【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 第二章第二章 矩矩 陣陣2.3 分塊矩陣分塊矩陣一一.分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則二二.分塊矩陣的一些例子分塊矩陣的一些例子 矩陣分塊，是矩陣運(yùn)算的一個(gè)重要方法，可將大矩陣分塊，是矩陣運(yùn)算的一個(gè)重要方法，可將大規(guī)模矩陣的運(yùn)算化為若干小矩陣進(jìn)行計(jì)算。規(guī)模矩陣的運(yùn)算化為若干小矩陣進(jìn)行計(jì)算。在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱在矩陣某些行之間插入橫線，某些列之間插入縱線，將矩陣分割成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為線，將矩陣分割成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為矩陣的矩陣的子塊子塊；以子塊為元素的矩陣，稱為；以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣分塊矩陣。1、矩陣分塊的方法、矩陣分塊的方法 例如例如 即即 說(shuō)明說(shuō)明(1).矩陣分塊時(shí)，同一個(gè)矩陣可以有不同的矩陣分塊時(shí)，同一個(gè)矩陣可以有不同的分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行選擇。分塊方法，應(yīng)根據(jù)需要進(jìn)行選擇。2、矩陣分塊一般形式、矩陣分塊一般形式 矩陣矩陣A=(aij)mn，在行方向分，在行方向分s塊，列方向分塊，列方向分t塊，塊，稱稱A為為st分塊矩陣分塊矩陣，第，第k行行l(wèi)列子塊列子塊Akl是是mknl階矩陣。階矩陣。各子塊行數(shù)各子塊行數(shù) 各子塊列數(shù)各子塊列數(shù) 說(shuō)明說(shuō)明(2).矩陣分塊三原則：體現(xiàn)矩陣分塊三原則：體現(xiàn)原矩陣特點(diǎn)原矩陣特點(diǎn)，依，依據(jù)據(jù)問(wèn)題需要問(wèn)題需要，子塊可以作，子塊可以作元素運(yùn)算元素運(yùn)算。一、一、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則 設(shè)設(shè)A、B是是mn階矩陣，采用相同的分塊法分塊將階矩陣，采用相同的分塊法分塊將A、B分塊如下：分塊如下：1、分塊加法、分塊加法 注注.分塊矩陣運(yùn)算中，每個(gè)子塊具有二重性：一分塊矩陣運(yùn)算中，每個(gè)子塊具有二重性：一是是分塊分塊矩陣的元素矩陣的元素；二是本身是；二是本身是矩陣矩陣。2、分塊數(shù)乘、分塊數(shù)乘 設(shè)設(shè)A是是mn階矩陣，任意分塊，階矩陣，任意分塊，k是常數(shù)，則定義是常數(shù)，則定義3、分塊乘法、分塊乘法設(shè)設(shè)A是是ml階矩陣，階矩陣，B是是ln階矩陣，階矩陣，即即A的的列列數(shù)數(shù)=B 的的行行數(shù)數(shù)即即A的的列分塊列分塊法法=B 的的行行分塊分塊法法分塊分塊A=(Auv)sr B=(Bvw)rt則則A與與B的乘積的乘積C=(Cuw)是是st階分塊矩陣，滿足階分塊矩陣，滿足 注注.分塊矩陣乘積分塊矩陣乘積AB中，每個(gè)子塊：中，每個(gè)子塊：（1）作為分塊陣元素參與運(yùn)算）作為分塊陣元素參與運(yùn)算 （2）作為矩陣也要滿足乘法條件）作為矩陣也要滿足乘法條件 例例1.用分塊矩陣法求用分塊矩陣法求AB 解：解：則則又又于是于是 說(shuō)明說(shuō)明(3).矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計(jì)算過(guò)程矩陣分塊的目的，是讓矩陣的計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更少。更簡(jiǎn)單，計(jì)算量更少。4、分塊轉(zhuǎn)置、分塊轉(zhuǎn)置 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(Aij)是是sr 階分塊矩陣階分塊矩陣 例例1的的計(jì)算量比較：計(jì)算量比較：直接進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù)直接進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù)用分塊矩陣進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù)用分塊矩陣進(jìn)行矩陣乘積需要的四則運(yùn)算次數(shù) 合計(jì)合計(jì)32次次 說(shuō)明：說(shuō)明：分塊轉(zhuǎn)置中，每個(gè)子塊一方面作為分塊轉(zhuǎn)置中，每個(gè)子塊一方面作為分塊分塊陣陣元素元素要轉(zhuǎn)置；另一方面作為要轉(zhuǎn)置；另一方面作為矩陣矩陣本身也要轉(zhuǎn)置。本身也要轉(zhuǎn)置。分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置分外層、內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置 特別地，對(duì)于列分塊矩陣：特別地，對(duì)于列分塊矩陣：二、一些特殊的二、一些特殊的分塊矩陣分塊矩陣1.2階階分塊上（下）三角形矩陣求逆分塊上（下）三角形矩陣求逆 例例2.求下列求下列2階分塊逆矩陣階分塊逆矩陣其中其中A11，A22可逆矩陣可逆矩陣其中其中B12，B21可逆矩陣可逆矩陣 解解(1)：設(shè)設(shè)A的分塊逆矩陣為的分塊逆矩陣為 得到得到4個(gè)矩陣方程組個(gè)矩陣方程組 求解該方程組，得求解該方程組，得 (2)（解略，請(qǐng)仿（解略，請(qǐng)仿(1)方法自行求解）方法自行求解）設(shè)設(shè)A1,A2,As均為方陣（不一定同階），則稱下均為方陣（不一定同階），則稱下面的面的A為為分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣2.分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣 如果矩陣如果矩陣A1,A2,As均可逆，則均可逆，則分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣A可逆，且其逆矩陣為可逆，且其逆矩陣為 說(shuō)明：說(shuō)明：分塊對(duì)角陣的逆矩陣，與對(duì)角矩陣的逆矩分塊對(duì)角陣的逆矩陣，與對(duì)角矩陣的逆矩陣形式類似。陣形式類似。3.矩陣乘積矩陣乘積AB，A不分塊，不分塊，B按列分塊按列分塊 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A、B分別是分別是sn 和和nt 階矩陣，階矩陣，A不分塊，不分塊，B按列分塊，即按列分塊，即 則則 例例3.求解下列矩陣方程求解下列矩陣方程 說(shuō)明：說(shuō)明：矩陣方程矩陣方程AX=B 可看成可看成 t 個(gè)線性方程組個(gè)線性方程組 Ax1=b1,Ax2=b2,Axt=bt 其中其中B=(b1,b2,bt)，X=(x1,x2,xt)解：解：對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣(A,B)進(jìn)行初等行變換進(jìn)行初等行變換r2+r1r3-2r1 -r2r1-2r2r3+r2 于是方程組于是方程組Ax1=b1有解有解 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)=0 時(shí)，時(shí)，Ax2=b2有解有解 所以矩陣方程所以矩陣方程AX=B 在參數(shù)在參數(shù)=0 時(shí)，有解：時(shí)，有解：說(shuō)明：說(shuō)明：利用增廣矩陣的初等行變換，可以對(duì)矩陣?yán)迷鰪V矩陣的初等行變換，可以對(duì)矩陣方程方程AX=B 的的 t 個(gè)線性方程組同時(shí)進(jìn)行求解。個(gè)線性方程組同時(shí)進(jìn)行求解。4.矩陣乘積矩陣乘積AB，A按列分塊，按列分塊，B每個(gè)元素為塊每個(gè)元素為塊 （1）設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是是sn 矩陣，矩陣，X 是是n1矩陣：矩陣：將將A按列分塊，即按列分塊，即 則則 我們將表達(dá)式我們將表達(dá)式 稱為向量稱為向量 的的線性組合線性組合，稱為稱為組合系數(shù)組合系數(shù)。說(shuō)明說(shuō)明(1).對(duì)于線性方程組對(duì)于線性方程組Ax=b，利用這樣的分塊，利用這樣的分塊方式，可以得到方式，可以得到線性方程組的向量形式線性方程組的向量形式 說(shuō)明說(shuō)明(2).如果記如果記 ei 是第是第i個(gè)分量為個(gè)分量為1，其余分量為，其余分量為0的列向量，則的列向量，則同樣記同樣記i 是第是第i個(gè)分量為個(gè)分量為1，其余分量為，其余分量為0的行向量，的行向量，則則i A表示表示A的第的第i個(gè)行向量。個(gè)行向量。（2）設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是是sn 矩陣，矩陣，B 是是nt 矩陣，將矩陣，將A按按列分塊，則列分塊，則即即AB的每個(gè)列向量，都是的每個(gè)列向量，都是A的列向量的線性組合的列向量的線性組合。例例4.設(shè)設(shè)A是是2階矩陣，階矩陣，x是是2維非零列向量。若維非零列向量。若求矩陣求矩陣C，使得，使得AB=BC。（見教材（見教材P69例例2.15）2.4 矩陣的秩矩陣的秩一一.秩的概念秩的概念二二.初等變換和矩陣的秩初等變換和矩陣的秩 初等行變換，可以將矩陣初等行變換，可以將矩陣A化為階梯形矩陣。這個(gè)化為階梯形矩陣。這個(gè)階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入階梯陣的階梯數(shù)，是由矩陣秩唯一確定的，故引入矩陣的秩概念。矩陣的秩概念。三三.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形一一.秩的概念秩的概念 在在Am n中，中，任取任取k行、行、k列列(km,kn)，位于這些，位于這些行列交叉處的行列交叉處的k2個(gè)元素，按原有的位置個(gè)元素，按原有的位置次序所構(gòu)成次序所構(gòu)成的的k階行列式，稱為階行列式，稱為A的的k階子式階子式。1.k階子式階子式 說(shuō)明說(shuō)明(1).A共有共有 個(gè)個(gè)k 階子式。階子式。例如例如2階非零子式階非零子式 3階零子式階零子式 2.秩的定義秩的定義 矩陣矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣稱為矩陣A的秩的秩，記為記為r(A)=r或或rank(A)=r。說(shuō)明說(shuō)明(1).0 r(Amn)min m,n 說(shuō)明說(shuō)明(2).規(guī)定零矩陣的秩為規(guī)定零矩陣的秩為0，即，即 r(O)=0 說(shuō)明說(shuō)明(3).對(duì)于對(duì)于n階矩陣階矩陣A，有，有 A為滿秩矩陣為滿秩矩陣 更一般地，更一般地，如果如果mn 階矩陣階矩陣A滿足滿足 r(A)=m，A為為行滿秩矩陣行滿秩矩陣 r(A)=n，A為為列滿秩矩陣列滿秩矩陣 例例1.解：解：在在A中，中，例例2.3.矩陣秩的性質(zhì)矩陣秩的性質(zhì) （利用行列式的性質(zhì)證明上述性質(zhì)）（利用行列式的性質(zhì)證明上述性質(zhì)）命題命題2.1：r(A)=r A至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)r 階非零子式，階非零子式，同時(shí)同時(shí)A所有所有r+1 階子式為零。階子式為零。說(shuō)明說(shuō)明(4).A存在一個(gè)存在一個(gè)r 階非零子式階非零子式 r(A)r A所有所有r+1 階子式為零階子式為零 r(A)r 例例3 解解 更一般地，對(duì)于階梯形矩陣更一般地，對(duì)于階梯形矩陣 命題命題2.2：階梯形矩陣的秩等于它的階梯數(shù)。階梯形矩陣的秩等于它的階梯數(shù)。說(shuō)明說(shuō)明(5).用定義直接計(jì)算矩陣的秩，需要計(jì)算的用定義直接計(jì)算矩陣的秩，需要計(jì)算的子式數(shù)量很大；階梯形矩陣的秩可以直接由階梯數(shù)子式數(shù)量很大；階梯形矩陣的秩可以直接由階梯數(shù)確定，能否利用這一點(diǎn)？確定，能否利用這一點(diǎn)？二二.初等變換和矩陣的秩初等變換和矩陣的秩 任何一個(gè)矩陣任何一個(gè)矩陣A，都可以經(jīng)有限次初等行變換，都可以經(jīng)有限次初等行變換，化為階梯形矩陣。那么初等行變換，是否會(huì)影響矩化為階梯形矩陣。那么初等行變換，是否會(huì)影響矩陣的秩？陣的秩？引理引理2.2：若矩陣若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變成經(jīng)過(guò)初等行變換變成B，則，則 r(A)r(B)證明證明:只需要證明一次初等行變換的情況：只需要證明一次初等行變換的情況：假設(shè)假設(shè)r(A)=r，且，且A的一個(gè)的一個(gè)r 階子式階子式 D 0。引理引理2.3：若矩陣若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變成經(jīng)過(guò)初等行變換變成B，則，則B經(jīng)經(jīng)過(guò)初等行變換也可變成過(guò)初等行變換也可變成A。（證略，利用初等行變換的可逆性）（證略，利用初等行變換的可逆性）由由上述引理，不難得到結(jié)論：上述引理，不難得到結(jié)論：命題命題2.3：初等行變換不改變矩陣的秩。初等行變換不改變矩陣的秩。說(shuō)明說(shuō)明(1).矩陣秩的計(jì)算：矩陣秩的計(jì)算：先經(jīng)初等行變換將矩陣先經(jīng)初等行變換將矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣，再由階梯數(shù)確定矩陣秩。變?yōu)殡A梯形矩陣，再由階梯數(shù)確定矩陣秩。例例4.計(jì)算下面矩陣的秩，并求出一個(gè)最高階非零計(jì)算下面矩陣的秩，并求出一個(gè)最高階非零子式。子式。解：解：對(duì)對(duì)A作初等行變換，將其變?yōu)殡A梯形矩陣：作初等行變換，將其變?yōu)殡A梯形矩陣：矩陣矩陣A已經(jīng)變成階梯形矩陣已經(jīng)變成階梯形矩陣B，其階梯數(shù)為，其階梯數(shù)為3，故，故 下面求下面求A的一個(gè)最高階非零子式：的一個(gè)最高階非零子式：由由r(A)=3可知，可知，A的最高階非零子式為的最高階非零子式為3階。階。而而A的的3階子式有階子式有 如何找到如何找到A的一個(gè)的一個(gè)3階非零子式？考慮階非零子式？考慮A的階梯形的階梯形矩陣矩陣B，因?yàn)橐驗(yàn)閞(B)=3，所以階梯形矩陣，所以階梯形矩陣B的前三行，和第的前三行，和第1、2、4列構(gòu)成一個(gè)非零子式列構(gòu)成一個(gè)非零子式 于是，在矩陣于是，在矩陣A的第的第1、2、4列中，一定可以找到列中，一定可以找到一個(gè)一個(gè)3階非零子式，例如取第階非零子式，例如取第1、2、3行行 即為矩陣即為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式。的一個(gè)最高階非零子式。說(shuō)明說(shuō)明(2).為什么為什么A中選擇與中選擇與B相同的相同的列，就一定存列，就一定存在最高階非零子式？在第在最高階非零子式？在第4章中可以找到答案。章中可以找到答案。三三.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 在第一章為了表示線性方程組的消元法，引入了在第一章為了表示線性方程組的消元法，引入了矩陣初等行變換的概念。這里將進(jìn)一步擴(kuò)展為矩陣矩陣初等行變換的概念。這里將進(jìn)一步擴(kuò)展為矩陣的初等變換。的初等變換。1.矩陣的初等變換矩陣的初等變換 設(shè)矩陣設(shè)矩陣Amn n，記，記 r 表示行，表示行，c 表示列，則表示列，則 rirj，kri，ri+krj，稱為，稱為矩陣的矩陣的初等行變換初等行變換；cicj，kci，ci+kcj，稱為，稱為矩陣的矩陣的初等列變換。初等列變換。說(shuō)明說(shuō)明(1).初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣矩陣的初等變換的初等變換2.矩陣的等價(jià)關(guān)系矩陣的等價(jià)關(guān)系 A B有限次初等變換有限次初等變換 則稱則稱矩陣矩陣A等價(jià)于矩陣等價(jià)于矩陣B，記為，記為AB。矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列3性質(zhì)：性質(zhì)：1（反身性）（反身性）AA 2（對(duì)稱性）（對(duì)稱性）AB，則，則BA 3（傳遞性）（傳遞性）AB，且，且BC，則，則A C 說(shuō)明說(shuō)明(2).任何滿足上面任何滿足上面3條性質(zhì)的關(guān)系，都可以稱條性質(zhì)的關(guān)系，都可以稱為是一種等價(jià)關(guān)系。為是一種等價(jià)關(guān)系。例例5.求與例求與例4中的矩陣中的矩陣A等價(jià)的矩陣。等價(jià)的矩陣。解：解：例例4中對(duì)中對(duì)A作初等行變換，變?yōu)殡A梯形矩陣：作初等行變換，變?yōu)殡A梯形矩陣：初等行變換初等行變換 階梯形矩陣階梯形矩陣初等行變換初等行變換 簡(jiǎn)化階梯形簡(jiǎn)化階梯形初等列變換初等列變換 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 一般地，設(shè)矩陣一般地，設(shè)矩陣Amn n的秩為的秩為 r(A)=r，則經(jīng)過(guò)一，則經(jīng)過(guò)一系列系列初等變換，可以得到與矩陣初等變換，可以得到與矩陣A等價(jià)的、最簡(jiǎn)單等價(jià)的、最簡(jiǎn)單的矩陣：的矩陣：稱為矩陣稱為矩陣A的的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。說(shuō)明說(shuō)明(3).一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，可以由它的秩一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，可以由它的秩唯一確定。唯一確定。3.定理定理2.3 A、B是同型矩陣，則是同型矩陣，則AB r(A)=r(B)證：證：“”顯然。顯然。“”設(shè)設(shè)r(A)=r(B)=r，則，則A、B的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形相同，的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形相同，都是都是 根據(jù)矩陣等價(jià)的性質(zhì)，得根據(jù)矩陣等價(jià)的性質(zhì)，得AB