珍藏初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教案.doc

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6.1　二次函數(shù)（1） 教學(xué)目標(biāo)： （1）能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。 （2）注重學(xué)生參與，聯(lián)系實(shí)際，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣 重點(diǎn)難點(diǎn)： 能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。 教學(xué)過(guò)程： 一、試一試 1.設(shè)矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為xm，先取x的一些值，算出矩形的另一邊BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出矩形的面積ym2．試將計(jì)算結(jié)果填寫在下表的空格中， AB長(zhǎng)x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC長(zhǎng)(m) 12 面積y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎? 3．我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AB的長(zhǎng)(x)確定后，矩形的面積(y)也隨之確定， y是x的函數(shù)，試寫出這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式， 對(duì)于1.，可讓學(xué)生根據(jù)表中給出的AB的長(zhǎng)，填出相應(yīng)的BC的長(zhǎng)和面積，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中數(shù)據(jù)的變化情況，提出問(wèn)題：(1)從所填表格中，你能發(fā)現(xiàn)什么？(2)對(duì)前面提出的問(wèn)題的解答能作出什么猜想?讓學(xué)生思考、交流、發(fā)表意見(jiàn)，達(dá)成共識(shí)：當(dāng)AB的長(zhǎng)為5cm，BC的長(zhǎng)為10m時(shí)，圍成的矩形面積最大；最大面積為50m2。 對(duì)于2，可讓學(xué)生分組討論、交流，然后各組派代表發(fā)表意見(jiàn)。形成共識(shí)，x的值不可以任意取，有限定范圍，其范圍是0 ＜x ＜10。 對(duì)于3，教師可提出問(wèn)題，(1)當(dāng)AB=xm時(shí)，BC長(zhǎng)等于多少m?(2)面積y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函數(shù)關(guān)系式． 二、提出問(wèn)題 某商店將每件進(jìn)價(jià)為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過(guò)降低售價(jià)、增加銷售量的辦法來(lái)提高利潤(rùn)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí)，能使銷售利潤(rùn)最大? 在這個(gè)問(wèn)題中，可提出如下問(wèn)題供學(xué)生思考并回答： 1．商品的利潤(rùn)與售價(jià)、進(jìn)價(jià)以及銷售量之間有什么關(guān)系? [利潤(rùn)=(售價(jià)－進(jìn)價(jià))銷售量] 2．如果不降低售價(jià)，該商品每件利潤(rùn)是多少元?一天總的利潤(rùn)是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)100=200(元)] 3．若每件商品降價(jià)x元，則每件商品的利潤(rùn)是多少元?一天可銷售約多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請(qǐng)求出它的范圍， [x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2] 5．若設(shè)該商品每天的利潤(rùn)為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為： y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1) 將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2) 三、觀察；概括 1.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)，提出以下問(wèn)題讓學(xué)生思考回答； (1)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)的自變量各有幾個(gè)? (各有1個(gè)) (2)多項(xiàng)式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項(xiàng)式? (分別是二次多項(xiàng)式) (3)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)有什么共同特點(diǎn)? (都是用自變量的二次多項(xiàng)式來(lái)表示的) (4)本章導(dǎo)圖中的問(wèn)題以及P1頁(yè)的問(wèn)題2有什么共同特點(diǎn)？ 讓學(xué)生討論、交流，發(fā)表意見(jiàn)，歸結(jié)為：自變量x為何值時(shí)，函數(shù)y取得最大值。 2．二次函數(shù)定義：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，a叫做二次函數(shù)的系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)的系數(shù)，c叫作常數(shù)項(xiàng)． 四、課堂練習(xí) 1.(口答)下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)? (1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1 (3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1 2．P3練習(xí)第1，2題。 五、小結(jié) 1．請(qǐng)敘述二次函數(shù)的定義． 2，許多實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決，請(qǐng)你聯(lián)系生活實(shí)際，編一道二次函數(shù)應(yīng)用題，并寫出函數(shù)關(guān)系式。 六、作業(yè)：略 6.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1） [教學(xué)目標(biāo)] 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，概括出圖象的特點(diǎn)及函數(shù)的性質(zhì)． [教學(xué)過(guò)程] [新課引入] 我們已經(jīng)知道，一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象分別是 、 ，那么二次函數(shù)的圖象是什么呢？ （1）描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象前，想一想，列表時(shí)如何合理選值？以什么數(shù)為中心？當(dāng)x取互為相反數(shù)的值時(shí)，y的值如何？ （2）觀察函數(shù)的圖象，你能得出什么結(jié)論？ [例題精講] 例1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們有何共同點(diǎn)？有何不同點(diǎn)？ （1） （2） 解 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 … 分別描點(diǎn)、連線，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，這兩個(gè)函數(shù)的圖象都是拋物線，如圖26．2．1． 共同點(diǎn)：都以y軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)． 不同點(diǎn)：的圖象開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，在對(duì)稱軸的左邊，曲線自左向右下降；在對(duì)稱軸的右邊，曲線自左向右上升． 的圖象開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，在對(duì)稱軸的左邊，曲線自左向右上升；在對(duì)稱軸的右邊，曲線自左向右下降． 回顧與反思 在列表、描點(diǎn)時(shí)，要注意合理靈活地取值以及圖形的對(duì)稱性，因?yàn)閳D象是拋物線，因此，要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接． 例2．已知是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大． （1）求k的值； （2）求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸． 解 （1）由題意，得， 解得k=2． （2）二次函數(shù)為，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），對(duì)稱軸為y軸． 例3．已知正方形周長(zhǎng)為Ccm，面積為S cm2． （1）求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象； （2）根據(jù)圖象，求出S=1 cm2時(shí)，正方形的周長(zhǎng)； （3）根據(jù)圖象，求出C取何值時(shí)，S≥4 cm2． 分析 此題是二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解這類問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍；畫圖象時(shí)，自變量C的取值應(yīng)在取值范圍內(nèi)． 解 （1）由題意，得． 列表： C 2 4 6 8 … 1 4 … 描點(diǎn)、連線，圖象如圖26．2．2． （2）根據(jù)圖象得S=1 cm2時(shí)，正方形的周長(zhǎng)是4cm． （3）根據(jù)圖象得，當(dāng)C≥8cm時(shí)，S≥4 cm2． 回顧與反思 （1）此圖象原點(diǎn)處為空心點(diǎn)． （2）橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母C、S，不要習(xí)慣地寫成x、y． （3）在自變量取值范圍內(nèi)，圖象為拋物線的一部分． [當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)] 1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并分別寫出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． （1） （2） （3） 2．（1）函數(shù)的開口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ； （2）函數(shù)的開口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ． 3．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2x，請(qǐng)將此三角形的面積S表示成x的函數(shù)，并畫出圖象的草圖． 6．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（2） [教學(xué)目標(biāo)] 會(huì)畫出這類函數(shù)的圖象，通過(guò)比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)． [教學(xué)過(guò)程] [例題精講] 例1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 20 10 4 2 4 10 20 … 描點(diǎn)、連線，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖26．2．3所示． 回顧與反思 當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？反映在圖象上，相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的位置又有什么關(guān)系？ 探索 觀察這兩個(gè)函數(shù)，它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此說(shuō)出函數(shù)與的圖象之間的關(guān)系嗎？ 例2．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象，并說(shuō)明，通過(guò)怎樣的平移，可以由拋物線得到拋物線． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 … 描點(diǎn)、連線，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖26．2．4所示． 可以看出，拋物線是由拋物線向下平移兩個(gè)單位得到的． 回顧與反思 拋物線和拋物線分別是由拋物線向上、向下平移一個(gè)單位得到的． 探索 如果要得到拋物線，應(yīng)將拋物線作怎樣的平移？ 回顧與反思 （a、k是常數(shù)，a≠0）的圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)歸納如下： 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) [當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)] 1． 在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象： ， ， ． 觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向及對(duì)稱軸、頂點(diǎn)的位置．你能說(shuō)出拋物線的開口方向及對(duì)稱軸、頂點(diǎn)的位置嗎？ 2．拋物線的開口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，它可以看作是由拋物線向 平移 個(gè)單位得到的． 3．函數(shù)，當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小．當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)取得最 值，最 值y= ． 6．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3） [教學(xué)目標(biāo)] 會(huì)畫出這類函數(shù)的圖象，通過(guò)比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)． [教學(xué)過(guò)程] [新課引入] 我們已經(jīng)了解到，函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象上下平移所得，那么函數(shù)的圖象，是否也可以由函數(shù)平移而得呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？ [例題精講] 例1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象． ， ，，并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 0 2 8 … … 8 2 0 … 描點(diǎn)、連線，畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖26．2．5所示．它們的開口方向都向上；對(duì)稱軸分別是y軸、直線x= -2和直線x=2；頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0），（-2，0），（2，0）． 回顧與反思 對(duì)于拋物線，當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)取得最 值，最 值y= ． 探索 拋物線和拋物線分別是由拋物線向左、向右平移兩個(gè)單位得到的．如果要得到拋物線，應(yīng)將拋物線作怎樣的平移？ 例2．不畫出圖象，你能說(shuō)明拋物線與之間的關(guān)系嗎? 解 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）． 因此，拋物線與形狀相同，開口方向都向下，對(duì)稱軸分別是y軸和直線．拋物線是由向左平移2個(gè)單位而得的． 回顧與反思 （a、h是常數(shù)，a≠0）的圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)歸納如下： 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) [當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)] 1．畫圖填空：拋物線的開口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，它可以看作是由拋物線向 平移 個(gè)單位得到的． 2．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象． ， ，，并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 6．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4） [教學(xué)目標(biāo)] 1．掌握把拋物線平移至+k的規(guī)律； 2．會(huì)畫出+k 這類函數(shù)的圖象，通過(guò)比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì)． [教學(xué)過(guò)程] [新課引入] 由前面的知識(shí)，我們知道，函數(shù)的圖象，向上平移2個(gè)單位，可以得到函數(shù)的圖象；函數(shù)的圖象，向右平移3個(gè)單位，可以得到函數(shù)的圖象，那么函數(shù)的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)的圖象呢？ [例題精講] 例1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象． ，，，并指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … … 8 2 0 2 … … 6 0 -2 0 … 描點(diǎn)、連線，畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖26．2．6所示． 它們的開口方向都向 ，對(duì)稱軸分別為 、 、 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 、 、 ．請(qǐng)同學(xué)們完成填空，并觀察三個(gè)圖象之間的關(guān)系． 回顧與反思 二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù)+k中k的值；左右平移，只影響h的值，拋物線的形狀不變，所以平移時(shí)，可根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的改變，確定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑．此外，圖象的平移與平移的順序無(wú)關(guān)． 探索 你能說(shuō)出函數(shù)+k（a、h、k是常數(shù)，a≠0）的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？試填寫下表． +k 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 例2．把拋物線向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到拋物線，求b、c的值． 分析 把拋物線向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到拋物線，也就意味著把拋物線向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到拋物線．那么，本題還可以用更簡(jiǎn)潔的方法來(lái)解，請(qǐng)你試一試． [當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)] 1．將拋物線如何平移可得到拋物線 （ ） A．向左平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 B．向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位 C．向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 D．向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位 2．把拋物線向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ． 3．拋物線可由拋物線向 平移 個(gè)單位，再向 平移 個(gè)單位而得到． 6．2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（5） [教學(xué)目標(biāo)] 1．能通過(guò)配方把二次函數(shù)化成+k的形式，從而確定開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； 2．會(huì)利用對(duì)稱性畫出二次函數(shù)的圖象． [教學(xué)過(guò)程] [新課引入] 我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象先向 平移 個(gè)單位，再向 平移 個(gè)單位得到，因此，可以直接得出：函數(shù)的開口 ，對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．那么，對(duì)于任意一個(gè)二次函數(shù)，如，你能很容易地說(shuō)出它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖象嗎？ [例題精講] 例1．通過(guò)配方，確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)畫圖． 解 因此，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）． 由對(duì)稱性列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -10 0 6 8 6 0 -10 … 描點(diǎn)、連線，如圖26．2．7所示． 回顧與反思 （1）列表時(shí)選值，應(yīng)以對(duì)稱軸x=1為中心，函數(shù)值可由對(duì)稱性得到，． （2）描點(diǎn)畫圖時(shí)，要根據(jù)已知拋物線的特點(diǎn)，一般先找出頂點(diǎn)，并用虛線畫對(duì)稱軸，然后再對(duì)稱描點(diǎn)，最后用平滑曲線順次連結(jié)各點(diǎn)． 探索 對(duì)于二次函數(shù)，你能用配方法求出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？請(qǐng)你完成填空：對(duì)稱軸 ，頂點(diǎn)坐標(biāo) ． 例2．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求的值． 分析 頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上有兩種可能：（1）頂點(diǎn)在x軸上，則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0；（2）頂點(diǎn)在y軸上，則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0． 解 ， 則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是． 當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，有 ， 解得 ． 當(dāng)頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，有 ， 解得 或． 所以，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，有三個(gè)值，分別是 –2，4，8． [當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)] 1．（1）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是 ． （2）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是 ，當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減?。? （3）拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是-2，則= ． 2．拋物線的頂點(diǎn)是，則、c的值是多少？ 6.3　用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程（1） 教學(xué)目標(biāo)： 1．通過(guò)探索，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。 2．使學(xué)生能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。 3．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 重點(diǎn)：使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題是教學(xué)的重點(diǎn)。 難點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學(xué)的難點(diǎn)． 教學(xué)過(guò)程： 一、引言 在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問(wèn)題，如拱橋跨度、拱高計(jì)算等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究和解決這些問(wèn)題，具有很現(xiàn)實(shí)的意義。本節(jié)課，請(qǐng)同學(xué)們共同研究，嘗試解決以下幾個(gè)問(wèn)題。 二、探索問(wèn)題 問(wèn)題1：某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m。水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。 根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x2＋2x＋。 (1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)? 教學(xué)要點(diǎn) 1．讓學(xué)生討論、交流，如何將文學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，得出問(wèn)題(1)就是求函數(shù)y＝－x2＋2x＋最大值，問(wèn)題(2)就是求如圖(2)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 2．學(xué)生解答，教師巡視指導(dǎo)； 3．讓一兩位同學(xué)板演，教師講評(píng)。 問(wèn)題2：一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開水面1.5m處，涵洞寬ED是多少?是否會(huì)超過(guò)1m? 教學(xué)要點(diǎn) 1．教師分析：根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長(zhǎng)度。在如圖(3)的直角坐標(biāo)系中，即只要求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因?yàn)辄c(diǎn)D在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)。 2．讓學(xué)生完成解答，教師巡視指導(dǎo)。 3．教師分析存在的問(wèn)題，書寫解答過(guò)程。 解：以AB的垂直平分線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。 這時(shí)，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，開口向下，所以可設(shè)它的 函數(shù)關(guān)系式為：y＝ax2 (a＜0) (1) 因?yàn)锳B與y軸相交于C點(diǎn)，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0.8，－2.4)。 因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得 －2.4＝a0.82 所以：a＝－ 因此，函數(shù)關(guān)系式是 y＝－x2 (2) 因?yàn)镺F＝1.5m，設(shè)FD＝x1m(x1＞0)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x1，－1.5)。因?yàn)辄c(diǎn)D的坐標(biāo)在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(2)，得 －1.5＝－x12 x12＝ x1＝ x1＝－不符合假設(shè)，舍去，所以x1＝。 ED＝2FD＝2x1＝2＝≈3.162≈1.26(m) 所以涵洞ED是m，會(huì)超過(guò)1m。 問(wèn)題3：畫出函數(shù)y＝x2－x－3/4的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題。 (1)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0?這里x的取值與方程x2－x－＝0有什么關(guān)系? (3)你能從中得到什么啟發(fā)? 教學(xué)要點(diǎn) 1．先讓學(xué)生回顧函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的畫法，按列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)y＝x2－x－的圖象。 2．教師巡視，與學(xué)生合作、交流。 3．教師講評(píng)，并畫出函數(shù)圖象，如圖(4)所示。 4．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，回答(1)提出的問(wèn)題，得到圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－，0)和(，0)。 5．讓學(xué)生完成(2)的解答。教師巡視指導(dǎo)并講評(píng)。 6．對(duì)于問(wèn)題(3)，教師組織學(xué)生分組討論、交流，各組選派代表發(fā)表意見(jiàn)，全班交流，達(dá)成共識(shí)：從“形”的方面看，函數(shù)y＝x2－x－的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程x2－x－＝0的解；從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y＝x2－x－的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程x2－x－＝0的解。更一般地，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2＋bx＋c＝0的解；當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程ax2＋bx＋c＝0的解，這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。 三、試一試 根據(jù)問(wèn)題3的圖象回答下列問(wèn)題。 (1)當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0?當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0? (當(dāng)－＜x＜時(shí)，y＜0；當(dāng)x＜－或x＞時(shí)，y＞0) (2)能否用含有x的不等式來(lái)描述(1)中的問(wèn)題? (能用含有x的不等式采描述(1)中的問(wèn)題，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?) 想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有什么關(guān)系? 讓學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系，討論、交流，達(dá)成共識(shí)： (1)從“形”的方面看，二次函數(shù)y＝ax2＋bJ＋c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。 (2)從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。 四、課堂練習(xí)： P23練習(xí)1、2。 五、小結(jié)： 1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?有什么困惑? 2．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，試說(shuō)明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情況。 六、作業(yè)： 1. 二次函數(shù)y＝x2－3x－18的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離。 2．已知函數(shù)y＝x2－x－2。 (1)先確定其圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出圖象 (2)觀察圖象確定：x取什么值時(shí)，①y＝0，②y＞0；③y＜0。 3．學(xué)校建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過(guò)OA任意平面上的拋物線如圖(5)所示，建立直角坐標(biāo)系(如圖(6))，水流噴出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x2＋x＋，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1)花形柱子OA的高度； (2)若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不至于落在池外? 4．如圖(7)，一位籃球運(yùn)動(dòng)員跳起投籃，球沿拋物線y＝－x2＋3.5運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落人籃框內(nèi)。已知籃框的中心離地面的距離為3.05米。 (1)球在空中運(yùn)行的最大高度為多少米? (2)如果該運(yùn)動(dòng)員跳投時(shí)，球出手離地面的高度為2.25米，請(qǐng)問(wèn)他距離籃框中心的水平距離是多少? 6.3　用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程（2） 教學(xué)目標(biāo)： 1．復(fù)習(xí)鞏固用函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。 2．讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)y＝x2和y＝bx＋c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程x2＝bx＋c的解的探索過(guò)程，掌握用函數(shù)y＝x2和y＝bx＋c圖象交點(diǎn)的方法求方程ax2＝bx＋c的解。 3．提高學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 重點(diǎn)；用函數(shù)圖象法求方程的解以及提高學(xué)生綜合解題能力是教學(xué)的重點(diǎn)。 難點(diǎn)：提高學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學(xué)的難點(diǎn)。 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)鞏固 1．如何運(yùn)用函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象求方程ax2＋bx＋c的解? 2．完成以下兩道題： (1)畫出函數(shù)y＝x2＋x－1的圖象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精確到0.1) (2)畫出函數(shù)y＝2x2－3x－2的圖象，求方程2x2－3x－2＝0的解。 教學(xué)要點(diǎn) 1．學(xué)生練習(xí)的同時(shí)，教師巡視指導(dǎo)， 2．教師根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行講評(píng)。 解：略 函數(shù)y＝2x2－3x－2的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1＝－和x2＝2，所以一元二次方程的解是x1＝－和x2＝2。 二、探索問(wèn)題 問(wèn)題1：(P23問(wèn)題4)育才中學(xué)初三(3)班學(xué)生在上節(jié)課的作業(yè)中出現(xiàn)了爭(zhēng)論：求方程x2＝x十3的解時(shí)，幾乎所有學(xué)生都是將方程化為x2－x－3＝0，畫出函數(shù)y＝x2－x－3的圖象，觀察它與x軸的交點(diǎn)，得出方程的解。唯獨(dú)小劉沒(méi)有將方程移項(xiàng)，而是分別畫出了函數(shù)y＝x2和y＝x＋2的圖象，如圖(3)所示，認(rèn)為它們的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)－和2就是原方程的解． 提問(wèn)： 1. 這兩種解法的結(jié)果一樣嗎? 2．小劉解法的理由是什么? 讓學(xué)生討論，交流，發(fā)表不同意見(jiàn)，并進(jìn)行歸納。 3．函數(shù)y＝x2和y＝bx＋c的圖象一定相交于兩點(diǎn)嗎?你能否舉出例子加以說(shuō)明? 4，函數(shù)y＝x2和y＝bx＋c的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解嗎? 5．如果函數(shù)y＝x2和y＝bx＋c圖象沒(méi)有交點(diǎn)，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎樣? 三、做一做 利用圖26．3．4(見(jiàn)P24頁(yè))，運(yùn)用小劉方法求下列方程的解，并檢驗(yàn)小劉的方法是否合理。 (1)x2＋x－1＝0(精確到0.1)； (2)2x2－3x－2＝0。 教學(xué)要點(diǎn)：①要把(1)的方程轉(zhuǎn)化為x2＝－x＋1，畫函數(shù)y＝x2和y＝－x＋1的圖象； ②要把(2)的方程轉(zhuǎn)化為x2＝x＋1，畫函數(shù)y＝x2和y＝x＋1的圖象；③在學(xué)生練習(xí)的同時(shí)，教師巡視指導(dǎo)；④解的情況分別與復(fù)習(xí)兩道題的結(jié)果進(jìn)行比較。 四、綜合運(yùn)用 已知拋物線y1＝2x2－8x＋k＋8和直線y2＝mx＋1相交于點(diǎn)P(3，4m)。 (1)求這兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式； (2)當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線與直線相交，并求交點(diǎn)坐標(biāo)。 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(3，4m)在直線y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1 所以y1＝x＋1，P(3，4)。 因?yàn)辄c(diǎn)P(3，4)在拋物線y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有 4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2 所以y1＝2x2－8x＋10 (2)依題意，得 解這個(gè)方程組，得， 所以拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(3，4)，(1.5，2.5)。 五、小結(jié)： 1．如何用畫函數(shù)圖象的方法求方程韻解? 2．你能根據(jù)方程組：的解的情況，來(lái)判定函數(shù)y＝x2與y＝bx＋c圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)嗎?請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的看法。 六、作業(yè)： 1. 利用函數(shù)的圖象求下列方程的解：(1)x2＋x－6＝0； (2)2x2－3x－5＝0 2．利用函數(shù)的圖象求下列方程的解。(1)、， (2)、 3．填空。 (1)拋物線y＝x2－x－2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______。 (2)拋物線y＝2x2－5x＋3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______。 4．已知拋物線y1＝x2＋x－k與直線y＝－2x＋1的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3。 (1)求拋物線的關(guān)系式； (2)求拋物線y＝x2＋x－k與直線y＝－2x＋1的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)． 5．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝x－2相交于(m，－2)，(n，3)兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，求函數(shù)的關(guān)系式。 26.3　實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)（1） 教學(xué)目標(biāo)： 1．使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)y＝ax2的關(guān)系式。 2. 使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式。 3．讓學(xué)生體驗(yàn)二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 重點(diǎn)：已知二次函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求二次函數(shù)y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關(guān)系式是教學(xué)的重點(diǎn)。 難點(diǎn)：已知圖象上三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式是教學(xué)的難點(diǎn)。 教學(xué)過(guò)程： 一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境 如圖，某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢? 分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再寫出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)這個(gè)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算，放樣畫圖。 如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。這時(shí)，屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為： y＝ax2 (a＜0) (1) 因?yàn)閥軸垂直平分AB，并交AB于點(diǎn)C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，－0.8)。 因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得 －0.8＝a22 所以a＝－0.2 因此，所求函數(shù)關(guān)系式是y＝－0.2x2。 請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，畫出模板的輪廓線。 二、引申拓展 問(wèn)題1：能不能以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系? 讓學(xué)生了解建立直角坐標(biāo)系的方法不是唯一的，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系也是可行的。 問(wèn)題2，若以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標(biāo)系，你能求出其函數(shù)關(guān)系式嗎? 分析：按此方法建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0),OC所在直線為拋物線的對(duì)稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，O點(diǎn)坐標(biāo)為(2；0．8)。即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知拋物線過(guò)(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。 二次函數(shù)的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式，跟以前學(xué)過(guò)求一次函數(shù)的關(guān)系式一樣，關(guān)鍵是確定o、6、c，已知三點(diǎn)在拋物線上，所以它的坐標(biāo)必須適合所求的函數(shù)關(guān)系式；可列出三個(gè)方程，解此方程組，求出三個(gè)待定系數(shù)。 解：設(shè)所求的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2＋bx＋c。 因?yàn)镺C所在直線為拋物線的對(duì)稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m， 所以O(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0.8)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)。 由已知，函數(shù)的圖象過(guò)(0，0)，可得c＝0，又由于其圖象過(guò)(2，0.8)、(4，0)，可得到解這個(gè)方程組，得 所以，所求的二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝－x2＋x。 問(wèn)題3：根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同? 問(wèn)題4：比較兩種建立直角坐標(biāo)系的方式，你認(rèn)為哪種建立直角坐標(biāo)系方式能使解決問(wèn)題來(lái)得更簡(jiǎn)便?為什么? (第一種建立直角坐標(biāo)系能使解決問(wèn)題來(lái)得更簡(jiǎn)便，這是因?yàn)樗O(shè)函數(shù)關(guān)系式待定系數(shù)少，所求出的函數(shù)關(guān)系式簡(jiǎn)單，相應(yīng)地作圖象也容易) 請(qǐng)同學(xué)們閱瀆P18例7。 三、課堂練習(xí)： P18練習(xí)1．(1)、(3)2。 四、綜合運(yùn)用 例1．如圖所示，求二次函數(shù)的關(guān)系式。 分析：觀察圖象可知，A點(diǎn)坐標(biāo)是(8，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)。從圖中可知對(duì)稱軸是直線x＝3，由于拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)是(－2，0)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知三點(diǎn)求函數(shù)關(guān)系式。 解：觀察圖象可知，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(8，0)、(0，4)，對(duì)稱軸是直線x＝3。因?yàn)閷?duì)稱軸是直線x＝3，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)。 設(shè)所求二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個(gè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，4)，可以得到c＝4，又由于其圖象過(guò)(8，0)、(－2，0)兩點(diǎn)，可以得到解這個(gè)方程組，得 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝－x2＋x＋4 練習(xí)： 一條拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)與(12，0)，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，求這條拋物線的解析式。 五、小結(jié)： 二次函數(shù)的關(guān)系式有幾種形式，函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見(jiàn)的形式。二次函數(shù)關(guān)系式的確定，關(guān)鍵在于求出三個(gè)待定系數(shù)a、b、c，由于已知三點(diǎn)坐標(biāo)必須適合所求的函數(shù)關(guān)系式，故可列出三個(gè)方程，求出三個(gè)待定系數(shù)。 六、作業(yè) 1．P19習(xí)題 26．2 4．(1)、(3)、5。 2．選用課時(shí)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)， 每一課時(shí)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì) 1. 二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(2，4)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。 2．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。 3．如果拋物線y＝ax2＋Bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。 4．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式； 5．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，，與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－5，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。 26.3　實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)（2） 教學(xué)目標(biāo)： 1．復(fù)習(xí)鞏固用待定系數(shù)法由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式。 2．使學(xué)生掌握已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸等條件求出函數(shù)的關(guān)系式。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 根據(jù)不同條件選擇不同的方法求二次函數(shù)的關(guān)系式是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)鞏固 1．如何用待定系數(shù)法求已知三點(diǎn)坐標(biāo)的二次函數(shù)關(guān)系式? 2．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函數(shù)的關(guān)系式， (2)畫出二次函數(shù)的圖象； (3)說(shuō)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。 答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)圖略，(3)對(duì)稱軸x＝－，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)。 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么? [對(duì)稱軸是直線x＝－，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－，)] 二、范例 例1．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8，9)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。 分析：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c通過(guò)配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式稱為頂點(diǎn)式，(－h(huán)，k)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是(8，9)，因此，可以設(shè)函數(shù)關(guān)系式為： y＝a(x－8)2＋9 由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，將(0，1)代入所設(shè)函數(shù)關(guān)系式，即可求出a的值。 請(qǐng)同學(xué)們完成本例的解答。 練習(xí)：P18練習(xí)1．(2)。 例2．已知拋物線對(duì)稱軸是直線x＝2，且經(jīng)過(guò)(3，1)和(0，－5)兩點(diǎn)，求二次函數(shù)的關(guān)系式。 解法1：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，1)，且對(duì)稱軸是直線x＝2，可以得 解這個(gè)方程組，得： 所以所求的二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝－2x2＋8x－5。 解法二；設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a(x－2)2＋k，由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(3，1)和(0，－5)兩點(diǎn)，可以得到 解這個(gè)方程組，得： 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。 例3。已知拋物線的頂點(diǎn)是(2，－4)，它與y軸的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求函數(shù)的關(guān)系式。 解法1：設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x＋h)2＋k，依題意，得y＝a(x－2)2－4 因?yàn)閽佄锞€與y軸的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，所以拋物線過(guò)點(diǎn)(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。 解法2：設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝ax2＋bx＋c?依題意，得解這個(gè)方程組，得： 所以，所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝2x2－8x＋4。 三、課堂練習(xí) 1. 已知二次函數(shù)當(dāng)x＝－3時(shí)，有最大值－1，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3，求二次函數(shù)的關(guān)系式。 解法1：設(shè)所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2＋bx＋c，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)(0，3)，所以c＝3，又由于二次函數(shù)當(dāng)x＝－3時(shí)，有最大值－1，可以得到： 解這個(gè)方程組，得： 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝x2＋x＋3。 解法2：所求二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x＋h)2＋k，依題意，得y＝a(x＋3)2－1 因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a＝ 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系為y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3． 小結(jié)：讓學(xué)生討論、交流、歸納得到：已知二次函數(shù)的最大值或最小值，就是已知該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用頂點(diǎn)式求解方便，用一般式求解計(jì)算量較大。 2．已知二次函數(shù)y＝x2＋px＋q的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(5，－2)，求二次函數(shù)關(guān)系式。 簡(jiǎn)解：依題意，得 解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y＝x2－10x＋23。 四、小結(jié) 1，求二次函數(shù)的關(guān)系式，常見(jiàn)的有幾種類型? [兩種類型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (2)頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k，其頂點(diǎn)是(－h(huán)，k)] 2．如何確定二次函數(shù)的關(guān)系式? 讓學(xué)生回顧、思考、交流，得出：關(guān)鍵是確定上述兩個(gè)式子中的待定系數(shù)，通常需要三個(gè)已知條件。在具體解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體的已知條件，靈活選用合適的形式，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。 五、作業(yè)： 1. 已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－3)，與y軸交點(diǎn)為(0，－5)，求二次函數(shù)的關(guān)系式。 2．函數(shù)y＝x2＋px＋q的最小值是4，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，求p和q。 3．若拋物線y＝－x2＋bx＋c的最高點(diǎn)為(－1，－3)，求b和c。 4．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函數(shù)的關(guān)系式是______。如果y隨x的增大而減少，那么自變量x的變化范圍是______。 5．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過(guò)A(0，－5)，B(5，0)兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線x＝2，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。 6．如圖是拋物線拱橋，已知水位在AB位置時(shí)，水面寬4米，水位上升3米就達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬4米，若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.25米速度上升，求水過(guò)警戒線后幾小時(shí)淹到拱橋頂? 第6章　《二次函數(shù)》小結(jié)與復(fù)習(xí) 教學(xué)目標(biāo)： 理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)y＝ax2的圖象與性質(zhì)；會(huì)用描點(diǎn)法畫拋物線，能確定拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向，能較熟練地由拋物線y＝ax2經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移得到y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的圖象。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 1．重點(diǎn)：用配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸，根據(jù)圖象概括二次函數(shù)y＝ax2圖象的性質(zhì)。 2．難點(diǎn)：二次函數(shù)圖象的平移。 教學(xué)過(guò)程： 一、結(jié)合例題精析，強(qiáng)化練習(xí)，剖析知識(shí)點(diǎn) 1．二次函數(shù)的概念，二次函數(shù)y＝ax2 (a≠0)的圖象性質(zhì)。 例：已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：(1)滿足條件的m值；(2)m為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)?求出這個(gè)最低點(diǎn)．這時(shí)當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大?(3)m為何值時(shí)，函數(shù)有最大值?最大值是什么?這時(shí)當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減小? 學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生四人一組進(jìn)行討論，并回顧例題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生代表發(fā)言分析解題方法，以及涉及的知識(shí)點(diǎn)。 教師精析點(diǎn)評(píng)，二次函數(shù)的一般式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。強(qiáng)調(diào)a≠0．而常數(shù)b、c可以為0，當(dāng)b，c同時(shí)為0時(shí)，拋物線為y＝ax2(a≠0)。此時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為(0，0)，對(duì)稱軸是y軸，即直線x＝0。 (1)使是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即： m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2 (2)拋物線有最低點(diǎn)的條件是它開口向上，即m＋2＞0， (3)函數(shù)有最大值的條件是拋物線開口向下，即m＋2＜0。 拋物線的增減性要結(jié)合圖象進(jìn)行分析，要求學(xué)生畫出草圖，滲透數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)行觀察分析。 強(qiáng)化練習(xí)；已知函數(shù)是二次函數(shù)，其圖象開口方向向下，則m＝_____，頂點(diǎn)為_____，當(dāng)x_____0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x_____0時(shí)，y隨x的增大而減小。 2。用配方法求拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸；拋物線的畫法，平移規(guī)律，例：用配方法求出拋物線y＝－3x2－6x＋8的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，并畫出函數(shù)圖象，說(shuō)明通過(guò)怎樣的平移，可得到拋物線y＝－3x2。 學(xué)生活動(dòng)：小組討論配方方法，確定拋物線畫法的步驟，探索平移的規(guī)律。充分討論后讓學(xué)生代表歸納解題方法與思路。 教師歸納點(diǎn)評(píng)： (1)教師在學(xué)生合作討論基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)配方的方法及配方的意義，指出拋物線的一般式與頂點(diǎn)式的互化關(guān)系： y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋)2＋ (2)強(qiáng)調(diào)利用拋物線的對(duì)稱性進(jìn)行畫圖，先確定拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性列表、描點(diǎn)、連線。 (3)拋物線的平移抓住關(guān)鍵點(diǎn)頂點(diǎn)的移動(dòng)，分析完例題后歸納； 投影展示： 強(qiáng)化練習(xí)： (1)拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象向左平移2個(gè)單位。再向上平移3個(gè)單位，得拋物線y＝x2－2x＋1，求：b與c的值。 (2)通過(guò)配方，求拋物線y＝x2－4x＋5的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出圖象。 3．知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)，綜合應(yīng)用。 例：如圖，已知直線AB經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A(2，0)，且與拋物線y＝ax2相交于B、C兩點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)。 (1)求直線和拋物線的解析式； (2)如果D為拋物線上一點(diǎn)，使得△AOD與△OBC的面積相等，求D點(diǎn)坐標(biāo)。 學(xué)生活動(dòng)：開展小組討論，體驗(yàn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。 教師點(diǎn)評(píng)：(1)直線AB過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y(tǒng)＝kx＋b，可確定k、b，拋物線y＝ax2過(guò)點(diǎn)B(1，1)，代人可確定a。 求得：直線解析式為y＝－x＋2，拋物線解析式為y＝x2。 (2)由y＝－x＋2與y＝x2，先求拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，4)， S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。 ∵ S△AOD＝S△OBC，且OA＝2 ∴ D的縱坐標(biāo)為3 又∵ D在拋物線y＝x2上，∴x2＝3，即x＝ ∴ D(－，3)或(，3) 強(qiáng)化練習(xí)：函數(shù)y＝ax2(a≠0)與直線y＝2x－3交于點(diǎn)A(1，b)，求： (1)a和b的值； (2)求拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸； (3)x取何值時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2中的y隨x的增大而增大， (4)求拋物線與直線y＝－2兩交點(diǎn)及拋物線的頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積。 二、課堂小結(jié) 1．讓學(xué)生反思本節(jié)教學(xué)過(guò)程，歸納本節(jié)課復(fù)習(xí)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用。 2。投影：完成下表： 三、作業(yè)： 作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì) 一、填空。 1．若二次函數(shù)y＝(m＋1)x2＋m2－2m－3的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m＝______。 2．函數(shù)y＝3x2與直線y＝kx＋3的交點(diǎn)為(2，b)，則k＝______，b＝______。 3．拋物線y＝－(x－1)2＋2可以由拋物線y＝－x2向______方向平移______個(gè)單位，再向______方向平移______個(gè)單位得到。 4．用配方法把y＝－x2＋x－化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式為y＝__________________，其開口方向______，對(duì)稱軸為______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______。 二、選擇。 1．函數(shù)y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函數(shù)的條件是( ) A．m、n是常數(shù)，且m≠0 B．m、n是常數(shù)，且m≠n C. m、n是常數(shù)，且n≠0 D. m、n可以為任意實(shí)數(shù) 2．直線y＝mx＋1與拋物線y＝2x2－8x＋k＋8相交于點(diǎn)(3，4)，則m、k值為( ) A． B． C. D. 3．下列圖象中，當(dāng)ab＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2與y＝ax＋b的圖象是( ) 三、解答題 1．函數(shù) (1)當(dāng)a取什么值時(shí)，它為二次函數(shù)。 (2)當(dāng)a取什么值時(shí)，它為一次函數(shù)。 2．已知拋物線y＝x2和直線y＝ax＋1 (1)求證：不論a取何值，拋物線與直線必有兩個(gè)不同舶交點(diǎn)。 (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，試用a表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。 (3)函數(shù)A、B兩點(diǎn)的距離d＝|x1－x2|，試用a表示d。 (4)過(guò)點(diǎn)C(0，－1)作直線l平行于x軸，試判斷直線l與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。