【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 線性方程組的各種形式：線性方程組的各種形式：1)一般形式：一般形式：2)矩陣形式：矩陣形式：3)向量形式：向量形式：命題命題.設(shè)設(shè)A Rm n,b Rm,則則(1)r(A,b)=r(A)+1 Ax=b無解無解;(2)r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n Ax=b有無窮多解有無窮多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量.Ax=b 有解有解 b 能由列向量組能由列向量組 I:A1,An 線性表示線性表示 向量組向量組 I:A1,An與向量組與向量組II:A1,An,b等等價(jià)價(jià) r(A)=r(A,b)一一.線性方程組解的存在性和唯一性線性方程組解的存在性和唯一性？Ax=b 有解有解 b 能由列向量組能由列向量組 I:A1,An 線性表示線性表示 向量組向量組 I:A1,An與向量組與向量組II:A1,An,b等等價(jià)價(jià) r(A)=r(A,b)命題命題.設(shè)設(shè)A Rm n,b Rm,則則(1)r(A,b)=r(A)+1 Ax=b無解無解;(2)r(A,b)=r(A)=n Ax=b有唯一解有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n Ax=b有無窮多解有無窮多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量.Ax=b 有有唯一唯一解解 b 能由列向量組能由列向量組A1,An線性表示線性表示,表示方式表示方式唯一唯一 r(A)=r(A,b)，且，且A1,An線性無關(guān)線性無關(guān) r(A)=r(A,b)=n 一一.線性方程組解的存在性和唯一性線性方程組解的存在性和唯一性 推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.一一.線性方程組解的存在性和唯一性線性方程組解的存在性和唯一性 Ax=只有零解只有零解 A1,An線性無關(guān)線性無關(guān) r(A)=r(A1,An)=n 只有零解只有零解 推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.Ax=有非零解有非零解 A1,An線性相關(guān)線性相關(guān)有非零解有非零解 r(A)=r(A1,An)n Ax=只有零解只有零解 A1,An線性無關(guān)線性無關(guān) r(A)=r(A1,An)=n 只有零解只有零解 推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.l若有非零解若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)這些解具有哪些性質(zhì)?也也是是 Ax=0 的解的解.由由 是是Ax=0的解的解,即即性質(zhì)性質(zhì)1也是也是 Ax=0 的解的解.性質(zhì)性質(zhì)2 由由 是是Ax=0的解的解,即即 k,推論推論.設(shè)設(shè)A Rm n,則則(1)r(A)=n Ax=只有零解只有零解;(2)r(A)n Ax=有非零解有非零解.l若有非零解若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)這些解具有哪些性質(zhì)?若若Ax=0 有非零解有非零解,則這些解的任意線性組合仍是解。則這些解的任意線性組合仍是解。K(A)=x Rn|Ax=齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間即即A的核空間或零空間的核空間或零空間l若有非零解若有非零解,如何找到所有的如何找到所有的(無窮多個(gè)無窮多個(gè))解解?只要找到向量空間只要找到向量空間K(A)的一個(gè)的一個(gè)基基,就能表示所有解就能表示所有解.(基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系)二二.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1.Ax=0的一組解的一組解 1,2,s稱為稱為一個(gè)一個(gè)基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系:(1)1,2,s 線性無關(guān)線性無關(guān);(2)Ax=0的的任一解任一解都可由都可由 1,2,s線性表示線性表示.那么該方程組的那么該方程組的通解通解就可表示成就可表示成x=k1 1+k2 2+ks s,其中其中k1,k2,ks為常數(shù)為常數(shù).這種形式的通解稱為這種形式的通解稱為Ax=0的的結(jié)構(gòu)式通解結(jié)構(gòu)式通解.K(A)=x Rn|Ax=齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間 注注1：基礎(chǔ)解系是：基礎(chǔ)解系是Ax=0解向量組的解向量組的極大無關(guān)組極大無關(guān)組，所以基礎(chǔ)解系所以基礎(chǔ)解系不唯一不唯一，且任兩個(gè)基礎(chǔ)解系，且任兩個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)等價(jià).定理定理4.14 設(shè)設(shè)A Rm n,r(A)=rn,則則dim(K(A)=n r即即Ax=的的任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量個(gè)解向量.x1 =c1,r+1xr+1 +c1,r+2xr+2 +c1nxn x2 =c2,r+1xr+1 +c2,r+2xr+2 +c2nxn xr =cr,r+1xr+1 +cr,r+2xr+2 +crnxn xr+1 =xr+1 xr+2 =xr+2 xn =xn n r個(gè)個(gè)自由自由未知量未知量A初等行變換初等行變換證明：證明：B為行最簡形矩陣為行最簡形矩陣r(B)=r(A)=r Bx=0有有 n r 個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量.=xr+1+xr+2+xn x1 x2 xr xr+1xr+2 xn c1,r+1 c2,r+1 cr,r+1 100c1,r+2 c2,r+2 cr,r+2 01 0 c1n c2n crn 001線性線性無關(guān)無關(guān)增維也增維也無關(guān)無關(guān)=xr+1 1+xr+2 2+xn n-r 1,2,n-r 線性無關(guān)線性無關(guān)任意解任意解x可由其線性表示可由其線性表示基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系定理定理4.14 設(shè)設(shè)A Rm n,r(A)=rn,則則dim(K(A)=n r即即Ax=的的任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量個(gè)解向量.為一基為一基礎(chǔ)解系，礎(chǔ)解系，c1,r+1 cr,r+1 100c1,r+2 cr,r+2 01 0 c1n crn 001 1=,2=,n r=含有含有n r個(gè)解向量個(gè)解向量.設(shè)設(shè) 1,2,t為為任一任一基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.則則 1,2,t線性無關(guān)，且與線性無關(guān)，且與 1,2,n r等價(jià)等價(jià).t=n r 即即任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量個(gè)解向量.定理定理4.14 設(shè)設(shè)A Rm n,r(A)=rn,則則dim(K(A)=n r即即Ax=的的任一基礎(chǔ)解系中均含有任一基礎(chǔ)解系中均含有n r個(gè)解向量個(gè)解向量.性質(zhì)性質(zhì)1.與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)向量組也與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)向量組也 是是基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系.性質(zhì)性質(zhì)2.若若A Rm n,r(A)=r,則則Ax=的任意的任意n r個(gè)個(gè)線性無關(guān)的解向量都是線性無關(guān)的解向量都是Ax=的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.3.解解Am n x=的一般步驟的一般步驟 A初等初等行行變換變換 行行階階梯梯陣陣r(A)n?行行最最簡簡形形取非主列取非主列對(duì)應(yīng)的變對(duì)應(yīng)的變量為自由量為自由未知量未知量;令其為令其為e1,en-r,求得通解求得通解.只有零解只有零解N初等初等行行變換變換 Y注注:自由未知量的選取不是唯一，只要取定自由未知量的選取不是唯一，只要取定A中中r(A)個(gè)線性無關(guān)的列，其余列對(duì)應(yīng)變量可為自由變量個(gè)線性無關(guān)的列，其余列對(duì)應(yīng)變量可為自由變量.例例1.求求的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解:初等初等行行變換變換 該方程組的基礎(chǔ)解系可取為該方程組的基礎(chǔ)解系可取為 通解為通解為 101/5 4/5取取x2,x4為自由未知量為自由未知量,自由變自由變量不能量不能取取x3,x4,因不因不能任意能任意取值，取值，x1,x2也也不能表不能表示示例例2.求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組Ax=0，即，即T x=0.若向量若向量 Rn,0,A=T,求求r(A)=,|A|=.10基礎(chǔ)解系中有基礎(chǔ)解系中有n-1個(gè)解個(gè)解,設(shè)設(shè)是是Ax=0 的解的解.證證明：明：可由可由Ax=0的基礎(chǔ)解系線性表示的基礎(chǔ)解系線性表示.例例3.A Rs n,B Rn t.若若AB=0,則則 r(A)+r(B)n.r2=r1+1 無解無解 r2=r1=n 唯一解唯一解 r2=r1 n 無窮多解無窮多解 基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系的本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組本質(zhì)是解向量組的極大無關(guān)組,維數(shù)為維數(shù)為n-r(A)二二.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系K(A)=x Rn|Ax=齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間一一.解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性(Ax=b)r1=r(A),r2=r(A,b).A初等初等行行變換變換 行行階階梯梯陣陣r(A)n?行行最最簡簡形形取非主列對(duì)取非主列對(duì)應(yīng)的變量為應(yīng)的變量為自由未知量自由未知量;令其為令其為e1,en-r,求求得通解得通解.只有零解只有零解N初等初等行行變換變換 Y三三.非齊次線性方程組的一般解非齊次線性方程組的一般解 1.齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=0 稱為非齊次線性稱為非齊次線性 方程組方程組Ax=b 的的導(dǎo)出組導(dǎo)出組.性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)設(shè) 1,2都是都是 Ax=b 的解的解,則則 1 2是是 Ax=0的解的解.性質(zhì)性質(zhì)2.是是Ax=b的解的解,是是Ax=0 的解的解,則則 +是是Ax=b的解的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì) A(1 2)=A 1A 2=b b=0A(+)=A +A =b+0=b定理定理4.15.設(shè)設(shè) 0是是Ax=b的一個(gè)解的一個(gè)解,1,n r是是Ax=0 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系,則則Ax=b的的結(jié)構(gòu)式結(jié)構(gòu)式通解通解為為 x=0+k1 1+kn r n r.稱稱 0為為Ax=b的一個(gè)的一個(gè)特解特解.證明證明:Ax=A(0+k1 1+kn r n r)=A 0=b.對(duì)任意對(duì)任意Ax=b的解的解x,k1,kn r,s.t.x 0=k1 1+kn r n r,x=0+k1 1+kn r n r.x 0 為為 Ax=0 的解的解,3.解非齊次線性方程組解非齊次線性方程組Am n x=b的一般步驟的一般步驟(A b)初等初等行行變換變換 行行階階梯梯陣陣r(A)=r(A b)?行行最最簡簡形形無解無解N初等初等行行變換變換 Y令非主列令非主列變量為變量為e1,en-r,求求得基解得基解;令其為令其為0,求得特解求得特解.定理定理4.15.設(shè)設(shè) 0是是Ax=b的一個(gè)解的一個(gè)解,1,n r是是Ax=0 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系,則則Ax=b的的結(jié)構(gòu)式結(jié)構(gòu)式通解通解為為 x=0+k1 1+kn r n r.稱稱 0為為Ax=b的一個(gè)的一個(gè)特解特解.解解:初等初等行行變換變換方程組的通解為方程組的通解為例例4.求方程組求方程組 的通解的通解.10121/21/2注注:求基礎(chǔ)解系求基礎(chǔ)解系時(shí)右端向量為時(shí)右端向量為0 四四.線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用1.兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置 A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0 A4x+B4y+C4z+D4=0 r2=r1+1平行或異面平行或異面 r2=r1=3交于一點(diǎn)交于一點(diǎn) r2=r1=2 3重合重合 記記A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3A4 B4 C4,A=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3A4 B4 C4 D4.r(A)=r1r(A)=r22.三平面的相對(duì)位置三平面的相對(duì)位置 1:A1x+B1y+C1z+D1=0 2:A2x+B2y+C2z+D2=0 3:A3x+B3y+C3z+D3=0 r2=r1+1 無解無解 平行或平行或“”或或“”r2=r1=3 交于一點(diǎn)交于一點(diǎn) r2=r1=2 3 交于一線交于一線 r2=r1=1 3 三平面重合三平面重合 記記A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3,A=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3.r(A)=r1r(A)=r2例例5 A Rm n,b Rm,判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確.(1)若若Ax=0只有零解只有零解,則則Ax=b有有唯一解唯一解.答答:錯(cuò)錯(cuò),因因r(A)=n,r(A)=n=r(A,b)(2)若若Ax=0有非零解有非零解,則則Ax=b有無窮多解有無窮多解.答答:錯(cuò)錯(cuò),因因r(A)n,r(A)=r(A,b)?(3)若若Ax=b唯一解唯一解,則則Ax=0只有零解只有零解.答答:對(duì)對(duì),r(A)=r(A,b)=n.r(A)=n(5)若若r(A)=r=m,則則Ax=b必有解必有解.答答:對(duì)對(duì),r(A)=r=m=r(A,b).(6)若若r(A)=r=n,則則Ax=b必有唯一解必有唯一解.答答:錯(cuò)錯(cuò),A為為m n,當(dāng)當(dāng)m n時(shí)時(shí),可有可有r(A,b)=n+1.(4)若若Ax=0有非零解有非零解,則則ATx=0也有非零解也有非零解.答答:錯(cuò)錯(cuò),比如：比如：A為為m n,r(A)=m n,r(AT)=m,這時(shí)這時(shí)ATx=0只有零解只有零解.例如例如A為為3 4,R(A)=3 4,r(AT)=3=m.例例5 A Rm n,b Rm,判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確.例例6.證明證明r(ATA)=r(A).證明證明:設(shè)設(shè)A為為s n的矩陣的矩陣,x為為n維列向量維列向量.進(jìn)而得進(jìn)而得r(ATA)=r(A).一方面一方面Ax=(ATA)x=,xT(ATA)x=0|Ax|2=(Ax)T(Ax)=0 Ax=.可見可見Ax=解必為解必為(ATA)x=的解的解.另一方面另一方面(ATA)x=故故Ax=與與(ATA)x=同解同解,因此因此nr(ATA)=nr(A).