2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 距離問(wèn)題優(yōu)化練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第1課時(shí) 距離問(wèn)題 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在C北偏東30，B在C南偏東60，則A，B之間距離為(　　) A.a km　　　　　　　 B.a km C．a(chǎn) km D．2a km 解析：△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90，AB＝a. 答案：A 2.如圖，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東60，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：由題目條件，知AB＝20海里，∠CAB＝30，∠ABC＝105，所以∠ACB＝45.由正弦定理，得＝，所以BC＝10海里，故選A. 答案：A 3．有一長(zhǎng)為10 m的斜坡，傾斜角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30，則坡底要延長(zhǎng)的長(zhǎng)度(單位：m)是(　　) A．5 B．10 C．10 D．10 解析：如圖，設(shè)將坡底加長(zhǎng)到B′時(shí)，傾斜角為30，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的長(zhǎng)度． 在△ABB′中，∠B′＝30， ∠BAB′＝75－30＝45，AB＝10 m， 由正弦定理，得 BB′＝＝＝10(m)． ∴坡底延伸10 m時(shí)，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0. 答案：C 4．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) A.海里/小時(shí) B．34海里/小時(shí) C.海里/小時(shí) D．34海里/小時(shí) 解析：如圖所示，在△PMN中，＝， ∵M(jìn)N＝＝34， ∴v＝＝(海里/小時(shí))． 答案：A 5.如圖，某炮兵陣地位于A點(diǎn)，兩觀察所分別位于C，D兩點(diǎn)．已知△ACD為正三角形，且DC＝ km，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)時(shí)，測(cè)得∠CDB＝45，∠BCD＝75，則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是(　　) A．1.1 km B．2.2 km C．2.9 km D．3.5 km 解析：∠CBD＝180－∠BCD－∠CDB＝60. 在△BCD中，由正弦定理，得 BD＝＝. 在△ABD中，∠ADB＝45＋60＝105， 由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2ADBDcos 105 ＝3＋＋2 ＝5＋2. ∴AB＝≈2.9(km)． ∴炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是2.9 km. 答案：C 6．在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米． 解析：∠C＝180－75－60＝45，由正弦定理＝， ∴AC＝. 答案： 7．某人從A處出發(fā)，沿北偏東60行走3 km到B處，再沿正東方向行走2 km到C處，則A，C兩地距離為_(kāi)_______km. 解析：如圖所示，由題意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150， 由余弦定理，得 AC2＝27＋4－232cos 150＝49， AC＝7. 則A，C兩地距離為7 km. 答案：7 8．一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔B在北偏東60，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15，這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)_______km. 解析：如圖所示，AC＝154＝60， ∠BAC＝30，∠B＝45， 在△ABC中由正弦定理得＝， ∴BC＝30. 答案：30 9.如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝45，∠CBA＝75，AB＝120米，求河的寬度． 解析：在△ABC中， ∵∠CAB＝45，∠CBA＝75， ∴∠ACB＝60. 由正弦定理，可得 AC＝＝ ＝20(3＋)， 設(shè)C到AB的距離為CD， 則CD＝ACsin∠CAB ＝AC＝20 (＋3)． ∴河的寬度為20(＋3)米． 10．為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1千米處不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查青島市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西約1.732千米有一條北偏東60方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時(shí)12千米的速度沿公路行駛，問(wèn)最長(zhǎng)需要多少分鐘，檢查員開(kāi)始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？ 解析：如圖所示，考點(diǎn)為A，檢查開(kāi)始處為B，設(shè)公路上C、D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1千米． 在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30， 由正弦定理sin∠ACB＝AB＝，∴∠ACB＝120(∠ACB＝60不合題意)， ∴∠BAC＝30，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60， ∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1，∴60＝5，∴在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘． 答：最長(zhǎng)需要5分鐘檢查員開(kāi)始收不到信號(hào)，并持續(xù)至少5分鐘才算合格． [B組　能力提升] 1．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是________． 解析：設(shè)行駛x小時(shí)后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距y km，則∠DBC＝180－60＝120. ∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)6xcos 120＝28x2－20x＋100 ＝28(x2－x)＋100＝282－＋100 ∴當(dāng)x＝(小時(shí))＝(分鐘)時(shí)，y2有最小值．∴y最?。? 答案：分鐘 2．某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30方向，后來(lái)船沿南偏東60方向航行30 n mile后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離為_(kāi)_______ n mile. 解析：如圖所示，B是燈塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置， 則BC⊥AD，∠DAB＝30， ∠DAC＝60， 則在Rt△ACD中， DC＝ACsin∠DAC＝30sin 60＝15 n mile， AD＝ACcos∠DAC＝30cos 60＝15 n mile， 則在Rt△ADB中， DB＝ADtan∠DAB＝15tan 30＝5 n mile， 則BC＝DC－DB＝15－5＝10 n mile. 答案：10 3．一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲(chóng)，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲(chóng)，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回到它的出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________. 解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來(lái)在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75，∠ABO＝45， 則∠AOB＝60，由正弦定理知： x＝ ＝＝(cm)． 即x的值為 cm. 答案： 4．某海島周圍38海里有暗礁，一輪船由西向東航行，初測(cè)此島在北偏東60方向，航行30海里后測(cè)得此島在東北方向，若不改變航向，則此船________觸礁的危險(xiǎn)(填“有”或“無(wú)”)． 解析：由題意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30，∠ABC＝135，∴∠ACB＝15， 由正弦定理 BC＝sin∠BAC＝sin 30＝＝15(＋)． 在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)＞38. 答案：無(wú) 5.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10 m，吊桿AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的貨物與岸的距離AD. 解析：在△ABC中，由余弦定理，得 cos∠ACB＝ ＝＝－. ∴∠ACB＝120.∴∠ACD＝180－120＝60. ∴AD＝ACsin 60＝(m)． 即起吊的貨物與岸的距離為 m. 6.如圖，某測(cè)量人員為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90，∠ADC＝60，∠ACB＝15，∠BCE＝105，∠CEB＝45，DC＝CE＝1百米．求A，B之間的距離． 解析：由題干圖，連接AB(圖略)，依題意知，在Rt△ACD中，AC＝DCtan∠ADC＝1tan 60＝. 在△BCE中，∠CBE＝180－∠BCE－∠CEB ＝180－105－45＝30， 由正弦定理＝， 得BC＝sin∠CEB ＝sin 45＝. cos 15＝cos(60－45) ＝cos 60cos 45＋sin 60sin 45 ＝＋＝， 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， 可得AB2＝()2＋()2－2 ＝2－， ∴AB＝ 百米． 即A，B之間的距離為百米．