山東省諸城市桃林鎮(zhèn)中考數(shù)學(xué) 第38章 染色問(wèn)題與染色方法復(fù)習(xí)題（無(wú)答案）

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1、 第38章 染色問(wèn)題與染色方法 ★★38.1 已知平面上6點(diǎn)，每3點(diǎn)不共線，證明：以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，定有一個(gè)三角形的最大邊是另一個(gè)三角形的最小邊． ★★38.2 有15位數(shù)學(xué)家在一次國(guó)際會(huì)議上相遇，其中任意3人中都至少有2人可講同一種語(yǔ)言．證明：如果已知每個(gè)人最多能講三種語(yǔ)言，那么至少有4人能講同一種語(yǔ)言． ★★38.3 某班有50名學(xué)生，男女各占一半，他們圍成一圈開營(yíng)火晚會(huì)，證明：一定能找到一位兩旁都是女生的學(xué)生． ★★38.4 平面上有n(n>3)個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都不共線，將這些點(diǎn)兩兩用線段相連．所有這些線段中某些線段整條涂上紅色，其余的線段則整條涂

2、上藍(lán)色，使得所有紅色的線段構(gòu)成一個(gè)不自交的封閉曲線（即由此曲線中的任一個(gè)頂點(diǎn)開始，可以繞經(jīng)所有的同色線段，最后繞回此頂點(diǎn)，在途中同色線段互不相交于端點(diǎn)以外的點(diǎn)，且每個(gè)頂點(diǎn)恰好各進(jìn)出一次），所有藍(lán)色的線段也構(gòu)成一個(gè)不自交封閉曲線，試求所有滿足上述情況的n值，并說(shuō)明點(diǎn)的配置情形及如何涂色． ★★38-5 將正十三邊形的每個(gè)頂點(diǎn)染成黑色或染成白色，每頂點(diǎn)只染成一色，證明：存在三個(gè)同色頂點(diǎn)，它們剛好成為一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn). ★38.6 圓周上有1 2個(gè)點(diǎn)，其中有1個(gè)點(diǎn)涂了紅色，還有1個(gè)點(diǎn)涂了藍(lán)色，其余10個(gè)點(diǎn)沒(méi)有涂色，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形中，其頂點(diǎn)包含了紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的多邊形稱為雙色

3、多邊形；只包含紅點(diǎn)（藍(lán)點(diǎn)）的稱為紅色（藍(lán)色）多邊形，不包含紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的稱為無(wú)色多邊形．問(wèn)：是雙色多邊形的個(gè)數(shù)多，還是無(wú)色多邊形的個(gè)數(shù)多，兩者相差多少個(gè)？ ★★★38.7 設(shè)S為平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集（點(diǎn)數(shù)≥5），其中若干個(gè)點(diǎn)染上紅色，其余的點(diǎn)染上藍(lán)色．設(shè)任何3個(gè)及3個(gè)以上的同色的點(diǎn)不共線，求證：存在一個(gè)三角形，使得：①它的3個(gè)頂點(diǎn)同色；②這個(gè)三角形至少有一條邊上不包含另一種顏色的點(diǎn). ★★★38.8 用任意方式將平面上每一個(gè)點(diǎn)染成黑色或白色，求證：平面上必存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1或的正三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)都是同色的. ★★★38.9 在正6n+1邊形中，將k個(gè)頂點(diǎn)染成藍(lán)色．證明：

4、具有同色頂點(diǎn)的等腰三角形數(shù)目不依賴于染色方法. ★★★38.10 在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．試設(shè)計(jì)一種將所有整點(diǎn)染色的方法，將每個(gè)整點(diǎn)中當(dāng)成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得： （1）每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)地?zé)o窮多條平行于橫軸的直線上. （2）對(duì)于任意白點(diǎn)A、紅點(diǎn)B及黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得四邊澎ABCD是一個(gè)平行四邊形． 并證明設(shè)計(jì)的染色方法符合上述要求． ★★★38.11 將平面上的所有的點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色，試構(gòu)造一種染色方式，使平面上找不到一個(gè)頂點(diǎn)同色而邊長(zhǎng)等于單位長(zhǎng)度的等邊三角形． ★★★38.12 考察坐標(biāo)平面上的所有整點(diǎn)（x，y）

5、，其中1≤x、y≤1997．我們將其中x與y互質(zhì)的點(diǎn)都染為紅色，其余整點(diǎn)染為藍(lán)色．證明：紅色點(diǎn)不少于一半． ★★★38.13 某班有49名學(xué)生，坐成7行7列．每個(gè)座位的前后左右均稱為它的 鄰座．要使全班每個(gè)同學(xué)都離開自己的位子坐到鄰座上去，問(wèn)：這種方案能否實(shí)現(xiàn)？ ★★★38.14 將邊長(zhǎng)為2的正方形的角上去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，用所得到的圖形去覆蓋一個(gè)5×7的方格紙，可以重疊，但圖形不可超出整個(gè)方格紙，那么是否可能使方格紙中的每個(gè)邊長(zhǎng)為1的小方格上覆蓋圖形重疊的層數(shù)都相等？證明你的結(jié)論. ★★38. 15 如圖所示，在一個(gè)3×5的棋盤上去掉位于第2行第1列的方格，求

6、證：在殘缺棋盤上不能用7個(gè)l×2的日字形紙片將它覆蓋. ★★38. 16 5×5的正方形內(nèi)有25個(gè)方格，至少要涂黑幾個(gè)方格才能使正方形內(nèi)的任何一個(gè)3×3的正方形里面正好都出現(xiàn)4個(gè)黑格？ ★★★38.17 在4×4的方格紙中，把部分小方格涂成紅色，然后劃去其中2行2列，若無(wú)論怎樣劃都至少有一個(gè)紅色的小方格數(shù)沒(méi)有被劃去，則至少要涂多少個(gè)小方格？證明你的結(jié)論. 如果將上題中的“4×4的方格紙”改成 “n×n的方格紙（n≥5）” ．其他條件不變，那么至少要涂多少個(gè)小方格？證明你的結(jié)論. ★★38.18 把2n×2n的方格中的左下角剪去一個(gè)2×2的正方形，余下了4n 2－4

7、個(gè)小方格（如圖所示是n＝4的圖形） （1）當(dāng)n＝5時(shí)，余下的96個(gè)小方格能否剪成24塊形的小紙片？若能，給出剪法；若不能，說(shuō)明理由. （2）當(dāng)n＝4時(shí)，余下的60個(gè)小方格能否剪成15塊形的小紙片？若能，給出剪法；若不能，說(shuō)明理由. ★★★38.19 （1）假定一個(gè)4×7的方格棋盤（見(jiàn)圖），每個(gè)方格染成黑色或白色．求證：對(duì)任何一種染色方式，在棋盤中必定包含一個(gè)四角上的方格同色的矩形，如圖中虛線方框所示. （2） 在4×6的方格紙中，將每個(gè)小方格都染成黑色或白色，試給出一種染色方式，使方格紙中找不到一個(gè)四角同色矩形。 ***38.20 在

8、4行18列的方格紙中，每個(gè)小方格染成紅色，藍(lán)色或黃色，試構(gòu)造一種染色方式，使方格紙中找不到一個(gè)四角同色矩形。 ***38.21 在一個(gè)8×8的方格陣內(nèi)是否涂黑某些方格，使其中任意3×3的正方形內(nèi)都恰好存在5個(gè)黑格，而且在任意2×4的矩形（橫豎不限）內(nèi)都恰好存在4個(gè)黑格？ ***38.22 彼得在具有整數(shù)邊長(zhǎng)的矩形中先給某一個(gè)方格涂色，而薩拉接著也給其它方格涂色，但他得遵循以下規(guī)則：該方格要與奇數(shù)個(gè)已涂色的方格相鄰（這里相鄰是指具有公共邊），那么在以下兩種矩形中，不論彼得先涂哪一種格，薩拉都能把全部方格涂滿色嗎？ （1） 如果是8×9的矩形. （2） 如果是8×10的矩形. *

9、**38.23 將15×15的方格表中的某些小方格涂上顏色，使得把西洋棋的主教（Bishop）放在方格表上的任一方格上，它都至少可以攻擊兩個(gè)涂有顏色的小方格.要滿足上述要求，請(qǐng)問(wèn)：在15×15的方格表上至少要將多少個(gè)小方格涂上顏色（注：西洋棋中的主教可以攻擊本身所在的小方格及他的東南，東北，西南，西北方向上的任何小方格）？ ***38.24 在一個(gè)15×15的方格棋盤上，規(guī)定棋子每步只能朝水平或鉛直方向跳過(guò)8或9個(gè)小方格，且不可以重復(fù)跳入任何一個(gè)格子。若棋子可以從此棋盤的任一個(gè)方格開始，請(qǐng)問(wèn)：此棋子最多可以跳入幾個(gè)小方格？ ***38.25 （1）用1×1,2×2,3×3三種型號(hào)的正方形地板磚鋪23×23的正方形地面，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得1×1的地板磚只用一塊。 （2）請(qǐng)你證明：只用2×2,3×3兩種型號(hào)的地板磚，無(wú)論如何鋪設(shè)都不能鋪滿正方形地面而不留空隙。 ***38.26 12名矮子住在森林里，每人將自己的房子染成紅色或白色，在每年的第i個(gè)月，第i個(gè)矮子訪問(wèn)他所有的朋友（這12個(gè)矮子中的），如果他發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)朋友的房子與自己顏色不同，那么他就將自己房子的顏色改變，與大多數(shù)朋友保持一致.證明：不久以后，這些矮子就不需要改變顏色了. 5