【幾何與代數(shù)】教學課件

【幾何與代數(shù)】教學課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學,課件 3.3 空間向量的向量積與混合積空間向量的向量積與混合積 一一.空間向量的向量積空間向量的向量積 1.向量積定義向量積定義向量積也被稱為向量積也被稱為叉積叉積或或外積外積，向量向量 與與 的的向量積向量積是一個向量，記為是一個向量，記為 ：大?。捍笮。簗=|sin 方向：方向：與與 及及 均垂直，且均垂直，且，與與 構(gòu)成右手系。構(gòu)成右手系。說明說明(1).與與 共線共線 =0 說明說明(2).=0 2.向量積性質(zhì)向量積性質(zhì) (1)=-(反交換律反交換律)(2)(k)=k()=(k)（結(jié)合律）（結(jié)合律）(3)(+)=+（分配律）（分配律）說明說明(3).|等于以等于以，為鄰邊的平行四邊為鄰邊的平行四邊形面積。形面積。例例1.證明：證明：()2+()2=2 2 注意：（注意：（1）等式左邊等式左邊2個平方的區(qū)別；個平方的區(qū)別；注意：（注意：（2）等式兩邊乘號等式兩邊乘號“”的區(qū)別的區(qū)別 3.向量積的坐標形式向量積的坐標形式 例例2.已知已知|=3,|=11,且且 =30.求求|。(1).坐標向量間的向量積坐標向量間的向量積 i j=k,j k=i,k i=j,j i=-k,k j=-i,i k=-j,i i=j j=k k=0 ijk =(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k)(2).設(shè)設(shè) =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),則則 =(a2b3 a3b2)i+(a3b1 a1b3)j+(a1b2 a2b1)k =(a2b3 a3b2,a3b1 a1b3,a1b2 a2b1)向量形式向量形式行列式形式行列式形式 說明說明(4).設(shè)向量設(shè)向量 =(a1,a2,a3)與與 =(b1,b2,b3)，則，則 與與 共線共線 =0 (1)求平行四邊形面積求平行四邊形面積 (2)求夾角求夾角 (3)求平行四邊形的高求平行四邊形的高h (4)判斷向量平行判斷向量平行 4.向量積的幾何應用向量積的幾何應用 h /=0S =|例例3.頂點頂點A(1,-1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)，求求SABC和邊和邊AC上的高上的高h。hBCA 解：解：AB=(4,-5,0)，AC=(0,4,-3)例例4.已知向量已知向量 =(1,2,1),=(1,1,1),且且 =8,其中其中 =(1,2,1),求向量求向量 。解：（方法一）解：（方法一）設(shè)設(shè) =(x,y,z)，則，則 =x+2y+z=0 =-x+y+z=0 =x-2y+z=8 解得：解得：=(x,y,z)=(1,-2,3)。（方法二）（方法二）由由 和和 知，知，/()，且，且 所以可設(shè)所以可設(shè) =(k,-2k,3k)，由，由 =k+4k+3k=8 k=1 練習：練習：設(shè)單位向量設(shè)單位向量OA與三個坐標軸的夾角相等，與三個坐標軸的夾角相等，B是點是點M(1,-3,2)關(guān)于關(guān)于N(-1,2,1)的對稱點。的對稱點。求：求：OA OB 二二.空間向量的混合積空間向量的混合積 已知三個向量已知三個向量 ,，數(shù)量，數(shù)量()稱為這稱為這三個向量的三個向量的混合積混合積，記為，記為(,)。1.混合積定義混合積定義 2.混合積幾何意義混合積幾何意義 向量向量a與與b的夾角為的夾角為，則，則它們的數(shù)量積為它們的數(shù)量積為:a b=|a|b|cos =|a|ba ()=|構(gòu)造一個以構(gòu)造一個以 ,為相鄰邊的平行六面體，其底為相鄰邊的平行六面體，其底面是由面是由 ,構(gòu)成的平行四邊形。構(gòu)成的平行四邊形。平行六面體體積平行六面體體積=底面積底面積 高高 =|=|cos|為為 與與 的的夾角夾角當當 ,為為右手系右手系時，時，(,)=V平行六面體平行六面體當當 ,為為左手系左手系時，時，(,)=-V平行六面體平行六面體 說明說明(1).如果如果(,)=0，即，即 ()=|=0則或者則或者|=0，向量向量 ,共線；或者共線；或者 =0，向量，向量 。這兩種情況均導致三向量共面，。這兩種情況均導致三向量共面，故故 向量向量 ,共面共面 (,)=0 3.混合積性質(zhì)混合積性質(zhì)(1)(輪換對稱性輪換對稱性)(,)=(,)=(,)(2)(交錯性交錯性)(,)=-(,)特別地，特別地，(,)=0(3)(線性線性)(1+2,)=(1,)+(2,)k(,)=(k ,)=(,k ,)=(,k)說明說明(2).利用上面利用上面3條性質(zhì)，可以得到更多混合積條性質(zhì)，可以得到更多混合積的相關(guān)公式。的相關(guān)公式。例例5.設(shè)設(shè) +=0，證明，證明,共面。共面。證：證：等式兩邊同時與等式兩邊同時與 進行內(nèi)積，得進行內(nèi)積，得 (+)=()=0 =0即即(,)=0 ,共面共面 例例6.設(shè)向量設(shè)向量,不不共面，求任意向量共面，求任意向量 關(guān)于關(guān)于,分解式分解式。解：解：設(shè)設(shè) 在在,下的坐標為下的坐標為(x,y,z)，則，則 =x +y +z 等式兩邊先與等式兩邊先與 做向量積，再與做向量積，再與 做內(nèi)積，得做內(nèi)積，得 (,)=x(,)于是于是，同理，同理與與Cramer法則關(guān)系法則關(guān)系 4.坐標形式混合積坐標形式混合積 設(shè)向量設(shè)向量 =(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，=(c1,c2,c3)則則 =(a2b3 a3b2,a3b1 a1b3,a1b2 a2b1)()=(a2b3 a3b2)c1+(a3b1 a1b3)c2+(a1b2 a2b1)c3 說明說明(3).向量向量 ,共面共面 例例7.證明四點證明四點A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),C(c1,c2,c3),D(d1,d2,d3)共面的充要條件是：共面的充要條件是：證：證：A,B,C,D四點共面四點共面 DA,DB,DC共面共面 (DA,DB,DC)=0 例例8.（教材（教材P104例例3.9，計算四面體體積），計算四面體體積）向量乘積應用要點向量乘積應用要點數(shù)量積數(shù)量積：判別判別2向量是否垂直向量是否垂直向量積：向量積：判別判別2向量是否平行向量是否平行混合積：混合積：判別判別3向量是否共面向量是否共面 /=0 =0 a1b1+a2b2+a3b3=0 ,共面共面 (,)=0