2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）（打包9套）.zip
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(上海卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
9. 給出四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④；從四個(gè)函數(shù)中任選2個(gè)，事件：“所選2個(gè)函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為。
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)公共點(diǎn)問題。
【試題分析】本題考查了簡單概率基本計(jì)算，本題屬于中檔試題。
聯(lián)立①、④，有唯一解；
聯(lián)立②、③，無解，不符合；
聯(lián)立②、④，無解，不符合；
聯(lián)立③、④，有兩個(gè)解，不符合；
由上所述：基本事件總數(shù)為6種，符合事件的有2種，故，。
解析二：圖像法--直接法。
解析：如圖所示，
由上所述：基本事件總數(shù)為種，符合事件的有①③、①④ 2種，故，。
點(diǎn)睛：通過上述解法可以看出數(shù)形結(jié)合的解題思路清晰明朗，準(zhǔn)確快捷。
10.已知數(shù)列滿足：，，若對(duì)于一切，中的第項(xiàng)恒等于中的第項(xiàng)，則=。
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列于對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)。
【試題分析】本題考查了數(shù)列與對(duì)數(shù)函數(shù)基本計(jì)算，本題屬于中檔試題。
解析一：直接法，對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)1。
解析：∵，，若對(duì)于一切，中的第項(xiàng)恒等于中的第項(xiàng)；
∴，，，
∴
解析二：直接法，對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)2。
解析：∵，，若對(duì)于一切，中的第項(xiàng)恒等于中的第項(xiàng)；
∴，，，
∴
解析三：變分母。
點(diǎn)睛： 本題計(jì)算角度多，難易度適中；平時(shí)應(yīng)注重多解訓(xùn)練，打開思路！
17. 如圖，直三棱柱中，，，，。
（1） 求三棱柱的體積；
（2） 若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小。
【答案】（1）；
解析：
（2）
【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何及線面角的三角函數(shù)表達(dá)式
【試題分析】本題考查了立體幾何及線面角的基礎(chǔ)知識(shí)，方法較多，本題屬于中檔試題。
解析一：向量法--正切值表示法。
解析：以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，、、、，
∵平分，∴ ∴，
且
又 ，
連接，知
，∴要求直線與平面所成角的大小為：。
解析二：向量法--正弦值表示法。
又 ，
連接，知
∴要求直線與平面所成角的大小為：。
解析三：幾何法。
解析：連接，∵、 ∴
又 是的中點(diǎn)，∴；故：，∴要求直線與平面所成角的大小為：。
點(diǎn)睛：本題采用幾何法計(jì)算比較好，準(zhǔn)確度高，計(jì)算量少；但同時(shí)也許注意向量法的運(yùn)用。
5
(全國III卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
1、【2017年高考數(shù)學(xué)全國三卷理11】11．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=
A． B． C． D．1
【答案】C
函數(shù)的零點(diǎn)滿足，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為.
設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為，
若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；
若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)，
即，解得.故選C.
解法三：對(duì)稱性
可得
，即為方程的對(duì)稱軸.
有唯一零點(diǎn)，的零點(diǎn)為，
即，解得.故選C.
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想
【思路分析】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
2、【2017年高考數(shù)學(xué)全國三卷理12】12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】
方法一：特殊值法
,故選A
方法二：解析法
如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè),
易得圓的半徑，即圓C的方程是，
，若滿足，
則，，所以，
設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.
如圖：由等和線相關(guān)知識(shí)可知，當(dāng)P點(diǎn)在如圖所示位置時(shí)，最大，且此時(shí)若
,則由，由三角形全等可以得,知
，所以選A
【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量基本定理
【思路解析】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.
（2） 用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.
3、【2017年高考數(shù)學(xué)全國三卷理15】15．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
寫成分段函數(shù)的形式：，
函數(shù)在區(qū)間三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增，
且，可知x的取值范圍是.
解法二:圖象變換法：
函數(shù)在R上都是增函數(shù).
向右平移個(gè)單位得的圖象。
觀察圖象，時(shí)，
時(shí)，
所以
方法三：圖象轉(zhuǎn)換法
，則滿足，
即與的圖象如圖所示：
由圖可知，滿足的解集為
【考點(diǎn)】分段函數(shù)；分類討論的思想
【解題思路】（1）求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.
（2）當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.
4、已知函數(shù)f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】
當(dāng)時(shí)，無解；
當(dāng)時(shí)，得，；
當(dāng)時(shí)，得，
綜上所述：的解集為
解法二：幾何意義法：
實(shí)數(shù)到-1的距離與到2的距離只差等于1的位置即x=1的位置，大于等于1即.所以的解集為.
2
-1
解法三：
構(gòu)造函數(shù)法：
畫出f（x）=│x+1│–│x–2│的圖象和圖象
兩圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
所以不等式的解集為.
【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法
【思路分析】絕對(duì)值不等式的解法有三種：
法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；
法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；
法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.
7
(全國II卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
【理數(shù)10題】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考點(diǎn)】 線面角
解法二：向量法：取空間向量的一組基底為，則，
，易知，，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為，故本題答案為C.
解法三：建系法：如圖所示，以垂直于的方向?yàn)檩S，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以異面直線與所成角的余弦值，故本題答案為C.
【理數(shù)12題】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、函數(shù)的最值
【分析】平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”,即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”,即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．
【解析】
解法二：極化恒等式：取的中點(diǎn)為，則，于是，根據(jù)極化恒等式可得
，故選B.
解法三：代數(shù)法：如圖所示，若取最小值，則與反向共線，即點(diǎn)位于的中線上，中線長為，設(shè)，則，因此
；
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.
【理數(shù)24題】已知，證明：
（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】 不等式性質(zhì)的應(yīng)用
【解析】
（2）均值不等式：利用均值不等式的結(jié)論結(jié)合題意證得，即可得出結(jié)論.
所以，因此.
解法二：（1）同解法1；
分析法：因?yàn)椋C明，只需證明，
即證明，只需證明，因?yàn)?，上式等價(jià)于
，也即，即，因?yàn)?，上式顯然成立，所以結(jié)論成立，即.
解法三：（1）柯西不等式
由柯西不等式可得：,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，原問題得證.
（2）同解法1.
【文數(shù)11題】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考點(diǎn)】 古典概型
【解析】
解法一：圖表法：根據(jù)題意，寫出基本事件空間，如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù)總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種，所以所求概率為,本題選D.
1
2
3
4
5
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
（4,5）
5
（5,1）
（5,2）
（5,3）
（5,4）
（5,5）
解法二：基本事件空間法：容易知道，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2）（5,3），（5,4），共有個(gè)基本事件，所以抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率,本題選D.
解法三：分類討論：根據(jù)題意，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有以下四種：（1）第一張抽到2，第二張抽到1，概率；（2）第一張抽到3，第二張抽到1或2，概率；（3）第一張抽到4，第二張抽到1或2或3，概率；（4）第一張抽到5，第二張抽到1或2或4，概率；故，本題答案為D.
【文數(shù)12題】△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若，則
【答案】
【考點(diǎn)】 正余弦定理的應(yīng)用
【分析】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．其基本步驟是：
第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向．
第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化．
第三步：求結(jié)果．
解法一：化邊為角：由正弦定理可得
.
解法三：特殊化處理：若△ABC為等邊三角形，則，滿足已知條件，所以.
【文數(shù)24題】已知，證明：
（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】 不等式性質(zhì)的應(yīng)用
【解析】
解法一：
（1）配方法：展開所給的式子，然后結(jié)合題意進(jìn)行配方即可證得結(jié)論；
（2）均值不等式：利用均值不等式的結(jié)論結(jié)合題意證得，即可得出結(jié)論.
所以，因此.
解法三：（1）柯西不等式
由柯西不等式可得：,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，原問題得證.
（2）同解法1.
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(全國I卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
1、【2017年高考數(shù)學(xué)全國I理第5題】函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；單調(diào)性；抽象函數(shù)；解不等式。
【試題分析】本題主要考察了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性以及簡單的解不等式，屬于簡單題。
【解析】
解析二：（特殊函數(shù)法）由題意，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，化簡得，故選D。
解析三：（特殊值法）假設(shè)可取，則有，又因?yàn)椋耘c矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C，故選D。
2、【2017年高考數(shù)學(xué)全國I理第11題】設(shè)xyz為正數(shù)，且，則
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】比較大?。粚?duì)數(shù)的運(yùn)算；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
【試題分析】本題主要考察了對(duì)數(shù)的比較大小，其中運(yùn)用到了對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，對(duì)數(shù)的單調(diào)性等。屬于中檔題。
【解析】
解析一：令，則，，，
，，，
要比較與，只需比較，，即比較與，即比較，，易知，故.
要比較與，只需比較，，即比較與，即比較，，易知，故.
所以.
解析二：令，則，，，
，，，
，所以即.
，所以即.
所以.
3、【2017年高考數(shù)學(xué)全國I理第18題】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
【答案】見解析
【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。
【試題分析】本題第一問主要考察了面面垂直的判定，其中還需要用到線面垂直的判定第。第二問是考察二面角的求法，屬于中檔題。
【解析】
（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.
又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）方法一：（綜合法）不妨設(shè)PA=PD=AB=DC=1，
則易得,
取中點(diǎn)，連接，則，
所以即為所求二面角的平面角。在三角形中，
，，,
所以二面角的余弦值為.
由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
設(shè)是平面的法向量，則
，即，
可取.
設(shè)是平面的法向量，則
，即，
可取.
則，
所以二面角的余弦值為.
方法三：（等體積轉(zhuǎn)化法）不妨設(shè)PA=PD=AB=DC=1，
則易得,
取中點(diǎn)，連接，則。
設(shè)在平面內(nèi)投影為，連,
則的補(bǔ)角即為所求二面角的平面角。
由得
所以二面角的余弦值為.
5
(北京卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
1、【2017年高考數(shù)學(xué)北京理1】若集合，，則（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】集合的交運(yùn)算
【試題分析】本題考查考生的運(yùn)算能力．屬于基礎(chǔ)題．
解析三（特殊值法）從選擇支入手，令，得排除B和C.
再令，得：，排除D，故選A.
2、 【2017年高考數(shù)學(xué)北京文11】已知，，且，則的取值范圍是__________．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的綜合，不等式的范圍問題
【試題分析】本題考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．
【解析】
解析一：由已知得：
解析二：
解析三：
解法四：，
3、 【2017年高考數(shù)學(xué)北京理11】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓的極坐標(biāo)方程
【試題分析】本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，意在考查化歸與轉(zhuǎn)化、運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．
【解析】
解析一：將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：
解析三：將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：
4、【2017年高考數(shù)學(xué)北京理15】在中，，.
（1）求的值；
（2）若，求的面積.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理，余弦定理
【試題分析】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式．考查考生的運(yùn)算求解能力與解決問題的能力.屬于基礎(chǔ)題．
【解析】
(1)
（2） 解析一：
解析二：當(dāng)時(shí)，
△ABC中
解析三：如圖所示：
5
(天津卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
（7）設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則
（A）， （B）， （C）， （D），
【答案】
【解析】法一：由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．
法二：由題意,則，因此
,則，從而可得.
法三：（排除法）當(dāng)時(shí)，，滿足題意，，不合題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，不合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；，不合題意，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.本題選擇A選項(xiàng).
（9）已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為 .
【答案】
【解析】法一：為實(shí)數(shù)，
則.
法二：設(shè)，則，則，因此.
法三：，則，因此.
法四：，則，則，則，則
（11）在極坐標(biāo)系中，直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________.
【答案】2
，因此該方程有兩組解，從而有兩個(gè)交點(diǎn).
法三：直線為 ，圓為 ，則過且與圓相切的直線的斜率為，結(jié)合，從而有兩個(gè)交點(diǎn).
（13）在中，，，.若，，且，則的值為___________.
【答案】
法二：以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，，.由得，由得.則，則.
法三：，因此，
結(jié)合，因此，即
，即，即.
（19）（本小題滿分14分）
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.
【答案】 （1），.（2），或.
【解析】法一：（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.
所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
所以，直線的方程為，或.
法二：（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.
所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
（II）根據(jù)條件設(shè)直線的方程為.聯(lián)立與，消去得，解得，因此有.結(jié)合的位置，有，從而.
設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線，,即，即，因此.又的面積為，則
，解得，因此直線的方程為.
法三：（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.
所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
（II）設(shè)點(diǎn)，則，由的面積為，則，則
，其中.
易知直線的方程為，聯(lián)立與，消去得
，解得，因此有.
結(jié)合三點(diǎn)共線，,即，即，
從而，解得，因此直線的方程為.
5
(山東卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
1.(2017.山東文T4)已知,則
(A)- (B) (C) - (D)
【考點(diǎn)】二倍角公式及其變形
【試題分析】本題考查了倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【答案】D
【解析】法一：，cos2x=2cos2x-1=.
法二：由得，.
法三：由得，.
3.(2017.山東文T11)若直線 過點(diǎn)（1,2），則2a+b的最小值為____
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式
【試題分析】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查“1”代換，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【答案】8
2a+b====8.
法三：直線過點(diǎn)(1,2),則即ab≥8,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立,所以2a+b當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立.
(理科T7)若，且，則下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性、基本不等式、比較大小
【試題分析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
法二：a>b>0，且ab=1則a>1,0f(2)=1>0,所以x>log2x，
即2a>，所以,
，
所以.
3
(江蘇卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
2017年江蘇卷第5題：若tan,則tan=
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正切公式
【試題分析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題。
解法一：直接法
由，得，故可知
解析二：整體代換
．
解法三：換元法
令，則，.所以
2017年江蘇卷第9題（5分）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)為Sn，已知S3=，S6=，則a8= ?。?
法二：
S3=，∴，得a1=，則a8==32．
法三：
∴q=2
∴，得a1=，則a8==32．
2017年江蘇卷第15題．（14分）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求證：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
法二：
在線段CD上取點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，
因?yàn)锽C⊥BD，所以FG⊥BD，
又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因?yàn)锳D⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
法三：在線段CD上取點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，
BC⊥BD，F(xiàn)G⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，
FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因?yàn)锳D⊥EF，且EF∩FG=F，
AD⊥平面EFG，
又FG∥BC，則EG∥AC，
平面EFG//平面ABC
AD⊥平面ABC,
又AC平面ABC，
AD⊥AC.
3
（浙江卷）2018年高考數(shù)學(xué)一題多解（含17年高考試題）
15．已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，
【解析】
令，則，
據(jù)此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
方法二：（向量法）
D
如圖，，，
設(shè)
在中，
由
所以
又在
所以
方法三：不等式法
=16
【考點(diǎn)】平面向量模長運(yùn)算
【解題思路】本題通過設(shè)向量的夾角為，結(jié)合模長公式，可得
，再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求．
17．已知aR，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)命題成立；
③當(dāng)時(shí)，，則：
或，解得：或
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
當(dāng)時(shí)，
右邊恰好成立。
左邊
方法三（換元法）
令，
令，由題意可得
易知
得得
或得得
【考點(diǎn)】基本不等式、函數(shù)最值
【解題思路】本題利用基本不等式，由，得，通過對(duì)解析式中絕對(duì)值符號(hào)的處理，進(jìn)行有效的分類討論：①；②；③，問題的難點(diǎn)在于對(duì)分界點(diǎn)的確認(rèn)及討論上，屬于難題．解題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)對(duì)各種情況逐一進(jìn)行討論．
19．（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，
CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．
（第19題圖）
（Ⅰ）證明：平面PAB；
（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．
試題解析：
（Ⅰ）如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以
且，
又因?yàn)?，，所?
且，
即四邊形BCEF為平行四邊形，所以
，
因此
平面PAB．
(2)
方法一：直接法
由BC//AD得,BC⊥平面PBN，
那么,平面PBC⊥平面PBN．
過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH．
MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．
設(shè)CD=1．
在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，
在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，
在Rt△MQH中，QH=，MQ=，
所以
sin∠QMH=，
所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．
方法二：坐標(biāo)法
X
取AD的中點(diǎn)O，連接PO,OB
是等腰直角三角形，
在直角梯形AOCB中，
，
得,
,,
,.
平面BPC的法向量為
所以
所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．3
方法三：直接求高法
CE=，作EH平面PBC于H，
則.
E到平面PBC的距離是D到PBC的距離的.
O到平面PBC的距離就是D到平面PBC的距離.
所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．
【考點(diǎn)】證明線面平行，求線面角
【解題思路】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于中檔題．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面．本題（1）是就是利用方法①證明的．另外，本題也可利用空間向量求解線面角．
7
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