2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇 　　一、要點(diǎn)透析 　　1．綜合法 　　一般地，從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止．這種證明方法常稱為綜合法． 　　綜合法的推證過(guò)程如下： 　　注意：應(yīng)用綜合法時(shí)，應(yīng)從命題的前提出發(fā)，在選定了出發(fā)點(diǎn)以后（它基于題設(shè)或已知的真命題），再依次由它得出一系列的命題（或判斷），其中每一個(gè)都是真實(shí)的（但它們并不一定都是所需求的）．當(dāng)最后一個(gè)包含我們要證明的命題的結(jié)論時(shí)，命題得證． 　　2．分析法 　　一般地，從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件與已知條件吻合為止．這種證明方法常稱為分析法． 　　分析法的推證過(guò)程如下： 　　注意：這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關(guān)系，因而需要從這些關(guān)系中逐個(gè)考查，逐個(gè)思索，逐個(gè)分析，逐個(gè)判斷，在得到了所需的確定結(jié)論時(shí)（它們是已證的命題或已知的條件），才知道前面各步推理的適當(dāng)與否，從而找出證明的路子． 　　3．綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系 　　綜合法的特點(diǎn)：是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的必要條件；分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件．分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的特征命題，用分析法和綜合法都可以證明出來(lái)，人們往往選擇比較簡(jiǎn)單的一種． 　　分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述．因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過(guò)程． 　　4．反證法 　　反證法是一種常用的間接證明方法．用反證法證明命題“若p則q”的過(guò)程可以用以下框圖表示： 　　應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面三個(gè)步驟： 　?。?）反設(shè)———假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； 　?。?）歸謬———從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； 　?。?）存真———由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立． 　　注意：所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與公理、定義、定理、條件矛盾或與臨時(shí)假定矛盾，以及自相矛盾等各種情況． 　　二、范例點(diǎn)悟 　　例1　已知，求證：． 　　證明：∵，， 　　∴， 　　∴， ∴． 　　同理：，， 　　將三式相加得． ． 　　∴． 　　評(píng)注：在運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí)，常利用不等式的基本性質(zhì)，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件． 　　例2　當(dāng)一個(gè)圓與一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，這個(gè)圓的面積比正方形的面積大． 　　證明：設(shè)圓和正方形的周長(zhǎng)為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為，因此本題只需證明． 　　為了證明成立，只需證明 　　兩邊同乘以正數(shù)，得顯然成立， 　　所以． 　　這就證明了，如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么這個(gè)圓的面積比這個(gè)正方形的面積大． 　　評(píng)注：在分析法證明中，從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實(shí)．因此，從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個(gè)倒推過(guò)程可以省略． 　　例3　已知三個(gè)關(guān)于x的方程，；中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 　　解析：三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根的充要條件是 　　即解得． 　　∴使三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)m的取值范圍為． 評(píng)注：反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若p則q”為真，應(yīng)證“若p則”為假，因此，反證法的核心是從出發(fā)導(dǎo)出矛盾． 綜合法及其應(yīng)用 　　綜合法就是從命題提供的條件，或是已證明過(guò)的結(jié)論，或是已知的定義、公理、定理等條件及事實(shí)出發(fā)，經(jīng)正確的推理得到結(jié)論的方法，是一種直接的演繹推理方法，也就是“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? 　　一、綜合法適用范圍 　　1．定義明確的題型，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無(wú)條件的等式或不等式問(wèn)題等； 　　2．已知條件明確，且容易通過(guò)找已知條件的必要條件逼近欲得結(jié)論的題型． 　　二、應(yīng)用舉例 　　例１　設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，，且對(duì)任意的，均有，求證：． 　　分析：直接運(yùn)用綜合法給予證明，不妨設(shè)，運(yùn)用分類討論即可． 　　證明：不妨設(shè)，則 　?。?）如果，則． 　?。?）如果，由，得 　　 。 　　綜合（1）（2），得． 　　例2　已知：x，y，z都是小于1的正數(shù)，且它們的和為2．求證：． 　　分析：直接運(yùn)用綜合法進(jìn)行證明，但證明過(guò)程中要應(yīng)用不等式證明的放縮法． 　　證明：∵， 　　∴． 　　∵，，， 　　∴． 　　即． 　　∵，，， 　　∴，，， 　　∴． 　　∴． 　　∴． ∴得證．　 瞄準(zhǔn)反證法 　　反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具．對(duì)于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論，常采用反證法．熟練掌握并運(yùn)用反證法，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理． 　　1．反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾．它可以用下面的程序來(lái)表示：“否定——推理——肯定．” 　　“否定”——假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立． 　　“推理”——從已知條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理，導(dǎo)致邏輯矛盾． 　　“肯定”——由于推理過(guò)程正確，故矛盾是由假設(shè)所引起的．因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的． 　　2．應(yīng)用反證法的原則：正難則反，即如果一個(gè)命題的結(jié)論難以用直接法證明時(shí)可考慮用反證法 　　3．宜用反證法證明的題型：①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②“否定性”命題；③“惟一性”命題；④“必然性”命題；⑤“至少”、“至多”命題等． 　　4．注意事項(xiàng)：（1）應(yīng)用反證法證明命題時(shí)，反設(shè)必須恰當(dāng)．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個(gè)”的否定是“不存在”等． 　　（2）用反證法證明時(shí)最好在開篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評(píng)卷． 　　下面舉例說(shuō)明“反證法”在證題中的應(yīng)用． 　　例１　設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列． 　　分析：命題的結(jié)論呈否定形式，故可用反證法 　　證明：設(shè)、的公比分別為，，． 　　假設(shè)是等比數(shù)列，則只需證． 　　由于， 　　而． 　　從而有，而， 　　故有，即，這與已知相矛盾，因此假設(shè)不成立，故不是等比數(shù)列． 　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到結(jié)論為否定形式的命題時(shí)，常常采用反證法． 　　例2　求證：兩條平行線中一條與一個(gè)平面相交，那么另一條也與這個(gè)平面相交． 　　已知：，平面，如圖1所示． 　　求證：直線b和平面相交． 　　證明：假設(shè)b和平面不相交，即或． 　　（1）若，因?yàn)?，? 　　所以，這與相矛盾． 　?。?）如果，因?yàn)?，所以a和b確定一個(gè)平面，顯然平面與平面相交． 　　設(shè)，因?yàn)?，所以? 　　又，從而且，． 　　故，這與矛盾． 　　由（1）（2）可知，假設(shè)不成立． 　　故直線b與平面相交． 例3　求證：正弦函數(shù)沒(méi)有比小的正周期． 　　證明：假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有成立． 　　令，得，即，． 　　又，故，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，這與矛盾． 　　所以正弦函數(shù)沒(méi)有比２?仔小的正周期． 　　例4　今有50位同學(xué)，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學(xué)左右兩側(cè)的兩位同學(xué)為一男一女？證明結(jié)論． 　　解：不存在這樣的座位安排． 　　證明：假設(shè)存在這樣的安排，則每一位同學(xué)必與一同性別的同學(xué)相鄰，若以Ｍ表示男同學(xué)，Ｗ表示女同學(xué)，則每一對(duì)相鄰而坐的男性（女性）同學(xué)的左右兩側(cè)必為兩對(duì)相鄰而坐的女性（或男性）同學(xué)，如圖2所示，因此男性或女性同學(xué)數(shù)應(yīng)是偶數(shù)，這和男性或女性同學(xué)數(shù)各占25矛盾，所以這種安排方法不存在． 聯(lián)立分析法、綜合法 　　分析法和綜合法是兩種常用的解題方法，有時(shí)候我們會(huì)把這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用． 　　一、用分析法尋找思路，用綜合法表述過(guò)程 　　例１　已知，求證：． 　　分析：本題用綜合法不容易找到證明思路，因此用分析法探路．要證原不等式成立，由得，因此移項(xiàng)，只需證． 　　通分得，即證． 　　只需證成立．思路找到． 　　證明：∵， 　　∴，，． 　　∴． 　　∴， 　　即 　　∴． 　　點(diǎn)評(píng)：分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述．因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過(guò)程． 　　二、分析法與綜合法聯(lián)合使用 　　對(duì)于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠攏“已知”，都有一個(gè)比較長(zhǎng)的思考過(guò)程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難．為保證探索方向準(zhǔn)確及過(guò)程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者結(jié)合起來(lái)使用，即常采取同時(shí)從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問(wèn)題的一個(gè)中間目標(biāo)．從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑．上面所言的思維模式可概括為如下圖所示： 　　綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法，它對(duì)于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用．把分析法與綜合法并列起來(lái)進(jìn)行思考，尋求問(wèn)題的解答途徑，就是人們通常所說(shuō)的分析綜合法． 　　例2　若a，b，c是不全相等的正數(shù)， 求證：． 　　證明：要證， 　　只需證， 　　只需證． 　　但是，，，． 　　且上述三式中的等號(hào)不全成立， 　　所以． 　　因此． 點(diǎn)評(píng)：這個(gè)證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法． 反證法知識(shí)點(diǎn)睛 　　反證法是一種重要的間接證明方法，在數(shù)學(xué)中使用相當(dāng)普遍．下面加以系統(tǒng)歸納，供參考． 　　一、反證法的基本內(nèi)容 　?、俣x；②思考過(guò)程、特點(diǎn)；③解題步驟；④推出矛盾情形． 　　二、注意事項(xiàng) 　　注意一：“否定所證結(jié)論”是反證法的第一步，它的正確與否直接影響能否正確使用反證法． 　　否定結(jié)論的步驟是：①弄清結(jié)論本身的情況；②找出結(jié)論的全部相反情況；③正確地否定上述結(jié)論． 　　注意二：反證法中引出矛盾的結(jié)論，不是推理本身的錯(cuò)誤，而是由于開始假定“結(jié)論的反面是正確的”是錯(cuò)誤的． 　　注意三：在反證法證題的過(guò)程中，經(jīng)常畫出某些不正確的圖形，甚至是不可能存在的圖形，這樣做的目的，是為了能清楚地說(shuō)明問(wèn)題．在證明過(guò)程中，每一步推理所得結(jié)論的正確性，應(yīng)完全由它所依據(jù)的理由來(lái)保證，而不能借助圖形的直觀性，這與用直接證法借助圖形的直觀性找到證題的途徑是不完全一樣的． 　　注意四：用反證法證明命題時(shí)，若原命題結(jié)論的反面不惟一，這時(shí)要把每種可能一一否定，不要遺漏． 　　三、何時(shí)運(yùn)用反證法 　　1．正面繁瑣或困難時(shí)宜用反證法； 　　2．惟一性命題可考慮用反證法； 　　3．當(dāng)命題的結(jié)論涉及“至少”、“至多”、“無(wú)限”時(shí)，可考慮用反證法； 　　4．當(dāng)問(wèn)題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)的否定性命題，可考慮用反證法； 　　5．當(dāng)反面結(jié)論比原結(jié)論表述更明確時(shí)，可考慮用反證法． 　　四、典例剖析 例１　已知函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)時(shí)，都有．求證：至多有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得． 證明：假設(shè)存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使得．（※） 不妨設(shè)，由條件可得，與（※）式矛盾 故至多有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得． 　　點(diǎn)評(píng)：此命題中出現(xiàn)“至多”，宜用反證法．欲證“至多有一個(gè)”，可從反面假設(shè)存在“兩個(gè)”，證明過(guò)程中出現(xiàn)矛盾，即證得原命題成立． 　　例2　已知，求證：． 　　分析：本題已知為關(guān)于p、q的三次冪等式，而結(jié)論中只有p、q的一次冪，應(yīng)考慮求其立方根，同時(shí)用到放縮法，但很難得證．這時(shí)可考慮反證法． 　　證明：假設(shè)，則． 　　將其兩邊立方，得． 　　將代入上式，得， 　　即，與矛盾．故． 　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)命題“結(jié)論反面”比“結(jié)論”更明確具體時(shí)，可采用反證法．本題的結(jié)論的反面只有一種情況，故推翻此種情況就可達(dá)到證明目的． 反證法中的“特殊化” 　　反證法是一種重要的證明方法．反證法的難點(diǎn)在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后，如何合理地展開思路，以便盡快凸現(xiàn)矛盾．筆者認(rèn)為，“特殊化”有時(shí)是反證法得以成功的一個(gè)重要突破口． 　　一、特殊值 　　巧合的數(shù)目，特殊的數(shù)字，個(gè)性化的特征，看似純屬偶然，但往往蘊(yùn)含著正確的解法的必然． 　　例1　設(shè)、是上的函數(shù)．證明：存在、，使得． 　　分析：要找出具體的、，難以下手，不妨考慮用反證法． 　　證明：假設(shè)這樣的、不存在．取特殊值，，得． 　　同理，，，． 　　故， 　　這是不可能的． 　　因此，原命題成立． 　　注：本題反復(fù)利用0與1這兩個(gè)特殊值，并進(jìn)行湊配，從而推得矛盾“”． 二、特殊運(yùn)算 　　某些相對(duì)獨(dú)立的對(duì)象各有各的特點(diǎn)，不足以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，而通過(guò)特殊運(yùn)算使之形成一個(gè)整體，矛盾便暴露無(wú)遺了． 　　1．求和 　　例2　今有有限個(gè)砝碼，它們的總重量是，將它們分別編號(hào)為1，2，…．證明：從這有限個(gè)砝碼中必可找出一個(gè)編號(hào)為的砝碼，它的重量大于． 　　證明：假設(shè)不存在這樣一個(gè)編號(hào)，使得相應(yīng)的砝碼重量． 　　設(shè)共有個(gè)砝碼，． 　　從而，有，，…，． 　　累加求和得 　　，矛盾 ． 　　因此，原命題成立． 　　2．求積 　　例3　證明：任何三個(gè)實(shí)數(shù)都不可能同時(shí)滿足下列三個(gè)不等式：，，． 　　分析：本題要證明所有的對(duì)象都具有同一性質(zhì)，無(wú)法從正面考慮，宜用反證法． 　　證明：假設(shè)存在某三個(gè)實(shí)數(shù)同時(shí)滿足題設(shè)的三個(gè)不等式．將它們的兩端都同時(shí)平方，然后分別移項(xiàng)、分解因式得 　　，　　① 　　，　?、? 　　．　　 ③ 　?、佗冖鄣? 　　，這顯然是不可能的 　　因此，原命題成立． 　　注：本題所得到的三個(gè)不等式，單獨(dú)看哪一個(gè)都看不出有什么毛病，而一旦求積，矛盾便凸現(xiàn)在眼前了．