2018年高考數(shù)學一題多解（含17年高考試題）（打包9套）.zip
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(全國II卷）2018年高考數(shù)學一題多解（含17年高考試題）
【理數(shù)10題】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考點】 線面角
解法二：向量法：取空間向量的一組基底為，則，
，易知，，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為，故本題答案為C.
解法三：建系法：如圖所示，以垂直于的方向為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，所以異面直線與所成角的余弦值，故本題答案為C.
【理數(shù)12題】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考點】 平面向量的坐標運算、函數(shù)的最值
【分析】平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”,即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；②“數(shù)化”,即利用平面向量的坐標運算,把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決．
【解析】
解法二：極化恒等式：取的中點為，則，于是，根據(jù)極化恒等式可得
，故選B.
解法三：代數(shù)法：如圖所示，若取最小值，則與反向共線，即點位于的中線上，中線長為，設，則，因此
；
當時，取得最小值，此時，.
【理數(shù)24題】已知，證明：
（1）；
（2）．
【考點】 不等式性質(zhì)的應用
【解析】
（2）均值不等式：利用均值不等式的結論結合題意證得，即可得出結論.
所以，因此.
解法二：（1）同解法1；
分析法：因為，要證明，只需證明，
即證明，只需證明，因為，上式等價于
，也即，即，因為，上式顯然成立，所以結論成立，即.
解法三：（1）柯西不等式
由柯西不等式可得：,
當且僅當，即時取等號，所以，原問題得證.
（2）同解法1.
【文數(shù)11題】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考點】 古典概型
【解析】
解法一：圖表法：根據(jù)題意，寫出基本事件空間，如下表所示，表中的點橫坐標表示第一次取到的數(shù)，縱坐標表示第二次取到的數(shù)總計有25種情況，滿足條件的有10種，所以所求概率為,本題選D.
1
2
3
4
5
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
（4,5）
5
（5,1）
（5,2）
（5,3）
（5,4）
（5,5）
解法二：基本事件空間法：容易知道，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2）（5,3），（5,4），共有個基本事件，所以抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率,本題選D.
解法三：分類討論：根據(jù)題意，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的情況有以下四種：（1）第一張抽到2，第二張抽到1，概率；（2）第一張抽到3，第二張抽到1或2，概率；（3）第一張抽到4，第二張抽到1或2或3，概率；（4）第一張抽到5，第二張抽到1或2或4，概率；故，本題答案為D.
【文數(shù)12題】△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,若，則
【答案】
【考點】 正余弦定理的應用
【分析】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：
第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向．
第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化．
第三步：求結果．
解法一：化邊為角：由正弦定理可得
.
解法三：特殊化處理：若△ABC為等邊三角形，則，滿足已知條件，所以.
【文數(shù)24題】已知，證明：
（1）；
（2）．
【考點】 不等式性質(zhì)的應用
【解析】
解法一：
（1）配方法：展開所給的式子，然后結合題意進行配方即可證得結論；
（2）均值不等式：利用均值不等式的結論結合題意證得，即可得出結論.
所以，因此.
解法三：（1）柯西不等式
由柯西不等式可得：,
當且僅當，即時取等號，所以，原問題得證.
（2）同解法1.
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