【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 相似的應(yīng)用相似的應(yīng)用 求求A11.設(shè)設(shè)P 1AP=,P=,=1 41 1 1 0 0 2,A=P P 1 A11=(P P 1)(P P 1)(P P 1)(P P 1)11=1 0 0 211=P 11P 1 A與與 相似相似5.2 相似矩陣相似矩陣 一一.矩陣的相似矩陣的相似設(shè)設(shè)A、B是是n階方陣，階方陣，若有若有可逆矩陣可逆矩陣P，使，使P 1AP=B，則，則稱矩陣稱矩陣A與與B相似相似，記為，記為AB，P為為相似變換矩陣相似變換矩陣。注注1.相似是等價(jià)的特例：相似相似是等價(jià)的特例：相似必等價(jià)必等價(jià)，反之不然。，反之不然。例例1.證明矩陣證明矩陣 與與 相似。相似。證明：證明：注注2.(1)反身性反身性:AA;(2)對(duì)稱性對(duì)稱性:AB BA;(3)傳遞性傳遞性:AB,BC AC.矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。P 1AP=BPBP 1=A等價(jià)關(guān)系下的不變量：矩陣的秩等價(jià)關(guān)系下的不變量：矩陣的秩相似關(guān)系下的不變量：相似關(guān)系下的不變量：矩陣的秩矩陣的秩性質(zhì)性質(zhì)1.若若A B r(A)=r(B)性質(zhì)性質(zhì)2.A B|E-A|=|E-B|，特征多項(xiàng)式相同，特征多項(xiàng)式相同說明說明(1).|E-A|=|E-B|，意味著，意味著矩陣矩陣A與與B有相有相同的特征值、跡和行列式。同的特征值、跡和行列式。問題？問題？相似矩陣相似矩陣對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于同一特征值同一特征值的的特征向量？特征向量？性質(zhì)性質(zhì)3.若若A B，則，則（1）kA kB（2）Ak Bk（k是正整數(shù)）是正整數(shù)）（3）A 1 B 1（A、B均可逆）均可逆）（4）f(A)f(B)（f 是多項(xiàng)式）是多項(xiàng)式）且具有且具有相同的相似變換矩陣相同的相似變換矩陣。說明說明(2).特征多項(xiàng)式相同特征多項(xiàng)式相同的的矩陣矩陣不一定相似。不一定相似。例例2.特征多項(xiàng)式都是特征多項(xiàng)式都是(1)2 證證1：若若P 1AP=B，則，則A=PBP1=E=B。矛盾矛盾!1 0 0 1 A=1 0 1 1,B=證證2：若若A B,則則 A E B E。但但r(A E)r(B E)矛盾矛盾!特征多項(xiàng)式相同是相似的特征多項(xiàng)式相同是相似的必要而非充分必要而非充分的條件。的條件。注注3.方陣方陣A與與B相似相似 特征多項(xiàng)式和特征值相同特征多項(xiàng)式和特征值相同 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|r(A)=r(B)相似關(guān)系下的不變量為：相似關(guān)系下的不變量為：特征值特征值,跡跡,行列式行列式,秩秩等價(jià)關(guān)系下的不變量為：等價(jià)關(guān)系下的不變量為：秩秩等價(jià)關(guān)系下的最簡形為：等價(jià)關(guān)系下的最簡形為：等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形相似關(guān)系下的最簡形為？相似關(guān)系下的最簡形為？只是必只是必要條件要條件例例4.設(shè)矩陣設(shè)矩陣 ，求，求x、y例例3.設(shè)矩陣設(shè)矩陣 ，求，求a、b解解.由由A B|A|=|B|b=1tr(A)=tr(B)a=0解解1.由由A B|A|=|B|-2(x 2)=-2ytr(A)=tr(B)x 1=y+1方程相方程相同同!解解2.1=-1，2=2，3=y由由|-E-A|=0求求x；tr(A)=tr(B)求求y。x=0,y=-2解解3.A有特征值有特征值 2=-2，則，則B也有，也有，y=-2；A =P 1AP(P 可逆可逆)1 0 0 0 2 0 0 0 nP=(p1,pn)可逆可逆 p1,pn線性無關(guān)線性無關(guān) P 1AP=AP=P (Ap1,Apn)=(1p1,npn)相似關(guān)系下的最簡形為？相似關(guān)系下的最簡形為？A pi=i pi,i=1,n 1.定理定理5.3.n階方陣階方陣A與與對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣相似相似 A有有n個(gè)線性無關(guān)個(gè)線性無關(guān)的特征向量。的特征向量。二二.方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件 注注1.若若n階方陣階方陣A有有l(wèi)(n)個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A不能不能與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似.證證3:1=2=1 n r=1 2 A不與對(duì)角陣不與對(duì)角陣B相似。相似。1 0 0 1,A不與不與B相似。相似。例例2.A=1 0 1 1,B=E A=0 0 1 0 注注2.不是每個(gè)不是每個(gè)方陣都能夠與對(duì)角矩陣相似的。方陣都能夠與對(duì)角矩陣相似的。如果矩陣如果矩陣A與與對(duì)角陣對(duì)角陣 相似，則相似，則 的對(duì)角線由的對(duì)角線由A的的特征值構(gòu)成，變換矩陣特征值構(gòu)成，變換矩陣P由由A相應(yīng)的特征向量為列；相應(yīng)的特征向量為列；若不計(jì)若不計(jì) i排列順序，則排列順序，則 是唯一的，稱為是唯一的，稱為A的的相似標(biāo)相似標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)形。2.定理定理5.4.等價(jià)關(guān)系下的最簡形為：等價(jià)關(guān)系下的最簡形為：等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形相似關(guān)系下的最簡形為：相似關(guān)系下的最簡形為：相似標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形 或或J與對(duì)角陣與對(duì)角陣相似相似不與對(duì)角不與對(duì)角陣相似陣相似問題問題?如何判斷如何判斷A是否有是否有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量？個(gè)線性無關(guān)的特征向量？證（歸納法）證（歸納法）s=1時(shí)顯然成立；時(shí)顯然成立；設(shè)設(shè)k=s 1 時(shí)成立，下面證時(shí)成立，下面證 k=s 時(shí)也成立。時(shí)也成立。1,2,s A的特征向量的特征向量 1,2,s A的的互異互異的特征值的特征值 則則 1,2,s線性無關(guān)。線性無關(guān)。設(shè)設(shè)k1 1+k2 2+ks 1 s 1+ks s=k1 s 1+k2 s 2+ks 1 s s 1+ks s s=k1 1 1+k2 2 2+ks 1 s 1 s 1+ks s s=A(k1 1+k2 2+ks 1 s 1+ks s)=k1(1 s)1+k2(2 s)2+ks 1(s 1 s)s 1=k1(1 2)=k2(2 3)=ks 1(s 1 s)=0 k1=k2=ks 1=0 ks s=ks=0 推論推論5.4.An n有有n個(gè)互異個(gè)互異特征值特征值 1,n A 。例例5.1 2 3 0 4 5 0 0 6 1 0 0 0 4 0 0 0 6例例6.設(shè)設(shè)A=相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣 a x y 0 a z 0 0 a|E A|=(a)3 則則(aE A)x=有有3個(gè)線性無關(guān)的解個(gè)線性無關(guān)的解,故故3 r(aE A)=3,即即r(aE A)=O 則則aE A=0 x y 0 0 z 0 0 0=O即即 x=y=z=0例例7.若若A=相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣 a x y 0 a z 0 0 b|E A|=(a)2(b)則則(aE A)x=有有2個(gè)線性無關(guān)的解個(gè)線性無關(guān)的解,aE A=0 x y 0 0 z 0 0 b a即即 x=0 故故3 r(aE A)=2,即即r(aE A)=1,定理定理5.5.設(shè)設(shè) 1,2,s 互互不相同不相同則則 11,p1,12,q2,1s,ts 1 2 s L.i.L.i.L.i.線性無關(guān)線性無關(guān)設(shè)設(shè)(c11 11+cp1 p1)+(c12 12+cq2 q2)+(c1s 1s+crs rs)=0 1 s 2A 1=1 1 A 3=3 3 A 2=2 2 于是于是 1 +2 +s=0 定理定理5.6.n階方陣階方陣A與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似 A的每個(gè)的每個(gè)ni重特征重特征值值 i有有ni個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即即 r(iE A)=n ni,i=1,t 其中其中n1+n2+nt=n代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)等于等于 i的的 (特征值特征值 i)注注3.由定理由定理5.4-5，A的屬于的屬于不同特征值不同特征值的的線性無關(guān)線性無關(guān)的特征向量合在一起仍的特征向量合在一起仍線性無關(guān)線性無關(guān)。求求|EA|=0的根的根 有重根嗎有重根嗎?無無 A可以相似對(duì)角化可以相似對(duì)角化 有有 r(iE A)=n ni?否否 A不能相似對(duì)角化不能相似對(duì)角化 是是 求求n個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量特征向量 1,n,令令P=(1,n)P 1AP=diag(1,n)注注:特征向量要與特征特征向量要與特征值的順序相對(duì)應(yīng)值的順序相對(duì)應(yīng) 相相似似對(duì)對(duì)角角化化問問題題解解題題步步驟驟A與與 相似相似 i(ni重重)，有有r(iE A)=n ni 解解:|EA|=(+1)(2)2.1=1,2=3=2.例例8.設(shè)設(shè)，求可逆陣，求可逆陣P和對(duì)角陣和對(duì)角陣，使得，使得 P1AP=；并計(jì)算并計(jì)算Ak。(2EA)x=0的基礎(chǔ)解系：的基礎(chǔ)解系：1=(1,4,0)T，2=(1,0,4)T當(dāng)當(dāng) 1=1時(shí)，時(shí)，(EA)x=0的基礎(chǔ)解系：的基礎(chǔ)解系：3=(1,0,1)T當(dāng)當(dāng) 2=3=2時(shí)，時(shí)，使得使得 P1AP=求求斐波那契斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng) 二階遞二階遞推公式推公式因此因此求求斐波那契斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng) 由由由由求求斐波那契斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng) 1,1,2,3,5,8,13,一個(gè)正整數(shù)序列的通項(xiàng)，竟然可以用帶有無理數(shù)的式子表達(dá)，一個(gè)正整數(shù)序列的通項(xiàng)，竟然可以用帶有無理數(shù)的式子表達(dá)，這是十分這是十分意外的結(jié)果意外的結(jié)果。斐波那契斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)列與黃金分割“黃金分割黃金分割”比喻這一比喻這一“分割分割”如黃金一樣珍貴。如黃金一樣珍貴。黃金比是工藝美術(shù)、建筑、攝影等藝術(shù)門類中審美黃金比是工藝美術(shù)、建筑、攝影等藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的恰到好處的“合諧合諧”。稱為第二黃金比稱為第二黃金比例例9.(見見P184，例，例5.10)例例10.設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A滿足滿足A2=E，則，則A相似于對(duì)角陣。相似于對(duì)角陣。例例11.設(shè)矩陣設(shè)矩陣 ，問，問k取何值時(shí)，取何值時(shí)，A相相似于對(duì)角陣似于對(duì)角陣，并求相似變換矩陣，并求相似變換矩陣P。