【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 第三章第三章 幾何空間幾何空間 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何學(xué)。解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何學(xué)。本章運用向量和坐標(biāo)方法，研究空間的幾何問題。本章運用向量和坐標(biāo)方法，研究空間的幾何問題。數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 三維空間三維空間:空間形式空間形式 點點,線線,面面研究方法：研究方法：坐標(biāo)法坐標(biāo)法;向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo),方程（組）方程（組）本章先介紹向量代數(shù)和空間直角坐標(biāo)系，然后以本章先介紹向量代數(shù)和空間直角坐標(biāo)系，然后以此為工具討論空間的直線和平面。此為工具討論空間的直線和平面。l幾何與代數(shù)間最早的橋梁是由幾何與代數(shù)間最早的橋梁是由17世紀(jì)世紀(jì)笛卡爾和笛卡爾和費馬費馬建立的建立的平面解析幾何平面解析幾何.l解析幾何利用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì)解析幾何利用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì).l解析幾何為微積分的出現(xiàn)創(chuàng)造了條件解析幾何為微積分的出現(xiàn)創(chuàng)造了條件.l幾何向量幾何向量是研究空間解析幾何的工具；也是研是研究空間解析幾何的工具；也是研究數(shù)學(xué)中其它一些分支、力學(xué)及三維計算機圖形究數(shù)學(xué)中其它一些分支、力學(xué)及三維計算機圖形學(xué)、三維游戲設(shè)計等學(xué)科的工具學(xué)、三維游戲設(shè)計等學(xué)科的工具.l1715年，瑞士貝努利將平面解析幾何推廣到年，瑞士貝努利將平面解析幾何推廣到空空間解析幾何間解析幾何.3.1 平面向量及其運算平面向量及其運算 一一.空間向量的線性運算空間向量的線性運算二二.向量的共線與共面向量的共線與共面3.2 空間坐標(biāo)系空間坐標(biāo)系3.3 空間向量的向量積與混合積空間向量的向量積與混合積3.4 平面和直線平面和直線三三.空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積 1.向量的概念向量的概念3.1 平面向量及其運算平面向量及其運算 一一.空間向量的線性運算空間向量的線性運算向量：既有大小又有方向的量。向量：既有大小又有方向的量。以以A為起點，為起點，B為終點的有向線段。為終點的有向線段。向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小 單位向量：單位向量：模為模為1的向量；的向量；零向量：零向量：模為模為 0 的向量。的向量。也稱長度或范數(shù)也稱長度或范數(shù)AB|AB|a向量的表示：向量的表示：，a，AB相等向量：相等向量：長度相等且方向相同的向量；長度相等且方向相同的向量；負(fù)向量：負(fù)向量：長度相等且方向相反的向量；長度相等且方向相反的向量；平行平行(共線共線)向量：向量：方向相同或相反的向量。方向相同或相反的向量。自由向量：自由向量：只考慮向量的大小和方向，不計較起只考慮向量的大小和方向，不計較起點位置。點位置。2.向量的加法向量的加法平行四邊形法則平行四邊形法則 三角形法則三角形法則 首尾相連首尾相連,a起起點指向點指向b終點終點baa+baba+b 說明說明(1).多個向量相加，可以采用多邊形法則，多個向量相加，可以采用多邊形法則，將將它們相繼首尾連接，從第一個向量的起點到最后它們相繼首尾連接，從第一個向量的起點到最后一個向量的終點的向量，即為和向量。一個向量的終點的向量，即為和向量。說明說明(2).規(guī)定向量的減法規(guī)定向量的減法 a-b=a+(-b)b兩起點置一處兩起點置一處,b終點指向終點指向a終點終點aa-babcde例如：例如：e=a+b+c+d 加法運算性質(zhì)加法運算性質(zhì):(1)(交換律交換律)+=+;(2)(結(jié)合律結(jié)合律)(+)+=+(+);(3)(零元零元)+0=;(4)(負(fù)元負(fù)元)+(-)=0;3.向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘 數(shù)數(shù) k 與向量與向量 的乘積稱為的乘積稱為向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘，記為，記為k。大?。捍笮。簁 =k 方向：方向：k 0 時，時，k 0 k 與與 同向；同向；k 0 k 與與 反向；反向；k =0 時，方向時，方向任意任意 說明說明(3).k =0 k=0 或或 =0 說明說明(4).(-1)=-說明說明(5).如果記與如果記與 同向的單位向量為同向的單位向量為 0，則，則 =0，或者，或者 0=/。數(shù)乘運算性質(zhì)數(shù)乘運算性質(zhì):(5)(單位數(shù)單位數(shù))1 =;(6)(數(shù)的結(jié)合律數(shù)的結(jié)合律)k(l)=(kl);(7)(向量的分配律向量的分配律)k(+)=k +k ;(8)(數(shù)的分配律數(shù)的分配律)(k+l)=k +l .向量的加法與數(shù)乘，統(tǒng)稱為向量的加法與數(shù)乘，統(tǒng)稱為向量的線性運算向量的線性運算。說明說明(6).向量向量的線性運算，可以看作的線性運算，可以看作特殊矩陣的特殊矩陣的線性運算線性運算。4.線性組合：線性組合：表達(dá)式表達(dá)式 稱為向量稱為向量 的的線性組合線性組合，稱為稱為組合系數(shù)組合系數(shù)。例例1.證明三角形的中位線定理：兩邊中點連線證明三角形的中位線定理：兩邊中點連線的長度等于底邊的一半。的長度等于底邊的一半。若向量若向量 滿足：滿足：則稱向量則稱向量 可以由向量組可以由向量組 線性表示線性表示。例例2.設(shè)設(shè)P、Q分別是分別是 ABC的的BC、AC邊的中點，邊的中點，AP與與BQ交于點交于點M。證明證明:ABCM AM=AP2 23 3PQABCST來證點來證點S與點與點T重合重合,即即PQ證明：證明：可知可知 二二.向量的共線與共面向量的共線與共面 1.定義：定義：將一組向量，用同一個起點的有向線段將一組向量，用同一個起點的有向線段表示，若它們在一條直線（或一個平面）上時，稱表示，若它們在一條直線（或一個平面）上時，稱這組向量是這組向量是共線的共線的（或（或共面的共面的）。）。說明說明(1).兩個向量共線時，它們兩個向量共線時，它們的方向一定是相的方向一定是相同或相反的，這時也可以稱它們是同或相反的，這時也可以稱它們是平行的平行的。說明說明(2).零向量與任何向量均共線（或共面）。零向量與任何向量均共線（或共面）。2.線性相關(guān)性線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)：如果存在一組不全為零的數(shù)使得使得 ，則稱向量組，則稱向量組線性相關(guān)線性相關(guān)；否則稱為；否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān)。定理定理3.1 設(shè)設(shè) 是非零是非零向量，向量，向量向量 與與 共線共線 可可以由以由 唯一線性表示。唯一線性表示。3.(兩向量兩向量)共線與共線與(三向量三向量)共面的判別共面的判別 推論推論3.1 向量向量 與與 共線共線 ，線性相關(guān)。線性相關(guān)。定理定理3.2 設(shè)向量設(shè)向量、不共線，則向量不共線，則向量 與與、共面共面 可以由可以由 、唯一線性表示。唯一線性表示。推論推論3.2 向量向量，共面共面 ，線性相關(guān)。線性相關(guān)。例例3.見教材見教材P94例例3.3三三.空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積 1.數(shù)量積概念數(shù)量積概念 向量向量 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積是個實數(shù)，它等于它們的模是個實數(shù)，它等于它們的模與夾角余弦的乘積，數(shù)量積也可稱為與夾角余弦的乘積，數(shù)量積也可稱為內(nèi)積內(nèi)積或或點積點積，記為記為。注注:=0 =或或 =或或 (1)正定性正定性:2=|2 0，且，且 2=0 =(2)對稱性對稱性:=(3)(k)=k()=(k)(4)分配律：分配律：(+)=+(5)Schwartz不等式：不等式：|注注:數(shù)量積一般不滿足消去律，即數(shù)量積一般不滿足消去律，即 0 時，時，=應(yīng)為：應(yīng)為：(-)=0 (-)2.數(shù)量積性質(zhì)數(shù)量積性質(zhì) 3.投影的概念投影的概念A(yù)BuA B u AB 投影與數(shù)量積的關(guān)系：投影與數(shù)量積的關(guān)系：投影是一個數(shù)投影是一個數(shù) 向量向量AB 在軸在軸 u上的上的投影投影為為(AB)u =|AB|cos 其中其中 為為向量向量AB與軸與軸u的夾角的夾角.4.投影性質(zhì)投影性質(zhì)(1)若若 與與 的夾角為的夾角為 ，則，則 =|cos ；(2)=|；(3)與與 垂直垂直 =0 =0；(4)與與 共線共線|=|=|。例例4.用數(shù)量積證明：用數(shù)量積證明：|+|2+|-|2=2|2+2|2 例例5.已知已知|=3,|=6,(,)=/3,(3 )(+2),求求.解：解：(3 )(+2 )=0 3 2+(6 )2 2=0 39+(6 )|cos(/3)236=0 81 81=0 =1 例例6.（見教材（見教材P96 例例3.4）3.2 空間坐標(biāo)系空間坐標(biāo)系 一一.空間坐標(biāo)系空間坐標(biāo)系 (1)直線上任一向量都可以由直線上一非零向量直線上任一向量都可以由直線上一非零向量唯唯一一的線性表示（定理的線性表示（定理3.1）；）；(2)平面上任一向量都可以由平面上兩個不共線向平面上任一向量都可以由平面上兩個不共線向量唯一線性表示（定理量唯一線性表示（定理3.2）；(3)空間上任一向量？空間上任一向量？也可以由空間上三個不共面也可以由空間上三個不共面向量唯一線性表示向量唯一線性表示。1.仿射坐標(biāo)系定義仿射坐標(biāo)系定義 在空間任取一點在空間任取一點O，以，以O(shè)為起點任意作為起點任意作3條不共面條不共面向量向量 1,2,3，這就構(gòu)成一個，這就構(gòu)成一個仿射坐標(biāo)系仿射坐標(biāo)系，記為，記為O;1,2,3。其中點。其中點O稱為稱為坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點，1,2,3稱為稱為坐坐標(biāo)向量標(biāo)向量或或基基。o 1 2 3右右(左左)手仿射坐標(biāo)系手仿射坐標(biāo)系坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 2.定理定理3.3 對于仿射坐標(biāo)系對于仿射坐標(biāo)系O;1,2,3 中的任意中的任意向量向量，都可以由坐標(biāo)向量，都可以由坐標(biāo)向量 1,2,3唯一線性表示。唯一線性表示。說明說明(1).唯一線性表示的系數(shù)，就是向量在該坐標(biāo)唯一線性表示的系數(shù)，就是向量在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。系中的坐標(biāo)。3.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系zyxox軸軸(橫軸橫軸)，y軸軸(縱軸縱軸)，z軸軸(豎軸豎軸)坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量i,j,k 為為兩兩垂直兩兩垂直的的單單位向量位向量，符合，符合右手規(guī)則右手規(guī)則，O;i,j,k稱為稱為右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系。空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限八個卦限yoz面面zox面面xoy面面則稱則稱(x,y,z)為點為點P在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系O;i,j,k下的下的坐標(biāo)坐標(biāo)，向量也可以表示為向量也可以表示為 二二.用坐標(biāo)表示向量的線性運算用坐標(biāo)表示向量的線性運算設(shè)設(shè) =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),則則k1+k2=(k1a1+k2b1,k1a2+k2b2,k1a3+k3b3).例例1.設(shè)兩個定點為設(shè)兩個定點為P1(x1,y1,z1)與與P2(x2,y2,z2)，求，求向量向量P1P2的坐標(biāo)的坐標(biāo)。P1P2=OP2 OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)坐標(biāo)后項減前項坐標(biāo)后項減前項xyzP1P2O 例例3.設(shè)兩個定點設(shè)兩個定點 P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)若點若點P(x,y,z)把有向線段把有向線段P1P2 分成定比分成定比，即，即 P1P=PP2 (1)求分點求分點P 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。xyzP1PO P2 OP OP1=(OP2 OP)OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z21+.三三.向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系O;i,j,k中，單位坐標(biāo)向量中，單位坐標(biāo)向量i,j,k的的數(shù)量積為數(shù)量積為 對于向量對于向量=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，有，有 說明說明(1).向量的數(shù)量積，也向量的數(shù)量積，也可以用坐標(biāo)運算的形式可以用坐標(biāo)運算的形式表示，即表示，即 說明說明(2).向量的模，同樣可以用向量的模，同樣可以用坐標(biāo)運算的形式進(jìn)坐標(biāo)運算的形式進(jìn)行計算，即行計算，即 向量向量 與與 垂直的條件可寫成垂直的條件可寫成 點點P1(x1,y1,z1)與與P2(x2,y2,z2)之間的距離為之間的距離為 說明說明(3).設(shè)非零向量設(shè)非零向量 與與 的夾角為的夾角為，則，則 向量向量 在在 方向上的投影為方向上的投影為x xO OP PB BC Cy yz z 非零向量與三個坐標(biāo)軸所成的夾角稱為非零向量與三個坐標(biāo)軸所成的夾角稱為向量的方向量的方向角向角；方向角的余弦稱為該向量的；方向角的余弦稱為該向量的方向余弦方向余弦；與方；與方向余弦成比例的三個數(shù)稱為向余弦成比例的三個數(shù)稱為方向數(shù)方向數(shù)。x xO OP PA AB BC Cz zy yx xO OP PA Ay yz z方向余弦方向余弦:cos,cos,cos OP的方向角的方向角:=AOP,=BOP,=COP 向量向量=(a1,a2,a3)的方向余弦為的方向余弦為