2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第三章 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 考點(diǎn)測試25 平面向量的概念及線性運(yùn)算 文（含解析）.docx

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測試25　平面向量的概念及線性運(yùn)算 高考概覽 考綱研讀 1．了解向量的實(shí)際背景 2．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義 3．理解向量的幾何表示 4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義 5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義 6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義 一、基礎(chǔ)小題 1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　由零向量和相反向量的性質(zhì)知①②③④⑤均正確． 2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 答案　D 解析　如m∥0，0∥k，但k與m可能共線也可能不共線，故選D． 3．如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 答案　D 解析　＋＋＝＋＋＝．故選D． 4．下列命題正確的是(　　) A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|>|b|，則a>b C．若a∥b，則a＝b D．若|a|＝0，則a＝0 答案　D 解析　對于A，當(dāng)|a|＝|b|，即向量a，b的模相等時(shí)，方向不確定，故a＝b不一定成立；對于B，向量的模可以比較大小，但向量不可以比較大小，B不正確；C顯然不正確．故選D． 5．關(guān)于平面向量，下列說法正確的是(　　) A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．平面內(nèi)的單位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量 D．共線向量就是相等向量 答案　C 解析　對于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對于C，方向相反的向量一定是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對于D，由共線向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C． 6．已知m，n∈R，a，b是向量，有下列命題： ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，則a＝b； ④若ma＝na，則m＝n． 其中正確的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①② 答案　D 解析　由數(shù)乘向量的運(yùn)算律知，數(shù)乘向量對數(shù)和向量都有分配律，所以①②正確；當(dāng)m＝0時(shí)，a，b不一定相等，當(dāng)a＝0時(shí)，m，n未必相等，所以③④錯(cuò)誤．故選D． 7．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，則a＋2b與2a－b(　　) A．一定共線 B．一定不共線 C．當(dāng)且僅當(dāng)e1與e2共線時(shí)共線 D．當(dāng)且僅當(dāng)e1＝e2時(shí)共線 答案　C 解析　由a＋2b＝5e1,2a－b＝5e2可知，當(dāng)且僅當(dāng)e1與e2共線時(shí)，兩向量共線．故選C． 8．給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ②λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析?、馘e(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)；②錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0；③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)a與b可以是任意向量．錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D． 9．已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．－4 B．－ C． D．4 答案　B 解析　因?yàn)橄蛄縜，b是兩個(gè)不共線的向量，所以若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則4(－λ)＝11，解得λ＝－，故選B． 10．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 答案　D 解析　∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥， 設(shè)＝m(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)， ∴∴λμ＝1，故選D． 11．已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 答案　C 解析　如圖，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．故選C． 12．已知在四邊形ABCD中，O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，＝a，＝b，＝c，＝a－b＋c，則四邊形ABCD的形狀為(　　) A．梯形 B．正方形 C．平行四邊形 D．菱形 答案　C 解析　因?yàn)椋絘－b＋c，所以＝c－b，又＝c－b，所以∥且||＝||，所以四邊形ABCD是平行四邊形．故選C． 二、高考小題 13．(2015全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 答案　A 解析?。剑剑剑剑?－)＝－＋．故選A． 14．(2018全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 答案　A 解析　根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故選A． 15．(2015安徽高考)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)b＝1 D．(4a＋b)⊥ 答案　D 解析　∵＝2a，＝2a＋b，∴a＝，b＝－＝，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴|b|＝2，ab＝＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2＋＝＋，故(4a＋b)＝(＋)＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥，故選D． 16．(2015北京高考)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝．若＝x＋y，則x＝________；y＝________． 答案　?。? 解析　 如圖在△ABC中，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－．∴x＝，y＝－． 三、模擬小題 17．(2018河北張家口月考)如圖，在正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 答案　A 解析　在正六邊形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以＋＋＝＋＋＝＋＝0，故選A． 18．(2018邯鄲摸底)如圖，在△ABC中，已知D為邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G依次為線段AD從上至下的3個(gè)四等分點(diǎn)，若＋＝4，則(　　) A．點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)D重合 B．點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)E重合 C．點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)F重合 D．點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)G重合 答案　C 解析　由平行四邊形法則知＋＝2，又由＋＝4知2＝4，即＝2，所以P為AD的中點(diǎn)，即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合．故選C． 19．(2018懷化一模)已知向量a，b不共線，向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線 C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線 答案　B 解析　因?yàn)椋剑?a＋6b＝2(a＋3b)＝2，所以，共線，又有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．故選B． 20．(2018河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，＝3E，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則＝(　　) A．－ B．－ C．－＋ D．－＋ 答案　C 解析?。剑剑? ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋(＋＋) ＝－＋．故選C． 21．(2018深圳模擬)如圖所示，正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A． B． C． D．2 答案　B 解析　因?yàn)椋溅耍蹋溅?＋)＋μ(＋)＝λ＋＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋λ＋μ，且＝＋，所以 得所以λ＋μ＝，故選B． 22．(2018福建高三4月質(zhì)檢)莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系：在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且＝．下列關(guān)系中正確的是(　　) A．－＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ 答案　A 解析　由題意得，－＝－＝＝ ＝，所以A正確；＋＝＋＝ ＝，所以B錯(cuò)誤；－＝－＝ ＝，所以C錯(cuò)誤；＋＝＋， ＝＝－，若＋＝，則＝0，不符合題意，所以D錯(cuò)誤．故選A． 23．(2018銀川一模)設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝2，則＋＝________． 答案　0 解析　因?yàn)椋?，由平行四邊形法則知，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，故＋＝0． 24．(2018衡陽模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，則的值為________． 答案　 解析　設(shè)e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以則的值為． 一、高考大題 本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018山東萊蕪模擬)如圖，已知△OCB中，B，C關(guān)于點(diǎn)A對稱，OD∶DB＝2∶1，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b． (1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求實(shí)數(shù)λ的值． 解　(1)由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且＝， 由平行四邊形法則，得＋＝2． ∴＝2－＝2a－b， ∴＝－＝(2a－b)－b＝2a－b． (2)∵∥，＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， ＝2a－b，∴＝，∴λ＝． 2．(2018河南安陽模擬)如圖所示，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)N，使得AN＝AC，在AB上取一點(diǎn)M，使得AM＝AB，在BN的延長線上取點(diǎn)P，使得NP＝BN，在CM的延長線上取點(diǎn)Q，使得＝λ時(shí)，＝，試確定λ的值． 解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ． 又∵＝，∴＋λ＝， 即λ＝，∴λ＝．