【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 第二章第二章 矩陣矩陣2.1 矩矩陣的代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)運(yùn)算 一一.矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算二二.矩陣的乘法矩陣的乘法三三.矩陣的矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置四四.矩陣的共軛矩陣的共軛 矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)及其重要、應(yīng)用廣泛的工具，矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)及其重要、應(yīng)用廣泛的工具，也是代數(shù)主要的研究對(duì)象和運(yùn)算手段。也是代數(shù)主要的研究對(duì)象和運(yùn)算手段。給出矩陣的定義后，需要制定矩陣的運(yùn)算規(guī)則。給出矩陣的定義后，需要制定矩陣的運(yùn)算規(guī)則。1.加法定義加法定義一、矩陣的線性運(yùn)算一、矩陣的線性運(yùn)算 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)mn階階矩陣矩陣A=(aij)，B=(bij)，則稱，則稱矩陣矩陣 C=(aij+bij)是是A與與B的的和和，記作，記作C=A+B。說(shuō)明說(shuō)明(1)：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣同型矩陣時(shí)，才能時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。進(jìn)行加法運(yùn)算。例如例如:說(shuō)明說(shuō)明(2)：規(guī)定兩個(gè)特殊的矩陣：規(guī)定兩個(gè)特殊的矩陣：(i)元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣，階階零矩陣記作零矩陣記作 或或 。(ii)稱矩陣稱矩陣 為為 的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣，記，記為為 。2.加法運(yùn)算律（加法運(yùn)算律（4條）條）說(shuō)明說(shuō)明(3)：利用矩陣加法和負(fù)矩陣概念，規(guī)定矩利用矩陣加法和負(fù)矩陣概念，規(guī)定矩陣的陣的差差為：為：A B=A+(B)。3.數(shù)乘定義數(shù)乘定義 設(shè)設(shè)mn階階矩陣矩陣A=(aij)，k是數(shù)，則矩陣是數(shù)，則矩陣(kaij)稱為稱為k與與A的的數(shù)乘數(shù)乘，記為，記為kA。說(shuō)明說(shuō)明(4)：矩陣的加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為矩陣的矩陣的加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算。4.數(shù)乘運(yùn)算律（數(shù)乘運(yùn)算律（4條）條）（設(shè)（設(shè)A、B為同型矩陣，為同型矩陣，k、l為數(shù)）為數(shù)）注：注：運(yùn)算律運(yùn)算律(1)-(8)是線性運(yùn)算的基本性質(zhì)，是判是線性運(yùn)算的基本性質(zhì)，是判別線性運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)。別線性運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)。矩陣的線性運(yùn)算還滿足：矩陣的線性運(yùn)算還滿足：該乘積記為該乘積記為 C=AB。二、矩陣乘法二、矩陣乘法 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣，是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩陣與矩陣B的乘積是一個(gè)的乘積是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中1.定義定義例如：例如：例例1.設(shè)設(shè) 說(shuō)明說(shuō)明(1)：矩陣乘法是有條件的，只有當(dāng)矩陣乘法是有條件的，只有當(dāng)A的列數(shù)的列數(shù)=B的行數(shù)時(shí)，的行數(shù)時(shí)，AB才有意義。且此時(shí)才有意義。且此時(shí) AB的行數(shù)的行數(shù)=A的行數(shù)的行數(shù) AB的列數(shù)的列數(shù)=B的列數(shù)的列數(shù) 說(shuō)明說(shuō)明(2)：AB的的第第i行行j列元素列元素，是，是A的第的第i行行與與B的的第第j列列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。故故 解：解：例例2.AB是是 23階矩陣，但是階矩陣，但是BA不存在。不存在。說(shuō)明說(shuō)明(3)：矩陣乘法的定義，導(dǎo)致矩陣乘法不能矩陣乘法的定義，導(dǎo)致矩陣乘法不能滿足熟知的性質(zhì)。如滿足熟知的性質(zhì)。如矩陣乘法一般不滿足交換律矩陣乘法一般不滿足交換律：(1)(2)AB是是11階矩陣，階矩陣，BA是是33階矩陣，不相等。階矩陣，不相等。(3)AB與與BA均是均是22階矩陣，但不相等。階矩陣，但不相等。*如果滿足如果滿足AB=BA，則稱，則稱A與與B是是可交換的?？山粨Q的。說(shuō)明說(shuō)明(4)：例例2(3)的結(jié)果表明：的結(jié)果表明：AB=0 A=0 或或 B=0或者說(shuō)：或者說(shuō)：矩陣乘法一般不滿足消去律矩陣乘法一般不滿足消去律：AB=AC B=C *在一定條件下在一定條件下(如如A可逆可逆)，矩陣乘法滿足，矩陣乘法滿足消去律消去律。2.一些特殊矩陣一些特殊矩陣 (1)對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,dn)=d1 0 0 0 d2 0 0 0 dn 請(qǐng)觀察，對(duì)角矩陣請(qǐng)觀察，對(duì)角矩陣D與與n階矩陣階矩陣A相乘時(shí)，相乘時(shí)，DA與與AD的結(jié)果，它們各對(duì)矩陣的結(jié)果，它們各對(duì)矩陣A作了什么變換？作了什么變換？(3)單位矩陣單位矩陣 (2)數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣和單位矩陣，與任何數(shù)量矩陣和單位矩陣，與任何n階矩陣都是可交階矩陣都是可交換的；數(shù)量矩陣與矩陣換的；數(shù)量矩陣與矩陣A相乘，相當(dāng)于用常數(shù)乘以相乘，相當(dāng)于用常數(shù)乘以矩陣矩陣A，因此得名；單位矩陣與矩陣，因此得名；單位矩陣與矩陣A相乘，矩陣相乘，矩陣A不變。不變。(4)三角形矩陣三角形矩陣 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann 上三角矩陣上三角矩陣：方陣的主對(duì)角線以下的元素全為：方陣的主對(duì)角線以下的元素全為0 下三角矩陣下三角矩陣：方陣的主對(duì)角線以上的元素全為：方陣的主對(duì)角線以上的元素全為0 練習(xí)練習(xí).證明：上三角陣的乘積仍然是上三角陣。證明：上三角陣的乘積仍然是上三角陣。3.矩陣乘法運(yùn)算律矩陣乘法運(yùn)算律 4.方陣的正整數(shù)冪方陣的正整數(shù)冪A2=AA,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl設(shè)矩陣設(shè)矩陣A 是是n 階方陣，規(guī)定階方陣，規(guī)定 方陣冪滿足性質(zhì)：方陣冪滿足性質(zhì)：5.方陣的多項(xiàng)式方陣的多項(xiàng)式 設(shè)設(shè)A為一個(gè)方陣，為一個(gè)方陣，f(x)為一個(gè)多項(xiàng)式為一個(gè)多項(xiàng)式 稱之為稱之為方陣方陣A的一個(gè)多項(xiàng)式。的一個(gè)多項(xiàng)式。f(x)=asxs+as 1xs 1+a1x+a0 f(A)=asAs+as 1As 1+a1A+a0E 例例3：例例4.設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是對(duì)稱矩陣，計(jì)算乘積：是對(duì)稱矩陣，計(jì)算乘積：=(）例例5.由此歸納出：由此歸納出：下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。當(dāng)當(dāng) k=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)假設(shè) 時(shí)成立，則時(shí)成立，則 時(shí)，時(shí)，所以對(duì)于任意的所以對(duì)于任意的k都有都有 例例6.關(guān)于關(guān)于Ak的計(jì)算的計(jì)算 解解:思考題思考題 成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么?答：答：故故 成立的充要條件為成立的充要條件為 將矩陣將矩陣A的行，換成同序數(shù)的列，所得到的新矩的行，換成同序數(shù)的列，所得到的新矩陣，稱為陣，稱為A的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作AT。例如例如 1.轉(zhuǎn)置定義轉(zhuǎn)置定義 三、矩陣的轉(zhuǎn)置三、矩陣的轉(zhuǎn)置 說(shuō)明說(shuō)明(1)：轉(zhuǎn)置后矩陣的行，就是轉(zhuǎn)置前的列；轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置后矩陣的行，就是轉(zhuǎn)置前的列；轉(zhuǎn)置后的列，就是轉(zhuǎn)置前的行。置后的列，就是轉(zhuǎn)置前的行。2.轉(zhuǎn)置的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置的運(yùn)算性質(zhì) 例例7.計(jì)算計(jì)算(AB)T 解法解法1:解法解法2：3.對(duì)稱與反對(duì)稱矩陣對(duì)稱與反對(duì)稱矩陣 如果如果矩陣矩陣A滿足滿足AT=A，則稱矩陣，則稱矩陣A為為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣；如果如果AT=-A，則稱矩陣，則稱矩陣A為為反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣。說(shuō)明說(shuō)明(1)：對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣的定義，也可以對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣的定義，也可以寫成：寫成：A=(aij)是是對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 A=(aij)是反是反對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 說(shuō)明說(shuō)明(2)：對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等；反對(duì)稱陣的對(duì)角線元素為零。相等；反對(duì)稱陣的對(duì)角線元素為零。例如例如是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣 例例8.設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 ，E為為n階單位矩陣，階單位矩陣，。證明：證明：H是對(duì)稱矩陣，且是對(duì)稱矩陣，且 證：證：例例9.證明：任一證明：任一n階矩陣階矩陣A，都可以表示成對(duì)稱矩，都可以表示成對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的和。陣與反對(duì)稱矩陣的和。證證:命題得證命題得證C為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣B為反對(duì)稱矩陣為反對(duì)稱矩陣 矩陣矩陣A=(aij)為復(fù)矩陣，對(duì)為復(fù)矩陣，對(duì)A的每個(gè)元素取共軛后的每個(gè)元素取共軛后得到的矩陣，稱為得到的矩陣，稱為A的的共軛矩陣共軛矩陣，記為，記為例如例如 1.定義定義 四、矩陣的共軛四、矩陣的共軛 記復(fù)數(shù)記復(fù)數(shù)z 的共軛為的共軛為 2.共軛矩陣性質(zhì)共軛矩陣性質(zhì)