【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 一一.實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì) 5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 二二.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化 通常，實(shí)矩陣的特征值不一定是實(shí)數(shù)。通常，實(shí)矩陣的特征值不一定是實(shí)數(shù)。比如：比如：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)。1.復(fù)矩陣的共軛矩陣復(fù)矩陣的共軛矩陣 設(shè)設(shè)A=(aij)m n,aij C，A的的共軛矩陣共軛矩陣。則稱則稱A=(aij)m n為為共軛運(yùn)算的性質(zhì)：共軛運(yùn)算的性質(zhì)：(1)kA=k A;(2)AT=;(3)AB=A B;實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 一一.實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì) 5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 2.性質(zhì)性質(zhì)5.1.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)。證明證明:=(a1,an)T Cn，()T =0 TA T=T =TA T =(A )T =T =(A )T T =a1a1+anan 0 =0 則存在則存在非零復(fù)向量非零復(fù)向量 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) 為實(shí)對(duì)稱陣為實(shí)對(duì)稱陣A的特征值，的特征值，滿足滿足 A =。說明說明1.實(shí)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可以是實(shí)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可以是實(shí)向量實(shí)向量。此外此外,1T A 2=1T AT 2=(A 1)T 2=1 1T 2,于是于是(1 2)1T 2=0,從而從而 1TA 2=1T(2 2)=2 1T 2證明證明:設(shè)設(shè) 1 2，1,2 ，滿足，滿足A 1=1 1，A 2=2 2但是但是 1 2,故故 1T 2=0，實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量?3.性質(zhì)性質(zhì)5.2.實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的的特征向特征向量相互量相互正交正交。即即=0。Th5.4.A對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)線性無關(guān)。1.定理定理5.7.對(duì)于任意對(duì)于任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在正交矩，存在正交矩陣陣Q，使得，使得Q1AQ=QTAQ=diag(1,2,n)。其中其中 1,2,n為為A的全部特征值，的全部特征值，Q=(q1,q2,qn)的列向量組是的列向量組是A的分別的分別對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 1,2,n的的標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組。特征向量組。二二.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化 2.推論推論.n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A的的ni重重特征值有特征值有ni個(gè)個(gè)線性無線性無關(guān)（進(jìn)而關(guān)（進(jìn)而正交正交）的特征向量。）的特征向量。（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）3.計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：求求|EA|=0的根，的根，得到所有特征值得到所有特征值 1,2,s注注1.矩陣矩陣Q中特征向量與特征值的順序相對(duì)應(yīng)。中特征向量與特征值的順序相對(duì)應(yīng)。實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱陣陣正正交交相相似似對(duì)對(duì)角角化化對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) i，求求(iEA)x=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 i1,i2,it用施密特正交化方法將用施密特正交化方法將 i1,i2,it 正交化、單正交化、單位化，得到位化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量特征向量 i1,i2,it則則Q1AQ=QTAQ=令令Q=(11,12,1t,s1,s2,st )=diag(1,1,s,s)例例1.將將正交相似對(duì)角化。正交相似對(duì)角化。解解:由由|EA|=(+2)(4)2，取取 2=2，將將 2,3正交化正交化，(4EA)x=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 2=(1,1,0)T，3=(2,0,1)T 得得 1=2，2,3=4；1=2時(shí)，時(shí)，2=4時(shí)，時(shí)，(2EA)x=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 1=(1,1,2)T得得 2=2、3=(1,-1,1)T 將將 2,3正交化正交化，再再單位化單位化，即得正交矩陣：，即得正交矩陣：注注2.正交矩陣正交矩陣Q不唯一，如選不唯一，如選 2=3，可構(gòu)造不同，可構(gòu)造不同Q。注注3.重根時(shí)可以直接用重根時(shí)可以直接用觀察法觀察法求正交特征向量。求正交特征向量。例例2.設(shè)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣階實(shí)對(duì)稱陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為(1)2(10)，且，且 3=(1,2,2)T是對(duì)應(yīng)是對(duì)應(yīng)=10的特征向量，求的特征向量，求A。解解:令令 1,2為對(duì)應(yīng)于為對(duì)應(yīng)于=1兩個(gè)兩個(gè)正交正交的特征向量的特征向量解法解法1.將正交向量組將正交向量組 1,2,3單位化得正交矩陣單位化得正交矩陣 因?yàn)橐驗(yàn)?1,2都與都與 3正交正交，可取為，可取為 3Tx=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 1=(0,1,1)T，2=(4,1,1)TQ=設(shè)設(shè) =由由QTAQ=Q 1AQ=可得可得A=Q QT=對(duì)稱對(duì)稱正交相似對(duì)角化正交相似對(duì)角化令令P=由由P 1AP=得得A=P P 1=A=相似對(duì)角化相似對(duì)角化例例2.設(shè)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣階實(shí)對(duì)稱陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為(1)2(10)，且，且 3=(1,2,2)T是對(duì)應(yīng)是對(duì)應(yīng)=10的特征向量，求的特征向量，求A。解解:令令 1,2為對(duì)應(yīng)于為對(duì)應(yīng)于=1兩個(gè)兩個(gè)正交正交的特征向量的特征向量因?yàn)橐驗(yàn)?1,2都與都與 3正交正交，可取為，可取為 3Tx=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 1=(0,1,1)T，2=(4,1,1)T解法解法2.說明說明.變換矩陣變換矩陣P或或Q均均不唯一，但不唯一，但A唯一唯一。將正交向量組將正交向量組 1,2,3單位化得正交矩陣單位化得正交矩陣 1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)TQ=設(shè)設(shè) =由由QTAQ=Q 1AQ=可得可得A=Q QT=例例2.設(shè)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣階實(shí)對(duì)稱陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為(1)2(10)，且，且 3=(1,2,2)T是對(duì)應(yīng)是對(duì)應(yīng)=10的特征向量，求的特征向量，求A。解解:令令 1,2為對(duì)應(yīng)于為對(duì)應(yīng)于=1兩個(gè)兩個(gè)正交正交的特征向量的特征向量因?yàn)橐驗(yàn)?1,2都與都與 3正交正交，可取為，可取為 3Tx=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系此時(shí)此時(shí)A唯一唯一若已知若已知 1=(2,1,2)T是對(duì)應(yīng)于是對(duì)應(yīng)于=1的特征向量，的特征向量，能否唯一求出能否唯一求出A呢？呢？1,2可取為可取為 3垂面上任意兩個(gè)垂面上任意兩個(gè)L.i.(垂直垂直)的向量。的向量。2,3可取為可取為 1垂面上任意兩個(gè)垂面上任意兩個(gè)L.i.(垂直垂直)的向量，的向量，但無法確定但無法確定 2,3中哪個(gè)是中哪個(gè)是對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于=1的特征向量，的特征向量，哪個(gè)是哪個(gè)是對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于=10的特征向量。的特征向量。否否例例2.設(shè)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣階實(shí)對(duì)稱陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為(1)2(10)，且，且 3=(1,2,2)T是對(duì)應(yīng)是對(duì)應(yīng)=10的特征向量，求的特征向量，求A。5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為的特征值均為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)；實(shí)對(duì)稱陣對(duì)應(yīng)于實(shí)對(duì)稱陣對(duì)應(yīng)于不同不同特征值特征值的的特征向量特征向量正交正交。Th5.7 任意任意n階實(shí)對(duì)稱陣都可以階實(shí)對(duì)稱陣都可以正交相似對(duì)角化正交相似對(duì)角化，即存在，即存在正交陣正交陣Q，使得，使得Q1AQ=diag(1,2,n)其中其中Q=(q1,q2,qn)的列向量組是的列向量組是A的的對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 1,2,n的的標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組。特征向量組。正交正交特特征向量征向量1.l.i.特征向量再由特征向量再由Schmidt正交化法正交正交化法正交2.由由1個(gè)個(gè)特量及特量及正交方程組解其他正交特向正交方程組解其他正交特向?qū)崒?duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：Q1AQ=QTAQ=A=Q QT=Q Q1P1AP=A=P P1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化，但需求逆無需正交標(biāo)準(zhǔn)化，但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化，不需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化，不需求逆 f,f(A)=Qf()QT 關(guān)于相似對(duì)角化與正交相似對(duì)角化關(guān)于相似對(duì)角化與正交相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：Q1AQ=QTAQ=A=Q QT=Q Q1不是任不是任一個(gè)方陣一個(gè)方陣A都可以相似對(duì)角化，只有當(dāng)都可以相似對(duì)角化，只有當(dāng)A有有n個(gè)線性無個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對(duì)角化；關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對(duì)角化；實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交相似對(duì)角化，也可以相似對(duì)角化；實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交相似對(duì)角化，也可以相似對(duì)角化；若實(shí)方陣若實(shí)方陣A可以正交相似對(duì)角化，則可以正交相似對(duì)角化，則A必是實(shí)對(duì)稱矩陣必是實(shí)對(duì)稱矩陣 AT=(Q QT)T=Q TQT=Q QT=A一般方陣若能相似對(duì)角化，不一定能正交相似對(duì)角化；一般方陣若能相似對(duì)角化，不一定能正交相似對(duì)角化；只有要求正交相似對(duì)角化時(shí)，才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化。只有要求正交相似對(duì)角化時(shí)，才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化。P1AP=A=P P1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化，但需求逆無需正交標(biāo)準(zhǔn)化，但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化，不需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化，不需求逆 f，f(A)=Qf()QT例例3.A=可相似對(duì)角化，不能正交相似對(duì)角化?？上嗨茖?duì)角化，不能正交相似對(duì)角化。解解:易知易知A的特征值為的特征值為 1=1，2=1。A對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 1=1的特征向量為的特征向量為 1=k1(1,0)T(k1 0)1 1 0 1A對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 2=1的特征向量為的特征向量為 2=k2(1,2)T(k2 0)k1,k2 0,=k1 k2 0若將若將 1,2正交化，得正交化，得 1=(1,0)T,2=(0,2)T。但這里的但這里的 2=(0,2)T已經(jīng)不再是已經(jīng)不再是 2=1的特征向量。的特征向量。k1,k2 0,1,2都只是線性無關(guān)，而不會(huì)正交。都只是線性無關(guān)，而不會(huì)正交。解：解：(2)若若A、B是一般方陣，即使特征多項(xiàng)式相同，不一是一般方陣，即使特征多項(xiàng)式相同，不一定相似，更別說正交相似。比如：定相似，更別說正交相似。比如：因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣A、B的特征多項(xiàng)式相同，的特征多項(xiàng)式相同，所以它們的特征值相同，所以它們的特征值相同，A、B都與都與=diag(1,n)相似且正交相似相似且正交相似事實(shí)上存在事實(shí)上存在Q1,Q2正交正交,使得使得正交，正交，所以所以A、B正交相似。正交相似。例例4.若若A、B是實(shí)對(duì)稱陣，是實(shí)對(duì)稱陣，|E A|=|E B|，A、B是否相似？是否正交相似？是否相似？是否正交相似？也是等價(jià)關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系若若A、B是一般實(shí)方陣呢是一般實(shí)方陣呢？等價(jià)等價(jià)關(guān)系關(guān)系定義定義矩陣矩陣定定 義義等價(jià)類等價(jià)類代表代表不變量不變量 Rn nRm n等價(jià)等價(jià)相似相似正交正交相似相似Rn n實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱相抵標(biāo)準(zhǔn)形相抵標(biāo)準(zhǔn)形為初等陣為初等陣 i為特征值為特征值 秩秩 特征值特征值,跡跡,行列式行列式 秩秩 若若A可相似可相似對(duì)角化對(duì)角化 解法解法3:所以所以A的全部特征值為的全部特征值為 0(n 1重根重根)和和 例例5.設(shè)設(shè) 0，Rn，求求A=T的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。A可正交相似對(duì)角化。可正交相似對(duì)角化。即存在正交陣即存在正交陣Q和對(duì)和對(duì)角陣角陣，0，使得，使得 因?yàn)橐驗(yàn)锳的全部特征值為的全部特征值為 0(n 1重根重根)和和 例例5.設(shè)設(shè) 0，Rn，求求A=T的特征值和特征向量，的特征值和特征向量，并求并求|E A3|。是是A的特征值的特征值 多項(xiàng)式多項(xiàng)式f，f()是是f(A)的特征值的特征值 所以所以E A3的特征值為的特征值為1(n 1重根重根)和和 解解1:A與與 相似相似 多項(xiàng)式多項(xiàng)式f，f(A)與與f()相似相似 因?yàn)榇嬖谡魂囈驗(yàn)榇嬖谡魂嘠和對(duì)角陣和對(duì)角陣，使得，使得 例例5.設(shè)設(shè) 0，Rn，求求A=T的特征值和特征向量，的特征值和特征向量，并求并求|E A3|。解解2:1.設(shè)設(shè)A是是n階對(duì)稱正交矩陣，且階對(duì)稱正交矩陣，且1是是A的的r重特征值。重特征值。(1)求對(duì)角陣求對(duì)角陣，使得，使得A ；(2)計(jì)算計(jì)算|3E A|。2.設(shè)矩陣設(shè)矩陣 ，求參數(shù)。，求參數(shù)。正交正交 練習(xí)題：練習(xí)題：