2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修（2-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案.doc

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2．2直接證明與間接證明 教學(xué)目標(biāo)： （1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義； 　　（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式； 　?。?）能根據(jù)實(shí)際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法； 　?。?）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力. 教學(xué)建議： 1．知識結(jié)構(gòu):（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應(yīng)用）==〉（綜合應(yīng)用） 2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 　　重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用； 　　難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的； 　　 ②綜合性問題證明方法的選擇． 　　（1）不等式證明的意義 　　 不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立． 　?。?）比較法證明不等式的分析 　　①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法． 　?、谧C明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑． 　　由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的a-b>0．這種證法就是求差比較法． 　　由于當(dāng)b>0時(shí),a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件． 　　③求差比較法的基本步驟是：“作差變形斷號”． 　　其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的． 　　變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負(fù)的數(shù)(或式子)即可. 　　④作商比較法的基本步驟是：“作商變形判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式． 　?。?）綜合法證明不等式的分析 　　①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法． 　　②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列已知條件推導(dǎo)變換，推導(dǎo)出求證的不等式． 　?、劬C合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修（2-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案 　（4）分析法證明不等式的分析 　?、購那笞C的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法． 　　有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)． 　　②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法． 　　③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： （已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結(jié)論） 　 ④分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更實(shí)用. 　（5）關(guān)于分析法與綜合法關(guān)系 　?、俜治龇ㄅc綜合法是思維方向相反的兩種思考方法． 　　②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，逐步地推導(dǎo)，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論已知. 　　綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論． ③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件． 綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件． 　?、芤话銇碚f，對于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的． 第一課時(shí) 不等式的證明（比較法） 教學(xué)目標(biāo) 　　1．掌握證明不等式的方法——比較法； 　　2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學(xué)重點(diǎn): 比較法的意義和基本步驟. 教學(xué)難點(diǎn): 常見的變形技巧. 教學(xué)方法；啟發(fā)引導(dǎo)法. 教學(xué)過程： （－）導(dǎo)入新課 　　教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過（不等式的性質(zhì)）的知識，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大?。? 　找學(xué)生回答問題． 　?。▽W(xué)生回答： ， ， ，） 　?。埸c(diǎn)評］要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式． 　　目的：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識． 　?。ǘ┬抡n講授 　　【嘗試探索，建立新知】 　　作差比較法 　　[問題] 求證 　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明． 　　學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題． ［本問點(diǎn)評］　　 ①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過． 　　 ②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡化． 　　 ③理論依據(jù)是： 　　④由 ， ，知：要證明 只需證 ；需證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法． 　　目的：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想． 　　【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】 　　教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評． 例1． 求證 ［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證． 　　證明：∵ 　?。? 　　＝ ， 　　∴ ． ［本例點(diǎn)評］ 　　 ①作差后是通過配方法對差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號; 　　 ②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號易于確定; 　　 ③不等式兩邊的差的符號是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷; 　　 ④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法． 　　例2. 已知都是正數(shù)，并且 ，求證： 　　［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證． 　　證明： 　?。? 　　＝ ． 因?yàn)?都是正數(shù)，且 ， 所以 ． 　　∴ ． 　　即： 　　[本例點(diǎn)評] 　　 ①作差后是通過通分法對差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號; 　　 ②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法; [本例點(diǎn)評] 　　 ①作差后是通過分組，提取公因式對差式進(jìn)行恒等變形，化成n 個(gè)括號相乘的形式，從而推出差的符號; 　　 ②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——分組，提取公因式法; 求商比較法： 小結(jié)：作商比較法的基本步驟是：“作商變形判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式． （最后是與1比較） 　　(三)課堂練習(xí) 　　教師指定練習(xí)題，要求學(xué)生獨(dú)立思考．完成練習(xí)；請甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評練習(xí)中存在的問題． 　　練習(xí)：1．求證 　　2．已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證 　 目的:掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)． 　　（四）布置作業(yè) 2、已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3 ． 第二課時(shí) 綜合法 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 綜合法證明不等式. (二)能力訓(xùn)練要求 1.理解綜合法證明不等式的意義. 2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式. (三)德育滲透目標(biāo) 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維習(xí)慣,加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進(jìn)一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實(shí)提高學(xué)生的思想道德品質(zhì). ●教學(xué)重點(diǎn) 1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論. 2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)B1B2…BnB(結(jié)論).運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式時(shí),要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤. 3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有: (1)a2≥0或(ab)2≥0. (2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|. (3),對a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號. (4)當(dāng)a,b同號時(shí)有≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號. (5) (a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號. (6)a3+b3+c3≥3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號. ●教學(xué)難點(diǎn) “由因?qū)Ч睍r(shí),從哪個(gè)不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點(diǎn). ●教學(xué)過程 1.課題導(dǎo)入 ［師］同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個(gè)重要的不等式. (打出投影片6.3.3 A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片6.3.3 A) 我們要掌握下面重要的不等關(guān)系: (1)a2≥0,或(ab)2≥0; (2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|; (3),(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號; (4)ab≤,(a,b∈R);ab≤()2,(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號; (5)≥2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號； （6）,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號； （7)a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號. 今天，我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“比較法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法. 2.講授新課 一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。 下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式. ［例1］已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明） 證法一：∵a>0,b2+c2≥2bc ∴由不等式的性質(zhì)定理4，得 a(b2+c2)≥2abc. ① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc. ③ 因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù)，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號. 由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 證法二： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) =ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2 =(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2) ∵a,b,c為不全相等的正數(shù). ∴a2b+b2c+c2a>3=3abc ab2+bc2+ca2>3=3abc 由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 總結(jié)：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立. 2.在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時(shí)，要善于直接運(yùn)用或創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用基本不等式，其中拆項(xiàng)、并項(xiàng)、分解、組合是變形的重要技巧. 特點(diǎn):“由因?qū)Ч? 則綜合法用框圖表示為: … 用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論. 例2：在△ＡＢＣ中，三個(gè)內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形． 3、 課堂練習(xí) 1、在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數(shù)列，求證： 4、 課后作業(yè) 1．a(chǎn)－b C． D．b2>a2 2．a(chǎn),b∈R+，M=，則M、A、G、H間的大小關(guān)系是（ ） A．M≥A≥G≥H B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H D．A≥G≥H≥M 3．00，b>0，且a+b=1，求證：. 3． 4． 第4課時(shí) 反證法 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 1.反證法的概念. 2.反證法證題的基本方法. (二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握反證法的概念. 2.理解反證法證題的基本方法. 3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能. (三)德育滲透目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進(jìn)行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡單推理能力與思維能力. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.理解反證法的推理依據(jù). 2.掌握反證法證明命題的方法. 3.反證法證題的步驟. ●教學(xué)難點(diǎn) 理解反證法的推理依據(jù)及方法. ●教學(xué)過程 1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法. 2.講授新課 反證法:先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義,定理,性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質(zhì),明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明. 例2、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時(shí)大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘：ab < (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾 ∴原式成立 3.課時(shí)小結(jié) 反證法主要適用于以下兩種情形 (1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰; (2)如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類討論而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情形. 常見否定用語 是－－－不是 有－－－沒有 等－－－不等 成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一個(gè)不是 都有－－不都有，即至少有一個(gè)沒有 都不是－部分或全部是，即至少有一個(gè)是 唯一－－至少有兩個(gè) 至少有一個(gè)有（是）－－全部沒有（不是） 至少有一個(gè)不－－－－－全部都 4、 課堂練習(xí) 課本 91頁 練習(xí)1,2 5、 作業(yè)布置 課本 91頁 1,2,4 補(bǔ)充教案 放縮法 ●教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)知識點(diǎn) （一）1. 放縮法的概念. 2. 放縮法證題的基本方法. (二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握放縮法的概念. 2.理解放縮法證題的基本方法. 3.培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡單推理的技能. (三)德育滲透目標(biāo)：證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.理解放縮法的推理依據(jù). 2.掌握放縮法證明命題的方法. ●教學(xué)難點(diǎn) 理解放縮法的推理依據(jù)及方法. ●教學(xué)過程 1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法. 反證法 2.講授新課 放縮法:證明不等式時(shí),通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關(guān)項(xiàng)之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項(xiàng)得到簡化而有利于代數(shù)變形,從而達(dá)到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法. 通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、縮適當(dāng),否則就不能達(dá)到目的,因此放縮法是技巧性較強(qiáng)的一種證法. 例2、求證： 證明： ∴、 .課時(shí)小結(jié) 4、課后作業(yè) 1、設(shè)x > 0, y > 0,, ，求證：a < b