【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件

【幾何與代數(shù)】教學(xué)課件,幾何與代數(shù),幾何,代數(shù),教學(xué),課件 幾幾 何何 與與 代代 數(shù)數(shù)l 重要性重要性 工科基礎(chǔ)工科基礎(chǔ) 考研基礎(chǔ)考研基礎(chǔ)l 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 64 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí),共共16 周課周課l 成績(jī)成績(jī) 平時(shí)平時(shí)5%,實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)5%，期末期末90%一、教學(xué)內(nèi)容一、教學(xué)內(nèi)容 線性代數(shù)線性代數(shù)(抽象抽象)為了解決多變量問題為了解決多變量問題 形成的學(xué)科形成的學(xué)科.（代數(shù)為幾何提供了便利（代數(shù)為幾何提供了便利 的研究工具的研究工具,幾何為代數(shù)幾何為代數(shù) 提供了直觀想象的空間提供了直觀想象的空間).解析幾何解析幾何(直觀直觀)相相互互支支撐撐相相互互促促進(jìn)進(jìn)二、課程特點(diǎn)二、課程特點(diǎn)l 內(nèi)容（抽象）內(nèi)容（抽象）l 三多（概念多、符號(hào)多、定理多）三多（概念多、符號(hào)多、定理多）l 計(jì)算（原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量大）計(jì)算（原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量大）l 證明（簡(jiǎn)潔、技巧）證明（簡(jiǎn)潔、技巧）l 應(yīng)用（廣泛）應(yīng)用（廣泛）掌握三基掌握三基基本基本概念概念(定義、符號(hào)定義、符號(hào))基本基本理論理論(定理、公式定理、公式)基本基本方法方法(計(jì)算、證明計(jì)算、證明)提前預(yù)習(xí)提前預(yù)習(xí)了解概念與方法了解概念與方法動(dòng)手動(dòng)腦動(dòng)手動(dòng)腦深入體會(huì)思想方法深入體會(huì)思想方法能力培養(yǎng)能力培養(yǎng)自學(xué)自學(xué)能力能力，分析問題，分析問題能力能力 和解決問題和解決問題能力能力三、學(xué)習(xí)方法三、學(xué)習(xí)方法第一章第一章 行列式和線性方程組的求解行列式和線性方程組的求解1.1 二二階、三、三階行列式行列式1.2 n 階行列式的概念行列式的概念1.3 行列式的性行列式的性質(zhì)1.4 線性方程性方程組的求解的求解用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入1.1 二二階、三、三階行列式行列式兩式相減，消去兩式相減，消去x2，可得：，可得：方程組的唯一解方程組的唯一解 此解不易記憶，因此有必要引進(jìn)新的符號(hào)此解不易記憶，因此有必要引進(jìn)新的符號(hào)“行列式行列式”來表示解來表示解類似地，消去類似地，消去x1，得：，得：主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則對(duì)角線法則定義：定義：若記若記對(duì)于二元線性方程組對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為注意：注意：分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例例1.求解二元線性方程組求解二元線性方程組解：解：二、三階行列式可以用對(duì)角線法則定義二、三階行列式可以用對(duì)角線法則定義說明說明(1)：對(duì)角線法則對(duì)角線法則只適用二階、三階只適用二階、三階行列式行列式 (2)：三階行列式有三階行列式有6（或（或 3!）項(xiàng)）項(xiàng)(3正，正，3負(fù)負(fù))；每；每一項(xiàng)為不同行、不同列三個(gè)元素的乘積一項(xiàng)為不同行、不同列三個(gè)元素的乘積 如果三元線性方程組如果三元線性方程組的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 則三元一次線性方程組存在唯一解，且其解的則三元一次線性方程組存在唯一解，且其解的形式與二元線性方程組類似形式與二元線性方程組類似若記若記或或記記即即得得得得則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:克萊姆法則克萊姆法則例例2.計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式 解解：按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有例例3.解線性方程組解線性方程組解解:由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式同理可得同理可得故方程組的解為故方程組的解為:怎樣定義怎樣定義n階階行列式行列式?1.排列：排列：由由1,2,n 組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè) n級(jí)排列級(jí)排列,記為記為:例如例如 自然數(shù)自然數(shù)1,2,3 的排列共有六種。的排列共有六種。例如例如 1 2 n 是一個(gè)是一個(gè)n階排列，稱為階排列，稱為自然排列自然排列。一、排列的逆序數(shù)與對(duì)換一、排列的逆序數(shù)與對(duì)換說明：說明：n 階階排列排列共有共有n!種種1.2 n 階行列式的概念行列式的概念2.逆序數(shù)：逆序數(shù)：在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，排在第中，排在第k k個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)j jk k前、但比前、但比j jk k大的數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為大的數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為j jk k在這個(gè)排在這個(gè)排列中的列中的逆序數(shù)逆序數(shù)；一個(gè)排列中所有元素的逆序數(shù)之和，稱為這一個(gè)排列中所有元素的逆序數(shù)之和，稱為這個(gè)個(gè)排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)，記為：，記為：如果如果如果如果為偶數(shù)，則稱為為偶數(shù)，則稱為偶排列偶排列；為奇數(shù)，則稱為為奇數(shù)，則稱為奇排列奇排列。如果如果如果如果例例1.求下列排列的求下列排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)。(1)3 2 5 1 4 (2)n(n 1)(n 2)3 2 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)為偶排列；時(shí)為偶排列；當(dāng)當(dāng) 時(shí)為奇排列。時(shí)為奇排列。當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列；為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列；當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列。為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列。=1+2+k+(k-1)+(k-2)+1+04.定理定理1.1：對(duì)換改變排列的奇偶性對(duì)換改變排列的奇偶性需要進(jìn)行需要進(jìn)行 2s+1 次相鄰對(duì)換，次相鄰對(duì)換，證：證：(1)相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換(2)不相鄰對(duì)換不相鄰對(duì)換所以對(duì)換改變排列的奇偶性。所以對(duì)換改變排列的奇偶性。3.對(duì)換：對(duì)換：對(duì)調(diào)對(duì)調(diào)排列中的任排列中的任兩個(gè)兩個(gè)元素，其余元素不動(dòng)元素，其余元素不動(dòng)相鄰對(duì)換：相鄰對(duì)換：將將相鄰相鄰的兩個(gè)元素對(duì)換的兩個(gè)元素對(duì)換奇排列奇排列s個(gè)個(gè)偶排列偶排列t個(gè)個(gè)(1,2)對(duì)換對(duì)換(1,2)對(duì)換對(duì)換證證：推論推論1.2：全部全部 n(2)階排列中奇偶排列各占一半階排列中奇偶排列各占一半設(shè)設(shè)n!個(gè)個(gè)n階階排列中排列中有有s(t)個(gè)奇?zhèn)€奇(偶偶)排列，則排列，則1.三階行列式分析三階行列式分析 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 二、二、n階行列式的定義階行列式的定義排列排列j1 j2 j3的逆序數(shù)的逆序數(shù) 對(duì)所有對(duì)所有3級(jí)排列級(jí)排列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 二階行列式：二階行列式：2.n階行列式的定義階行列式的定義 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注注注.(1)n階行列式是階行列式是 n!項(xiàng)的代數(shù)和；項(xiàng)的代數(shù)和；(3)n階方陣階方陣A的的行列式，記為行列式，記為|A|或或 detA；(2)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),一階行列式一階行列式|a11|=a11,有正負(fù)號(hào)有正負(fù)號(hào);排列排列j1 j2 jn的逆序數(shù)的逆序數(shù)(4)定義只能計(jì)算一些簡(jiǎn)單的行列式。定義只能計(jì)算一些簡(jiǎn)單的行列式。例例例例2.2.證明：對(duì)角形行列式、上證明：對(duì)角形行列式、上(下下)三角形行列式都三角形行列式都等于其主對(duì)角元素的乘積，即等于其主對(duì)角元素的乘積，即以下三角行列式為例來證明。以下三角行列式為例來證明。先確定所有可能的非零項(xiàng)先確定所有可能的非零項(xiàng) 其次求非零項(xiàng)的符號(hào)其次求非零項(xiàng)的符號(hào)證：證：證：證：其中其中*表示此處元素可以是任意的數(shù)表示此處元素可以是任意的數(shù)例例例例3.3.例例4.設(shè)設(shè)A=(aij)nn,證明證明f()=|IA|是是 的的n次次 多項(xiàng)式多項(xiàng)式,并求并求 n,n1的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf()=|IA|=d d1 1=(=(a11)()(a22)()(ann)f(0)=|A|A的的跡跡,記為記為trA =(1)n|A|=(1)n例例5.已知已知，求，求x3項(xiàng)的系數(shù)。項(xiàng)的系數(shù)。解解:含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng),即即對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于所以所以x3項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為-1。三、行列式的轉(zhuǎn)置三、行列式的轉(zhuǎn)置1.引理引理1.1：將一般項(xiàng)將一般項(xiàng) 的因子次序的因子次序調(diào)整為調(diào)整為 ，則，則 與與 有相同的奇偶性。有相同的奇偶性。每一次調(diào)整一般項(xiàng)中兩個(gè)因子的次序，相當(dāng)于每一次調(diào)整一般項(xiàng)中兩個(gè)因子的次序，相當(dāng)于其其行下標(biāo)行下標(biāo)與與列下標(biāo)列下標(biāo)的排列各作一次對(duì)換。因此行、的排列各作一次對(duì)換。因此行、列下標(biāo)逆序數(shù)之和的奇偶性不變。列下標(biāo)逆序數(shù)之和的奇偶性不變。2.n階行列式的等價(jià)定義階行列式的等價(jià)定義 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann3.3.性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1.11.1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式。的轉(zhuǎn)置行列式。記記證：證：按定義按定義 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺紻可表示為可表示為故故說明：說明：行列式中行列式中行與列的地位相同行與列的地位相同，凡是對(duì)行成，凡是對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立。立的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立。一、行列式的基本性質(zhì)一、行列式的基本性質(zhì)1.3 行列式的性行列式的性質(zhì)考慮考慮n 階行列式階行列式 行列式一般不直接用定義計(jì)算，而是利用行行列式一般不直接用定義計(jì)算，而是利用行列式性質(zhì)，化簡(jiǎn)行列式后再進(jìn)行計(jì)算。列式性質(zhì)，化簡(jiǎn)行列式后再進(jìn)行計(jì)算。由于關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣成立，由于關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣成立，下面下面只討論行列式關(guān)于行的性質(zhì)只討論行列式關(guān)于行的性質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1.2：互換行列式的兩行，行列式變號(hào)?；Q行列式的兩行，行列式變號(hào)。證：證：證：證：設(shè)行列式設(shè)行列式是由行列式是由行列式 D 交換第交換第i 和第和第j 兩行得到的兩行得到的（不妨假設(shè)（不妨假設(shè)i j）即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),于是于是則后一個(gè)排列是由前者對(duì)則后一個(gè)排列是由前者對(duì)pi 和和pj 進(jìn)行一次對(duì)換進(jìn)行一次對(duì)換得到的，它們奇偶性不同，于是得到的，它們奇偶性不同，于是例如例如推論推論.如果行列式有兩行完全相同，則此行列式如果行列式有兩行完全相同，則此行列式為零。為零。故故性質(zhì)性質(zhì)1.3：用數(shù)用數(shù)k 乘以乘以行列式的某一行，相當(dāng)于行列式的某一行，相當(dāng)于用數(shù)用數(shù)k 乘以該行列式。乘以該行列式。（證明類似性質(zhì)（證明類似性質(zhì)1.2，略），略）推論推論推論推論.行列式某一行中所有元素的公因子可以提行列式某一行中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。到行列式符號(hào)的外面。性質(zhì)性質(zhì)1.4：行列式中如果有兩行元素成比例，則行列式中如果有兩行元素成比例，則該行列式為零。該行列式為零。（由性質(zhì)（由性質(zhì)1.2和性質(zhì)和性質(zhì)1.3的推論可證）的推論可證）性質(zhì)性質(zhì)1.5：如果如果行列式某行元素是兩組數(shù)之和，行列式某行元素是兩組數(shù)之和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和。則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和。（證明類似性質(zhì)（證明類似性質(zhì)1.2，略），略）性質(zhì)性質(zhì)1.6：將將行列式某一行的各元素乘以常數(shù)，行列式某一行的各元素乘以常數(shù)，加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去，則行列式值不變。加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去，則行列式值不變。（由性質(zhì)（由性質(zhì)1.4和性質(zhì)和性質(zhì)1.5可證）可證）例例1.計(jì)算行列式計(jì)算行列式 下面通過例子，介紹怎樣應(yīng)用行列式性質(zhì)計(jì)算下面通過例子，介紹怎樣應(yīng)用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式。行列式?；痉椒ㄒ唬ɑ癁槿切位痉椒ㄒ唬ɑ癁槿切危海簯?yīng)用行列式性質(zhì)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，將行列式化為上（下）三角形行列式，再求行列將行列式化為上（下）三角形行列式，再求行列式值。式值。解解：r3提公因子提公因子3 例例2.計(jì)算計(jì)算n 階行列式階行列式解解:將第將第 都加到第一列，得都加到第一列，得提出第提出第1列公因子列公因子各行減去第各行減去第1行行例例3.證明證明:證明證明:本題結(jié)論可以本題結(jié)論可以直接應(yīng)用直接應(yīng)用練習(xí)：練習(xí)：已知已知abcd=1，計(jì)算，計(jì)算4階行列式階行列式 說明：說明：將行列式化為三角形，再進(jìn)行計(jì)算的方將行列式化為三角形，再進(jìn)行計(jì)算的方法，只對(duì)某些特殊的行列式有效；更多時(shí)候非常法，只對(duì)某些特殊的行列式有效；更多時(shí)候非常麻煩、甚至難以化為三角形行列式。麻煩、甚至難以化為三角形行列式。提示：提示：前一個(gè)行列式提出因子前一個(gè)行列式提出因子abcd。二、行列式按行（列）展開二、行列式按行（列）展開 aij 的余子式的余子式 Mij：a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annD=劃去劃去aij 所在行、列所在行、列得到的得到的n-1階行列式階行列式比如比如M22：aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 1.余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式例如例如 行列式中的每個(gè)元素都可以分別對(duì)應(yīng)一個(gè)余子行列式中的每個(gè)元素都可以分別對(duì)應(yīng)一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式。式和一個(gè)代數(shù)余子式。2.行列式展開定理行列式展開定理定理定理1.2：n階行列式階行列式D=det(aij)等于它任意行（列）等于它任意行（列）的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即的各元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即或或證：證：將行列式第將行列式第i 行的每個(gè)元素寫成行的每個(gè)元素寫成n個(gè)數(shù)之和，則個(gè)數(shù)之和，則行列式行列式D拆成拆成n個(gè)個(gè)行列式之和行列式之和其中其中aij 非零的那個(gè)行列式記為：非零的那個(gè)行列式記為：將將Dij的第的第i行依次與第行依次與第i-1行、第行、第i-2行，行，第，第1行交行交換換，這時(shí)這時(shí)元素元素 到第到第1行，其余行之行，其余行之間間的相的相對(duì)對(duì)位置，位置，則則沒有沒有發(fā)發(fā)生改生改變變。再將它的。再將它的第第j列依次與第列依次與第j-1列、第列、第j-2列，列，第，第1列交換，這時(shí)元素列交換，這時(shí)元素 到了第到了第1行、第行、第1列。列。中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有由分塊下三角由分塊下三角形行列式形行列式3.推論推論1.3：n階行列式的任一行（列）的元素，階行列式的任一行（列）的元素，與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即當(dāng)和為零，即當(dāng)i j 時(shí)，時(shí)，說明：說明：定理定理1.2表明表明n階行列式可以化為階行列式可以化為n-1階行階行列式進(jìn)行計(jì)算，所以定理列式進(jìn)行計(jì)算，所以定理1.2被稱為被稱為行列式展開定行列式展開定理理。基本方法二（逐次降階法基本方法二（逐次降階法）：）：先利用行列式性先利用行列式性質(zhì)，質(zhì)，將某行（列）將某行（列）化簡(jiǎn)至只有個(gè)別非零元素，然化簡(jiǎn)至只有個(gè)別非零元素，然后將行列式按該行（列）展開并降階，后將行列式按該行（列）展開并降階，直，直到到2、3階階行列式行列式進(jìn)進(jìn)行直接行直接計(jì)計(jì)算。算。例例例例4.4.計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算行列式行列式按第按第3行展開行展開按第按第3列展開列展開 證：證：用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例5.證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式范德蒙德行列式的結(jié)果范德蒙德行列式的結(jié)果可以作為公式使用可以作為公式使用 rn-x1rn-1，rn-1-x1rn-2，r2-x1r1 n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式 說明：說明：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明；）數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）逐行相減法化簡(jiǎn)行列式）逐行相減法化簡(jiǎn)行列式 練習(xí)：練習(xí)：計(jì)算行列式計(jì)算行列式提示：提示：利用逐行相減技術(shù)利用逐行相減技術(shù)（1）：）：提示：提示：利用利用范德蒙德行列式進(jìn)行計(jì)算。范德蒙德行列式進(jìn)行計(jì)算。（2）：）：三、行列式的計(jì)算三、行列式的計(jì)算 計(jì)算行列式時(shí)，需要根據(jù)行列式的特點(diǎn)，選擇計(jì)算行列式時(shí)，需要根據(jù)行列式的特點(diǎn)，選擇適合的方法，逐步化簡(jiǎn)，最終求出結(jié)果。適合的方法，逐步化簡(jiǎn)，最終求出結(jié)果。計(jì)算計(jì)算n+1階行列式階行列式(爪形爪形)其中其中例例6.解：解：解：解：當(dāng)當(dāng) 全不為零時(shí)全不為零時(shí)1.化為三角形行列式計(jì)算化為三角形行列式計(jì)算注：注：例例6爪形行列式的結(jié)論，在計(jì)算行列式時(shí)可以直接爪形行列式的結(jié)論，在計(jì)算行列式時(shí)可以直接使用。使用。計(jì)算計(jì)算n+1階行列式階行列式例例7.解解:將第將第 都加到第一列，得：都加到第一列，得：行列式的每一行都是由同樣的行列式的每一行都是由同樣的x,a1,an構(gòu)構(gòu)成，即它成，即它們們的行和是相同的。的行和是相同的。提取行列式第一列的公因子，得提取行列式第一列的公因子，得練習(xí)：練習(xí)：計(jì)算行列式計(jì)算行列式提示：提示：分析分析行列式的每行元素行列式的每行元素2.化為低階行列式計(jì)算化為低階行列式計(jì)算計(jì)算行列式計(jì)算行列式例例8.提出提出r1公因子公因子按第按第1行展開行展開提出提出r1公因子公因子按第按第1行展開行展開計(jì)算計(jì)算n階階3對(duì)角行列式對(duì)角行列式例例9.解解:本題有本題有5種解法，包括兩種遞推方法、方程組種解法，包括兩種遞推方法、方程組方法、完全拆項(xiàng)法和歸納證明法方法、完全拆項(xiàng)法和歸納證明法解法一（解法一（遞推法遞推法1）：）：先將先將Dn按第按第1行展開行展開按第按第1列展開列展開由此構(gòu)造遞推式由此構(gòu)造遞推式求解遞推式求解遞推式 （1 1）（a）（an-2）相加后得到相加后得到解法二（解法二（遞推法遞推法2）：）：先將先將Dn第第1列拆成列拆成2列之和列之和（遞推式同解法一，以下過程略）（遞推式同解法一，以下過程略）解法三（方程組方法解法三（方程組方法）：）：假設(shè)假設(shè)a b在行列式在行列式Dn中，參數(shù)中，參數(shù)a、b地位是對(duì)稱的，由式地位是對(duì)稱的，由式解法四（完全拆項(xiàng)法解法四（完全拆項(xiàng)法）：）：將將Dn的每列都拆成的每列都拆成2列之和列之和從理論上說，從理論上說，Dn拆開后是拆開后是2n 個(gè)行列式之和。個(gè)行列式之和。但是由于每列但是由于每列后項(xiàng)后項(xiàng)與下一列與下一列前項(xiàng)前項(xiàng)成比例，所成比例，所以拆開后的非零行列式僅有以拆開后的非零行列式僅有n+1個(gè)。個(gè)。（請(qǐng)同學(xué)們回去自己確定）（請(qǐng)同學(xué)們回去自己確定）練習(xí)：練習(xí)：用遞推方法計(jì)算行列式用遞推方法計(jì)算行列式提示：提示：對(duì)對(duì)行列式的最后一列進(jìn)行拆項(xiàng)行列式的最后一列進(jìn)行拆項(xiàng)3.其它方法計(jì)算行列式其它方法計(jì)算行列式用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：例例10.證：證：對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法n=1時(shí)，時(shí)，結(jié)論成立結(jié)論成立n=2時(shí)，時(shí)，假設(shè)對(duì)階數(shù)小于假設(shè)對(duì)階數(shù)小于n的行列式，結(jié)論成立；的行列式，結(jié)論成立；則對(duì)于則對(duì)于n階行列式階行列式按最后一行展開行列式，則按最后一行展開行列式，則由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)命題得證。命題得證。計(jì)算行列式計(jì)算行列式例例11.（見書（見書25頁例頁例1.18）1.4 線性方程性方程組的求解的求解 本節(jié)先將二階、三階線性方程組的本節(jié)先將二階、三階線性方程組的Cramer法法則推廣到則推廣到n階線性方程組；然后介紹求解一般線階線性方程組；然后介紹求解一般線性方程組的性方程組的Gauss消元法及相應(yīng)的初等行變換。消元法及相應(yīng)的初等行變換。非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組非齊次與齊次線性方程組設(shè)含設(shè)含n個(gè)變量、由個(gè)變量、由n個(gè)方程個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組構(gòu)成的線性方程組則稱此方程組為則稱此方程組為非非 齊次線性方程組齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.注：齊次注：齊次線性方程組，主要關(guān)注它線性方程組，主要關(guān)注它是否有非零是否有非零解解，如何求出全部非零解；，如何求出全部非零解；非齊次非齊次線性方程組，線性方程組，則是它則是它何時(shí)有解何時(shí)有解，如何求解。，如何求解。一、一、Cramer法則法則1.定理定理1.2：如果由含如果由含n個(gè)變量、個(gè)變量、n個(gè)方程構(gòu)成的線性個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組方程組的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即則線性方程組則線性方程組(1)有唯一解有唯一解其中其中Dj是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式D中第中第j列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即階行列式，即證明證明:先證明先證明(2)是是(1)的解；再證明解唯一。的解；再證明解唯一。將行列式將行列式Dj按第按第j列展開：列展開：將將 代入代入(1)的的第第i個(gè)方程左邊，得個(gè)方程左邊，得 將將 代入代入(1)的的第第i個(gè)方程左邊，得個(gè)方程左邊，得代入代入Dj提出提出bj展開定理展開定理所以所以(2)滿足滿足(1)的每個(gè)方程，是的每個(gè)方程，是(1)的解。的解。對(duì)對(duì)(1)的任意一組解的任意一組解 用用D中第中第j列元素的代數(shù)余子式列元素的代數(shù)余子式 ，依次乘方程組依次乘方程組(1)的的n個(gè)方程，得個(gè)方程，得 是解是解將將n個(gè)方程依次相加，并提出個(gè)方程依次相加，并提出 ，得，得根據(jù)展開定理及其推論，得根據(jù)展開定理及其推論，得即方程組即方程組(1)的任意一組解均可唯一表示為：的任意一組解均可唯一表示為：解唯一解唯一例例1.用用Cramer法則解線性方程組法則解線性方程組解解:2.推論推論1.4：如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式為零。有非零解，則其系數(shù)行列式為零。說明說明(1).Cramer法則要求線性方程組滿足法則要求線性方程組滿足2個(gè)個(gè)條件，條件，一是方程個(gè)數(shù)等于變量個(gè)數(shù)；二是系數(shù)行一是方程個(gè)數(shù)等于變量個(gè)數(shù)；二是系數(shù)行列式非零。列式非零。說明說明(2).Cramer法則可以應(yīng)用求解齊次線性方法則可以應(yīng)用求解齊次線性方程組。程組。（用反證法證明）（用反證法證明）說明說明(3).推論推論1.4的等價(jià)命題：如果齊次線性方的等價(jià)命題：如果齊次線性方程組程組(3)的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零解。解。說明說明(4).可以證明，推論可以證明，推論1.4的逆命題也成立，的逆命題也成立，即如果系數(shù)行列式為零，則方程組即如果系數(shù)行列式為零，則方程組(3)有非零解。有非零解。例例2.參數(shù)參數(shù)取何值時(shí)，齊次方程組取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？有非零解？解：解：首先計(jì)算方程組的系數(shù)行列式首先計(jì)算方程組的系數(shù)行列式根據(jù)說明根據(jù)說明(4)，D=0時(shí)，齊次方程組有非零解。時(shí)，齊次方程組有非零解。所以所以 或或 時(shí)齊次方程組有非零解時(shí)齊次方程組有非零解.注注1：Cramer法則建立了線性方程組的解和它的法則建立了線性方程組的解和它的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。對(duì)于階數(shù)較大的線性系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。對(duì)于階數(shù)較大的線性方程組，它需要很大的計(jì)算量，故方程組，它需要很大的計(jì)算量，故Cramer法則主法則主要用于理論推導(dǎo)。要用于理論推導(dǎo)。注注2：Cramer法則用于求解滿足法則用于求解滿足 (1)方程數(shù)方程數(shù)=變量數(shù)變量數(shù) (2)系數(shù)行列式非零系數(shù)行列式非零的線性方程組。如果上面有一個(gè)條件不能滿足，的線性方程組。如果上面有一個(gè)條件不能滿足，就無法使用，對(duì)于一般的線性方程組問題，需要就無法使用，對(duì)于一般的線性方程組問題，需要尋找新的求解方法。尋找新的求解方法。二、二、Gauss消元法消元法由由n個(gè)變量、個(gè)變量、m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組 線性方程組線性方程組(4)如果有解，稱為是如果有解，稱為是相容的相容的；如果；如果沒有解，稱為是沒有解，稱為是不相容的不相容的。線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的解解集合集合；具有相同解集合的方程組稱為是；具有相同解集合的方程組稱為是同解的同解的。消元法引例消元法引例例例3.求解線性方程組求解線性方程組解：解：消元過程消元過程得到階梯形方程組，再回代求解，得得到階梯形方程組，再回代求解，得方法小結(jié)：方法小結(jié)：1.上述解方程組的方法稱為上述解方程組的方法稱為Gauss消元法消元法，該，該方法理論上可以求任意線性方程組的解；方法理論上可以求任意線性方程組的解；2.對(duì)線性方程組進(jìn)行的消元過程，用到如下三對(duì)線性方程組進(jìn)行的消元過程，用到如下三種變換：種變換：（1）交換方程次序；交換方程次序；（2）以非零數(shù)乘某個(gè)方程；以非零數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程的一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上。倍加到另一個(gè)方程上。（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）（以替換）（以替換）3.上述三種變換都是可逆的。上述三種變換都是可逆的。對(duì)線性方程組進(jìn)行的這三種變換統(tǒng)稱為對(duì)線性方程組進(jìn)行的這三種變換統(tǒng)稱為線性方線性方程組的初等變換程組的初等變換。由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是同解變換同解變換。在用在用Gauss消元法求解線性方程組的過程中，消元法求解線性方程組的過程中，參與運(yùn)算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。參與運(yùn)算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要引入新的工具。引入新的工具。三、矩陣及其初等行變換三、矩陣及其初等行變換1.矩陣定義矩陣定義 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表稱為稱為mn 階階矩陣矩陣，其中，其中aij 稱為稱為矩陣的元素矩陣的元素。矩陣用大寫字母表示：矩陣用大寫字母表示：實(shí)矩陣實(shí)矩陣與與復(fù)矩陣復(fù)矩陣 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣，稱為的矩陣，稱為n 階方陣階方陣或或n 階矩陣階矩陣；2.特殊矩陣特殊矩陣 只有一行的矩陣稱為只有一行的矩陣稱為行矩陣行矩陣或或行向量行向量；只有一；只有一列的矩陣稱為列的矩陣稱為列矩陣列矩陣或或列向量列向量；例如例如是一個(gè)是一個(gè)3 階方陣。階方陣。n維維行矩陣行矩陣n維列維列矩陣矩陣11階階矩陣矩陣 具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為同型矩陣同型矩陣；如；如果兩個(gè)矩陣是同型的，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也相果兩個(gè)矩陣是同型的，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也相同，則稱它們是同，則稱它們是相等的相等的。3.矩陣相等矩陣相等4.線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣由由n個(gè)變量、個(gè)變量、m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣（系數(shù)）矩陣增廣（系數(shù)）矩陣 說明：說明：Gauss消元法實(shí)際上只需要消元法實(shí)際上只需要方程組的系數(shù)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)參與運(yùn)算，即通過對(duì)增廣矩陣的操作就和常數(shù)項(xiàng)參與運(yùn)算，即通過對(duì)增廣矩陣的操作就可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的初等行變換。初等行變換。下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換:5.矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換（1）交換矩陣兩行（交換交換矩陣兩行（交換i,j兩行，記為兩行，記為rirj）；）；（2）用非零數(shù)乘矩陣某行（用非零數(shù)乘矩陣某行（k乘乘i行，記為行，記為kri）；）；（3）矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（k乘乘j行行后加到后加到i行，記為行，記為ri+krj）。）。注：注：利用矩陣的初等行變換，利用矩陣的初等行變換，Gauss消元法的求消元法的求解過程，可以通過對(duì)增廣矩陣的初等行變換進(jìn)行。解過程，可以通過對(duì)增廣矩陣的初等行變換進(jìn)行。（分析消元過程結(jié)束時(shí)的增廣矩陣，和回代（分析消元過程結(jié)束時(shí)的增廣矩陣，和回代過程結(jié)束時(shí)的增廣矩陣形式）過程結(jié)束時(shí)的增廣矩陣形式）6.階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣 滿足下列條件的矩陣滿足下列條件的矩陣A稱為稱為階梯形矩陣階梯形矩陣 （1）若）若A有零行有零行(元素全為零的行元素全為零的行)，則零行位，則零行位于最下方于最下方;（2）非零行的非零首元）非零行的非零首元(自左至右第一個(gè)不為自左至右第一個(gè)不為零的元，稱為零的元，稱為主元主元)列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增。列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增。1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,階梯形矩陣階梯形矩陣 滿足以下條件的滿足以下條件的階梯矩陣階梯矩陣稱為稱為簡(jiǎn)化階梯形矩陣簡(jiǎn)化階梯形矩陣 （1）A的每個(gè)非零首元均為的每個(gè)非零首元均為1;（2）非零首元所在列其余元素均為）非零首元所在列其余元素均為0。1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0簡(jiǎn)化階梯形矩陣簡(jiǎn)化階梯形矩陣 說明：說明：對(duì)階梯形對(duì)階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換（相矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換（相當(dāng)于當(dāng)于Gauss消元法的回代過程），最終階梯形矩陣消元法的回代過程），最終階梯形矩陣化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣?；癁楹?jiǎn)化階梯形矩陣。例例4.用用Gauss消元法求解方程組消元法求解方程組（教材（教材P33例例1.22）例例5.討論方程組解的情況討論方程組解的情況 （教材（教材P34例例1.23）線性方程組線性方程組Ax=b增廣矩陣增廣矩陣A,b階梯形方程組階梯形方程組A1x=b1階梯形增廣陣階梯形增廣陣A1,b1簡(jiǎn)化階梯形簡(jiǎn)化階梯形A2,b2解的方程形式解的方程形式A2x=b2 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 初等變換消元初等變換消元 初等行變換初等行變換 回代求解回代求解 初等行變換初等行變換 注：注：Gauss消元法的求解過程，與增廣矩陣的初消元法的求解過程，與增廣矩陣的初等行變換，是完全對(duì)應(yīng)的。等行變換，是完全對(duì)應(yīng)的。注：注：對(duì)增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對(duì)增廣矩陣的每一次初等行變換，都等于對(duì)方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；對(duì)方程組的一次初等變換，不改變方程組的解；當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過連續(xù)的初等行變換，化為階梯形矩陣時(shí)，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。矩陣時(shí)，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3 主元主元 自由變量自由變量 階梯形線性階梯形線性方程組三種方程組三種基本類型基本類型 階梯形方程組（階梯形方程組（A階梯數(shù)階梯數(shù)r1，A,b階梯數(shù)階梯數(shù)r2）2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3 0=0無解無解 唯一解唯一解 無窮多解無窮多解 2 3 4 1 0 2 1 20 0 0 12 1 2 8 0 2 1 10 0 1 51 2 1 1 2 0 0 1 4 30 0 0 0 0解的數(shù)目解的數(shù)目 Ax=bAx=bA,b A,br2=r1+1 r2=r1=n r2=r1 n 四、齊次線性方程組有非零解充分條件四、齊次線性方程組有非零解充分條件1.定理定理1.4：當(dāng)當(dāng)m n時(shí)，含時(shí)，含n個(gè)變量、個(gè)變量、m個(gè)方程的齊個(gè)方程的齊次線性方程組必有非零解。次線性方程組必有非零解。證：證：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換初等行變換，化化為階梯形矩陣為階梯形矩陣，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程，相應(yīng)的方程組也成為階梯形方程組。組。階梯形矩陣的階梯形矩陣的階梯數(shù)階梯數(shù)，不超過方程的個(gè)數(shù)不超過方程的個(gè)數(shù)，小小于變量數(shù)于變量數(shù)（即矩陣列數(shù)），故（即矩陣列數(shù)），故存在自由變量存在自由變量，方，方程組有無窮多解。程組有無窮多解。注：注：利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的階梯數(shù)，判別利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的階梯數(shù)，判別方程組是否有解，也適用于齊次線性方程組。方程組是否有解，也適用于齊次線性方程組。2.定理定理1.5：齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為零。（證明略）（證明略）第二章第二章 矩陣矩陣2.1 矩矩陣的代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)運(yùn)算 一一.矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算二二.矩陣的乘法矩陣的乘法三三.矩陣的矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置四四.矩陣的共軛矩陣的共軛 矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)及其重要、應(yīng)用廣泛的工具，矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)及其重要、應(yīng)用廣泛的工具，也是代數(shù)主要的研究對(duì)象和運(yùn)算手段。也是代數(shù)主要的研究對(duì)象和運(yùn)算手段。給出矩陣的定義后，需要制定矩陣的運(yùn)算規(guī)則。給出矩陣的定義后，需要制定矩陣的運(yùn)算規(guī)則。1.加法定義加法定義一、矩陣的線性運(yùn)算一、矩陣的線性運(yùn)算 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)mn階階矩陣矩陣A=(aij)，B=(bij)，則稱，則稱矩陣矩陣 C=(aij+bij)是是A與與B的的和和，記作，記作C=A+B。說明說明(1)：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣同型矩陣時(shí)，才能時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。進(jìn)行加法運(yùn)算。例如例如:說明說明(2)：規(guī)定兩個(gè)特殊的矩陣：規(guī)定兩個(gè)特殊的矩陣：(i)元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣，階階零矩陣記作零矩陣記作 或或 。(ii)稱矩陣稱矩陣 為為 的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣，記，記為為 。2.加法運(yùn)算律（加法運(yùn)算律（4條）條）說明說明(3)：利用矩陣加法和負(fù)矩陣概念，規(guī)定矩利用矩陣加法和負(fù)矩陣概念，規(guī)定矩陣的陣的差差為：為：A B=A+(B)。3.數(shù)乘定義數(shù)乘定義 設(shè)設(shè)mn階階矩陣矩陣A=(aij)，k是數(shù)，則矩陣是數(shù)，則矩陣(kaij)稱為稱為k與與A的的數(shù)乘數(shù)乘，記為，記為kA。說明說明(4)：矩陣的加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為矩陣的矩陣的加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算。4.數(shù)乘運(yùn)算律（數(shù)乘運(yùn)算律（4條）條）（設(shè)（設(shè)A、B為同型矩陣，為同型矩陣，k、l為數(shù)）為數(shù)）注：注：運(yùn)算律運(yùn)算律(1)-(8)是線性運(yùn)算的基本性質(zhì)，是判是線性運(yùn)算的基本性質(zhì)，是判別線性運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)。別線性運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)。矩陣的線性運(yùn)算還滿足：矩陣的線性運(yùn)算還滿足：該乘積記為該乘積記為 C=AB。二、矩陣乘法二、矩陣乘法 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣，是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩陣與矩陣B的乘積是一個(gè)的乘積是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中1.定義定義例如：例如：例例1.設(shè)設(shè) 說明說明(1)：矩陣乘法是有條件的，只有當(dāng)矩陣乘法是有條件的，只有當(dāng)A的列數(shù)的列數(shù)=B的行數(shù)時(shí)，的行數(shù)時(shí)，AB才有意義。且此時(shí)才有意義。且此時(shí) AB的行數(shù)的行數(shù)=A的行數(shù)的行數(shù) AB的列數(shù)的列數(shù)=B的列數(shù)的列數(shù) 說明說明(2)：AB的的第第i行行j列元素列元素，是，是A的第的第i行行與與B的的第第j列列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。故故 解：解：例例2.AB是是 23階矩陣，但是階矩陣，但是BA不存在。不存在。說明說明(3)：矩陣乘法的定義，導(dǎo)致矩陣乘法不能矩陣乘法的定義，導(dǎo)致矩陣乘法不能滿足熟知的性質(zhì)。如滿足熟知的性質(zhì)。如矩陣乘法一般不滿足交換律矩陣乘法一般不滿足交換律：(1)(2)AB是是11階矩陣，階矩陣，BA是是33階矩陣，不相等。階矩陣，不相等。(3)AB與與BA均是均是22階矩陣，但不相等。階矩陣，但不相等。*如果滿足如果滿足AB=BA，則稱，則稱A與與B是是可交換的?？山粨Q的。說明說明(4)：例例2(3)的結(jié)果表明：的結(jié)果表明：AB=0 A=0 或或 B=0或者說：或者說：矩陣乘法一般不滿足消去律矩陣乘法一般不滿足消去律：AB=AC B=C *在一定條件下在一定條件下(如如A可逆可逆)，矩陣乘法滿足，矩陣乘法滿足消去律消去律。2.一些特殊矩陣一些特殊矩陣 (1)對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,dn)=d1 0 0 0 d2 0 0 0 dn 請(qǐng)觀察，對(duì)角矩陣請(qǐng)觀察，對(duì)角矩陣D與與n階矩陣階矩陣A相乘時(shí)，相乘時(shí)，DA與與AD的結(jié)果，它們各對(duì)矩陣的結(jié)果，它們各對(duì)矩陣A作了什么變換？作了什么變換？(3)單位矩陣單位矩陣 (2)數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣 數(shù)量矩陣和單位矩陣，與任何數(shù)量矩陣和單位矩陣，與任何n階矩陣都是可交階矩陣都是可交換的；數(shù)量矩陣與矩陣換的；數(shù)量矩陣與矩陣A相乘，相當(dāng)于用常數(shù)乘以相乘，相當(dāng)于用常數(shù)乘以矩陣矩陣A，因此得名；單位矩陣與矩陣，因此得名；單位矩陣與矩陣A相乘，矩陣相乘，矩陣A不變。不變。(4)三角形矩陣三角形矩陣 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann 上三角矩陣上三角矩陣：方陣的主對(duì)角線以下的元素全為：方陣的主對(duì)角線以下的元素全為0 下三角矩陣下三角矩陣：方陣的主對(duì)角線以上的元素全為：方陣的主對(duì)角線以上的元素全為0 練習(xí)練習(xí).證明：上三角陣的乘積仍然是上三角陣。證明：上三角陣的乘積仍然是上三角陣。3.矩陣乘法運(yùn)算律矩陣乘法運(yùn)算律 4.方陣的正整數(shù)冪方陣的正整數(shù)冪A2=AA,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl設(shè)矩陣設(shè)矩陣A 是是n 階方陣，規(guī)定階方陣，規(guī)定 方陣冪滿足性質(zhì)：方陣冪滿足性質(zhì)：5.方陣的多項(xiàng)式方陣的多項(xiàng)式 設(shè)設(shè)A為一個(gè)方陣，為一個(gè)方陣，f(x)為一個(gè)多項(xiàng)式為一個(gè)多項(xiàng)式 稱之為稱之為方陣方陣A的一個(gè)多項(xiàng)式。的一個(gè)多項(xiàng)式。f(x)=asxs+as 1xs 1+a1x+a0 f(A)=asAs+as 1As 1+a1A+a0E 例例3：例例4.設(shè)矩陣設(shè)矩陣A是對(duì)稱矩陣，計(jì)算乘積：是對(duì)稱矩陣，計(jì)算乘積：=(）例例5.由此歸納出：由此歸納出：下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。當(dāng)當(dāng) k=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)假設(shè) 時(shí)成立，則時(shí)成立，則 時(shí)，時(shí)，所以對(duì)于任意的所以對(duì)于任意的k都有都有 例例6.關(guān)于關(guān)于Ak的計(jì)算的計(jì)算 解解:思考題思考題 成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么?答：答：故故 成立的充要條件為成立的充要條件為 將矩陣將矩陣A的行，換成同序數(shù)的列，所得到的新矩的行，換成同序數(shù)的列，所得到的新矩陣，稱為陣，稱為A的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作AT。例如例如 1.轉(zhuǎn)置定義轉(zhuǎn)置定義 三、矩陣的轉(zhuǎn)置三、矩陣的轉(zhuǎn)置 說明說明(1)：轉(zhuǎn)置后矩陣的行，就是轉(zhuǎn)置前的列；轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置后矩陣的行，就是轉(zhuǎn)置前的列；轉(zhuǎn)置后的列，就是轉(zhuǎn)置前的行。置后的列，就是轉(zhuǎn)置前的行。2.轉(zhuǎn)置的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置的運(yùn)算性質(zhì) 例例7.計(jì)算計(jì)算(AB)T 解法解法1:解法解法2：3.對(duì)稱與反對(duì)稱矩陣對(duì)稱與反對(duì)稱矩陣 如果如果矩陣矩陣A滿足滿足AT=A，則稱矩陣，則稱矩陣A為為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣；如果如果AT=-A，則稱矩陣，則稱矩陣A為為反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣。說明說明(1)：對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣的定義，也可以對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣的定義，也可以寫成：寫成：A=(aij)是是對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 A=(aij)是反是反對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 說明說明(2)：對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等；反對(duì)稱陣的對(duì)角線元素為零。相等；反對(duì)稱陣的對(duì)角線元素為零。例如例如是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣 例例8.設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 ，E為為n階單位矩陣，階單位矩陣，。證明：證明：H是對(duì)稱矩陣，且是對(duì)稱矩陣，且 證：證：例例9.證明：任一證明：任一n階矩陣階矩陣A，都可以表示成對(duì)稱矩，都可以表示成對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣的和。陣與反對(duì)稱矩陣的和。證證:命題得證命題得證C為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣B為反對(duì)稱矩陣為反對(duì)稱矩陣 矩陣矩陣A=(aij)為復(fù)矩陣，對(duì)為復(fù)矩陣，對(duì)A的每個(gè)元素取共軛后的每個(gè)元素取共軛后得到的矩陣，稱為得到的矩陣，稱為A的的共軛矩陣共軛矩陣，記為，記為例如例如 1.定義定義 四、矩陣的共軛四、矩陣的共軛 記復(fù)數(shù)記復(fù)數(shù)z 的共軛為的共軛為 2.共軛矩陣性質(zhì)共軛矩陣性質(zhì)