精修版貴州省貴陽(yáng)市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 05第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解； 從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)△=)，通過(guò)窮舉，逼近求解； 從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解； 從變更主元入人，

2、當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解． 注：一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān)． 【例題求解】 【例1】若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有 個(gè)． 思路點(diǎn)撥 用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確． 注：系數(shù)含參數(shù)的方程問(wèn)題，在沒(méi)有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問(wèn)題的題設(shè)條件，看是否要分類討論． 【例2】 已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么

3、的值是( ) A． B． C． D． 思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、、的值． 【例3】 試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根． 思路點(diǎn)撥 由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論．當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根． 【例4】 當(dāng)為整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

4、 思路點(diǎn)撥 整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)． 設(shè)△=(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性． 注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△=為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件． 【例5】 若關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)的值． 思路點(diǎn)撥 因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的的兩個(gè)關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有 ． 2．已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m＝

5、 ． 3．給出四個(gè)命題：①整系數(shù)方程(a≠0)中，若△為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程(a≠0)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；③無(wú)理數(shù)系數(shù)方程(a≠0)的根只能是無(wú)理數(shù)；④若、、均為奇數(shù)，則方程沒(méi)有有理數(shù)根，其中真命題是 ． 4．已知關(guān)于的一元二次方程 (為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 、，則= ． 5．設(shè)rn為整數(shù)，且4