全的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算.ppt

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J與質(zhì)量大小 質(zhì)量分布 轉(zhuǎn)軸位置有關(guān) 演示程序 影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素 質(zhì)量離散分布的剛體 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 dm為質(zhì)量元 簡(jiǎn)稱質(zhì)元 其計(jì)算方法如下 質(zhì)量為線分布 質(zhì)量為面分布 質(zhì)量為體分布 5 3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例題1求質(zhì)量為m 長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1 轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直 2 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直 有 解 1 在棒上離軸x處 取一長(zhǎng)度元dx 如圖所示 如果棒的質(zhì)量線密度為 則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm dx 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式 2 當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并與棒垂直時(shí) 例題2 半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán) 質(zhì)量均為m 試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例題3求質(zhì)量為m 半徑為R 厚為h的均質(zhì)圓盤對(duì)通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量 以 表示圓盤的質(zhì)量體密度 解 如圖所示 將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成 取任一半徑為r 寬度為dr的薄圓環(huán) 此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 代入得 J與h無關(guān) 一個(gè)質(zhì)量為m 半徑為R的實(shí)心圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同 例4 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 一球繞Z軸旋轉(zhuǎn) 離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤 其半徑為 其體積 其質(zhì)量 其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Z 2 薄板的正交軸定理 1 平行軸定理 常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 受力分析 取任一狀態(tài) 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 初始條件為 0 0 例題2一個(gè)質(zhì)量為M 半徑為R的定滑輪 當(dāng)作均勻圓盤 上面繞有細(xì)繩 繩的一端固定在滑輪邊上 另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂 忽略軸處摩擦 求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度 對(duì)物體m 由牛頓第二定律 滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為 解 對(duì)定滑輪M 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 對(duì)于軸O 有 物體下落高度h時(shí)的速度 這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 以上三式聯(lián)立 可得物體下落的加速度為 圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 純滾動(dòng)條件為 圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 解 設(shè)靜摩擦力f的方向如圖所示 則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程 聯(lián)立以上四式 解得 由此可見 例一靜止剛體受到一等于M0 N m 的不變力矩的作用 同時(shí)又引起一阻力矩M1 M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比 即 M1 a Nm a為常數(shù) 又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 試求剛體角速度變化的規(guī)律 已知 M0 M1 a J t 0 0 求 t 解 1 以剛體為研究對(duì)象 2 分析受力矩 3 建立軸的正方向 4 列方程 J 解 4 列方程 分離變量 例 設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m 長(zhǎng)為L(zhǎng) 一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn) 設(shè)此桿自水平靜止釋放 求 1 當(dāng)桿與鉛直方向成 角時(shí)的角加速度 2 當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度 3 當(dāng)桿過鉛直位置時(shí) 軸作用于桿上的力 已知 m L 求 N 解 1 以桿為研究對(duì)象 受力 mg N 不產(chǎn)生對(duì)軸的力矩 建立OXYZ坐標(biāo)系 L 建立OXYZ坐標(biāo)系 并以Z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向 L 2 兩邊積分 2 軸對(duì)桿的力 不影響到桿的轉(zhuǎn)動(dòng) 但影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) 故考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來解 寫成分量式 實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度 實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的法向加速度 由角量和線量的關(guān)系 代入 1 2 式中