【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 第二章第二章 矩矩 陣陣2.5 初等矩陣初等矩陣一一.初等矩陣與矩陣的乘積初等矩陣與矩陣的乘積二二.用初等矩陣求逆矩陣用初等矩陣求逆矩陣 矩陣在初等變換前后，是不相等的，所以用箭頭矩陣在初等變換前后，是不相等的，所以用箭頭表示。能否將初等變換，用矩陣乘法描述？表示。能否將初等變換，用矩陣乘法描述？三三.矩陣的代數(shù)運(yùn)算與秩矩陣的代數(shù)運(yùn)算與秩稱矩陣稱矩陣P為為初等矩陣初等矩陣。一一.初等矩陣與矩陣的乘積初等矩陣與矩陣的乘積1.初等矩陣初等矩陣 n階單位矩陣階單位矩陣E E P一次初等變換一次初等變換 根據(jù)三類初等行變換，初等矩陣也分為三類：根據(jù)三類初等行變換，初等矩陣也分為三類：E P(i,j)rirj (1)E P(i(k)kri (2)E P(i,j(k)ri+krj (3)或者或者cicj或者或者kci或者或者cj+kciP(i,j)=第第i行行1 1 0 11 01 1 1 1 第第j行行第第i列列第第j列列E ri rj P(i,j)E ci cj P(i,j)(1)P(i(k)=第第i行行1 k 1 1 第第i列列1 E ri k P(i(k)Eci k P(i(k)(2)P(i,j(k)=第第i行行1 k 1 1 第第j行行第第i列列第第j列列1 E ri+krj P(i,j(k)E cj+kciP(i,j(k)(3)2.初等矩陣與矩陣乘積初等矩陣與矩陣乘積 定理定理2.4：設(shè)設(shè)Amn，(1)對(duì)對(duì)A作一次初等行變換，相作一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)初等矩陣左乘當(dāng)于用相應(yīng)初等矩陣左乘A；(2)對(duì)對(duì)A作一次初等列作一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)初等矩陣右乘變換，相當(dāng)于用相應(yīng)初等矩陣右乘A。說明說明(2).對(duì)對(duì)A作初等列變換，等于用初等矩陣右作初等列變換，等于用初等矩陣右乘乘A，且所乘的初等，且所乘的初等矩陣是對(duì)矩陣是對(duì)E作同樣的初等列變作同樣的初等列變換得到換得到的。的。說明說明(1).對(duì)對(duì)A作初等行變換，等于用初等矩陣左作初等行變換，等于用初等矩陣左乘乘A，且所乘的初等，且所乘的初等矩陣是對(duì)矩陣是對(duì)E作同樣的初等行變作同樣的初等行變換得到換得到的。的。0 1 01 0 00 0 1a b cx y z1 2 3,=x y za b c1 2 30 1 01 0 00 0 1a x 1b y 2c z 3=x a 1y b 2z c 31 k 00 1 00 0 1a b cx y z1 2 3=a+kx b+ky c+kz x y z 1 2 31 k 00 1 00 0 1a x 1b y 2c z 3=a ak+x 1b bk+y 2c ck+z 31 0 00 1 00 0 ka b cx y z1 2 3,=a b cx y zk 2k 3k1 0 00 1 00 0 ka x 1b y 2c z 3=a x kb y 2kc z 3kAx=bA,bA1x=b1A1,b1 方程組方程組 增廣矩陣增廣矩陣若干次初等行變換若干次初等行變換依次左乘依次左乘P1,Pt即即Pt P2P1(A,b)=(A1,b1)3.初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣 說明說明(3).初等矩陣的逆矩陣仍然是初等初等矩陣的逆矩陣仍然是初等矩陣。矩陣。二二.用初等矩陣求逆矩陣用初等矩陣求逆矩陣1.定理定理2.5：方陣方陣A可逆可逆 A可以寫成可以寫成初等矩陣的乘初等矩陣的乘積積。證：證：“”顯然。顯然?！啊痹O(shè)設(shè)A是是n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則r(A)=n，即，即AE 對(duì)對(duì)E作初等行變換可以得到作初等行變換可以得到A，即存在初等矩陣，即存在初等矩陣使得使得 得證。得證。推論推論2.1：設(shè)設(shè)A、B是是mn階矩陣，則階矩陣，則AB 存存在在m階可逆陣階可逆陣P和和n階可逆陣階可逆陣Q，使得，使得B=PAQ。推論推論2.2：設(shè)設(shè)A、B是是mn階矩陣，則階矩陣，則r(A)=r(B)存在可逆矩陣存在可逆矩陣P和和Q，使得，使得B=PAQ。推論推論2.3：設(shè)設(shè)A是是mn階矩陣，則階矩陣，則r(A)=r 存在存在m階可逆陣階可逆陣P和和n階可逆陣階可逆陣Q，使得，使得 推論推論2.4：設(shè)設(shè)A是是mn階矩陣，階矩陣，P是是m階可逆陣，階可逆陣，Q是是n階可逆陣，階可逆陣，則則2.利用初等行變換求逆陣?yán)贸醯刃凶儞Q求逆陣 設(shè)設(shè)A是是n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則A-1可逆，根據(jù)定理可逆，根據(jù)定理2.5，存在初等存在初等矩陣矩陣使得使得改寫成改寫成 解解:例例.例例2.解解:類似地，也可利用初等列變換求逆矩陣。類似地，也可利用初等列變換求逆矩陣。改寫成改寫成 設(shè)設(shè)A是是n階可逆矩陣，則存在初等階可逆矩陣，則存在初等矩陣矩陣列變換列變換三三.矩陣的代數(shù)運(yùn)算與秩矩陣的代數(shù)運(yùn)算與秩 1 設(shè)設(shè)A、B是是ms和和ns階矩陣，則階矩陣，則 證：證：設(shè)設(shè)A、B的秩分別為的秩分別為p,q。先證左邊不等式：。先證左邊不等式：因?yàn)橐驗(yàn)锳或或B的子式也是的子式也是 的子式的子式 所以它們所以它們的最高階非零子式也是的最高階非零子式也是 的非零子式的非零子式 再證右邊的不等式：再證右邊的不等式：設(shè)存在設(shè)存在 m 階可逆陣階可逆陣 P 和和 n 階可逆陣階可逆陣 Q，使得，使得其中其中U1和和U2均是簡(jiǎn)化階梯陣，則均是簡(jiǎn)化階梯陣，則 2 設(shè)設(shè)A、B是是mn階矩陣，則階矩陣，則 證：證：初等行變換初等行變換 3 設(shè)設(shè)A、B分別是分別是ms,sn階矩陣，則階矩陣，則 證：證：設(shè)設(shè)r(A)=p，則存在，則存在 m 階可逆陣階可逆陣P，使得，使得 同理，同理，例例3.設(shè)設(shè)Amn，則，則 r(A)=1 A=T 其中其中 和和 分別為分別為m、n維非零列向量。維非零列向量。證（證（）r(A)=1，則存在可逆陣，則存在可逆陣P和和Q，使得，使得 （）由由A=T，所以，所以且且 、非零向量非零向量 A非零矩陣非零矩陣則則 r(A)=1 練習(xí)：練習(xí)：1.設(shè)設(shè)A是是mn階矩陣（階矩陣（m n），證明），證明 2.設(shè)設(shè)A、B是是mn,st 階矩陣，證明：階矩陣，證明：4 設(shè)設(shè)A、B分別是分別是ms,sn階矩陣，則階矩陣，則 5 設(shè)設(shè)A、B是是ms,sn階矩陣，若階矩陣，若AB=0，則，則 （證略，見教材（證略，見教材P80）（由（由4，顯然可得），顯然可得）第第2章習(xí)題課章習(xí)題課一一.選擇填空題選擇填空題 1.設(shè)設(shè) 31 1，若，若 ，則，則 T =2.，n2整數(shù)，整數(shù)，則則An-2An-1=3.設(shè)設(shè)A是是n階可逆陣，階可逆陣，,則則AB-1=A Brirj 4.A是是n階矩陣，階矩陣，AAT=E，|A|n），），r(A)=n，證明：存在矩陣，證明：存在矩陣Bnm，使得，使得 BA=En 6.設(shè)設(shè)A、B是是mn,st 階矩陣，證明：階矩陣，證明：