特殊的行列式有效；更多時(shí)候非常法，只對某些特殊的行列式有效；更多時(shí)候非常麻煩、甚至難以化為三角形行列式。麻煩、甚至難以化為三角形行列式。提示：提示：前一個(gè)行列式提出因子前一個(gè)行列式提出因子abcd。二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開 aij 的余子式的余子式 Mij：a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annD=劃去劃去aij 所在行、列所在行、列得到的得到的n-1階行列式階行列式比如比如M22：aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 1.余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式例如例如 行列式中的每個(gè)元素都可以分別對應(yīng)一個(gè)余子行列式中的每個(gè)元素都可以分別對應(yīng)一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。式和一個(gè)代數(shù)余子式。2.行列式展開定理行列式展開定理定理定理1.2：n階行列式階行列式D=det(aij)等于它任意行（列）等于它任意行（列）的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即或或證：證：將行列式第將行列式第i 行的每個(gè)元素寫成行的每個(gè)元素寫成n個(gè)數(shù)之和，則個(gè)數(shù)之和，則行列式行列式D拆成拆成n個(gè)個(gè)行列式之和行列式之和其中其中aij 非零的那個(gè)行列式記為：非零的那個(gè)行列式記為：將將Dij的第的第i行依次與第行依次與第i-1行、第行、第i-2行，行，第，第1行交行交換換，這時(shí)這時(shí)元素元素 到第到第1行，其余行之行，其余行之間間的相的相對對位置，位置，則則沒有沒有發(fā)發(fā)生改生改變變。再將它的。再將它的第第j列依次與第列依次與第j-1列、第列、第j-2列，列，第，第1列交換，這時(shí)元素列交換，這時(shí)元素 到了第到了第1行、第行、第1列。列。中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有由分塊下三角由分塊下三角形行列式形行列式3.推論推論1.3：n階行列式的任一行（列）的元素，階行列式的任一行（列）的元素，與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即當(dāng)和為零，即當(dāng)i j 時(shí)，時(shí)，說明：說明：定理定理1.2表明表明n階行列式可以化為階行列式可以化為n-1階行階行列式進(jìn)行計(jì)算，所以定理列式進(jìn)行計(jì)算，所以定理1.2被稱為被稱為行列式展開定行列式展開定理理?；痉椒ǘㄖ鸫谓惦A法基本方法二（逐次降階法）：）：先利用行列式性先利用行列式性質(zhì)，質(zhì)，將某行（列）將某行（列）化簡至只有個(gè)別非零元素，然化簡至只有個(gè)別非零元素，然后將行列式按該行（列）展開并降階，后將行列式按該行（列）展開并降階，直，直到到2、3階階行列式行列式進(jìn)進(jìn)行直接行直接計(jì)計(jì)算。算。例例例例4.4.計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算行列式行列式按第按第3行展開行展開按第按第3列展開列展開 證：證：用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例5.證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式范德蒙德行列式的結(jié)果范德蒙德行列式的結(jié)果可以作為公式使用可以作為公式使用 rn-x1rn-1，rn-1-x1rn-2，r2-x1r1 n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式 說明：說明：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明；）數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）逐行相減法化簡行列式）逐行相減法化簡行列式 練習(xí)：練習(xí)：計(jì)算行列式計(jì)算行列式提示：提示：利用逐行相減技術(shù)利用逐行相減技術(shù)（1）：）：提示：提示：利用利用范德蒙德行列式進(jìn)行計(jì)算。范德蒙德行列式進(jìn)行計(jì)算。（2）：）：三、行列式的計(jì)算三、行列式的計(jì)算 計(jì)算行列式時(shí)，需要根據(jù)行列式的特點(diǎn)，選擇計(jì)算行列式時(shí)，需要根據(jù)行列式的特點(diǎn)，選擇適合的方法，逐步化簡，最終求出結(jié)果。適合的方法，逐步化簡，最終求出結(jié)果。計(jì)算計(jì)算n+1階行列式階行列式(爪形爪形)其中其中例例6.解：解：解：解：當(dāng)當(dāng) 全不為零時(shí)全不為零時(shí)1.化為三角形行列式計(jì)算化為三角形行列式計(jì)算注：注：例例6爪形行列式的結(jié)論，在計(jì)算行列式時(shí)可以直接爪形行列式的結(jié)論，在計(jì)算行列式時(shí)可以直接使用。使用。計(jì)算計(jì)算n+1階行列式階行列式例例7.解解:將第將第 都加到第一列，得：都加到第一列，得：行列式的每一行都是由同樣的行列式的每一行都是由同樣的x,a1,an構(gòu)構(gòu)成，即它成，即它們們的行和是相同的。的行和是相同的。提取行列式第一列的公因子，得提取行列式第一列的公因子，得練習(xí)：練習(xí)：計(jì)算行列式計(jì)算行列式提示：提示：分析分析行列式的每行元素行列式的每行元素2.化為低階行列式計(jì)算化為低階行列式計(jì)算計(jì)算行列式計(jì)算行列式例例8.提出提出r1公因子公因子按第按第1行展開行展開提出提出r1公因子公因子按第按第1行展開行展開計(jì)算計(jì)算n階階3對角行列式對角行列式例例9.解解:本題有本題有5種解法，包括兩種遞推方法、方程組種解法，包括兩種遞推方法、方程組方法、完全拆項(xiàng)法和歸納證明法方法、完全拆項(xiàng)法和歸納證明法解法一（解法一（遞推法遞推法1）：）：先將先將Dn按第按第1行展開行展開按第按第1列展開列展開由此構(gòu)造遞推式由此構(gòu)造遞推式求解遞推式求解遞推式 （1 1）（a）（an-2）相加后得到相加后得到解法二（解法二（遞推法遞推法2）：）：先將先將Dn第第1列拆成列拆成2列之和列之和（遞推式同解法一，以下過程略）（遞推式同解法一，以下過程略）解法三（方程組方法解法三（方程組方法）：）：假設(shè)假設(shè)a b在行列式在行列式Dn中，參數(shù)中，參數(shù)a、b地位是對稱的，由式地位是對稱的，由式解法四（完全拆項(xiàng)法解法四（完全拆項(xiàng)法）：）：將將Dn的每列都拆成的每列都拆成2列之和列之和從理論上說，從理論上說，Dn拆開后是拆開后是2n 個(gè)行列式之和。個(gè)行列式之和。但是由于每列但是由于每列后項(xiàng)后項(xiàng)與下一列與下一列前項(xiàng)前項(xiàng)成比例，所成比例，所以拆開后的非零行列式僅有以拆開后的非零行列式僅有n+1個(gè)。個(gè)。（請同學(xué)們回去自己確定）（請同學(xué)們回去自己確定）練習(xí)：練習(xí)：用遞推方法計(jì)算行列式用遞推方法計(jì)算行列式提示：提示：對對行列式的最后一列進(jìn)行拆項(xiàng)行列式的最后一列進(jìn)行拆項(xiàng)3.其它方法計(jì)算行列式其它方法計(jì)算行列式用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：例例10.證：證：對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法n=1時(shí)，時(shí)，結(jié)論成立結(jié)論成立n=2時(shí)，時(shí)，假設(shè)對階數(shù)小于假設(shè)對階數(shù)小于n的行列式，結(jié)論成立；的行列式，結(jié)論成立；則對于則對于n階行列式階行列式按最后一行展開行列式，則按最后一行展開行列式，則由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)命題得證。命題得證。計(jì)算行列式計(jì)算行列式例例11.（見書（見書25頁例頁例1.18）