高中數(shù)學(xué)北師大版選修22 第3章 單元綜合檢測 Word版含解析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第三章　單元綜合檢測 (時間120分鐘　　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1． [2014山東師大附中月考]函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0，得x>2，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，故選D. 答案：D　 2． 當(dāng)x≠0時，以下不等式成立的是(　　) A．ex<1＋x B．當(dāng)x>0時ex<1＋x，當(dāng)x<0時，ex>1＋x C．ex

2、>1＋x D．當(dāng)x<0時ex<1＋x，當(dāng)x>0時ex>1＋x 解析：構(gòu)造f(x)＝ex－x－1，則f′(x)＝ex－1.當(dāng)x<0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，f(x)>f(0)＝0，即x<0時，ex>x＋1；當(dāng)x>0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，f(x)>f(0)＝0，即x>0時，ex>x＋1，故選C. 答案：C　 3． 函數(shù)f(x)＝lnx－x2的圖像大致是(　　) 解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝－x＝.由f′(x)＝>0，得01，即函數(shù)f

3、(x)的遞減區(qū)間為(1，＋∞)，所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)取得極大值，且f(1)＝－<0，故選B. 答案：B　 4． [2014課標(biāo)全國卷Ⅱ]若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：依題意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，∴0<<1，∴k≥1，故選D. 答案：D　 5． 定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的圖像如圖所示，則不等式f(x)f′(x)>0的解集是(　　)

4、 A．(－∞，0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：y＝f(x)的圖像如圖所示，①當(dāng)x>0時，f(x)為增函數(shù)，所以f′(x)>0，若f(x)f′(x)>0，則只需f(x)>0，由圖得x∈(1，＋∞)；②當(dāng)x<0時，f(x)為減函數(shù)，所以f′(x)<0，若f(x)f′(x)>0，則只需f(x)<0，由圖得x∈(－1,0)．綜上，x∈(－1,0)∪(1，＋∞)．故選B. 答案：B　 6． 若函數(shù)f(x)＝x2lnx(x>0)的極值點(diǎn)為α，函數(shù)g(x)＝xlnx2(x>0)的極值點(diǎn)為β，則有(　　)

5、 A．α>β B．α<β C．α＝β D．α與β的大小不確定 解析：∵f(x)＝x2lnx(x>0)，∴f′(x)＝x(2lnx＋1), 令f′(x)＝0，得α＝；∵g(x)＝xlnx2(x>0)， ∴g′(x)＝2(lnx＋1)，令g′(x)＝0，得β＝，因此α>β，故選A. 答案：A　 7． [2014河南省南陽市檢測]函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x＋a的極值點(diǎn)的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．與a的取值有關(guān) 解析：f′(x)＝x2－2x＋1，顯然f′(x)＝(x－1)2≥0恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，故選A. 答案：A　 8．

6、 已知在正四棱錐S－ABCD中，SA＝2，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：設(shè)底面邊長為a，則高h(yuǎn)＝ ＝ ，所以體積V＝a2h＝ . 設(shè)y＝12a4－a6(a>0)，則y′＝48a3－3a5，當(dāng)y取極值時，y′＝0，解得a＝0(舍去)，a＝－4(舍去)或a＝4，故a＝4時體積最大，此時h＝＝2.故選C. 答案：C　 9. 如圖，某農(nóng)場要修建3個一樣的魚塘，每個面積為10000 m2，魚塘前面要留4 m的運(yùn)料通道，其余各邊為2 m寬的堤埂，則占地面積最少時，每個魚塘的長、寬分別為(　　) A．102 m、 m B．150 m、66 m

7、 C．100 m、100 m D．150 m、 m 解析：設(shè)魚塘的寬為x m、長為y m，依題意得xy＝10000.設(shè)占地面積為S m2，則S＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋＋30048，令S′＝18－＝0，取正根得x＝，此時y＝150.故選D. 答案：D　 10. [2014遼寧高考]當(dāng)x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－5，－3] B．[－6，－] C．[－6，－2] D．[－4，－3] 解析：當(dāng)x＝0時，3≥0恒成立，a∈R. 當(dāng)0

8、，∴h′(x)>0，h(x)遞增， ∴h(x)max＝h(1)＝－6， ∴a≥－6. 當(dāng)－2≤x<0時，a≤. 易知h(x)＝在[－2，－1)上遞減，在(－1,0)上遞增． ∴h(x)min＝h(－1)＝－2，∴a≤－2. 綜上，－6≤a≤－2，故選C. 答案：C　 11. 若函數(shù)f(x)＝ax3－x在區(qū)間(－∞，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，則(　　) A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝ 解析：f′(x)＝3ax2－1，由f′(x)＝3ax2－1≤0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立，得a≤0.故選A. 答案：A　 12. 設(shè)f(x)是一個三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所

9、示的是y＝xf′(x)的圖像的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是(　　) A．f(1)與f(－1) B．f(－1)與f(1) C．f(－2)與f(2) D．f(2)與f(－2) 解析：易知f′(－2)＝0，f′(2)＝0.當(dāng)x∈(－∞，－2)時，由圖可知xf′(x)<0，∴f′(x)>0，即當(dāng)x∈(－∞，－2)時f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－2,0)時，由圖可知xf′(x)>0，∴f′(x)<0，當(dāng)x∈(0,2)時，由圖可知xf′(x)<0，∴f′(x)<0，即當(dāng)x∈(－2,2)時f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，由圖可知xf′(x)>0，∴f′(x)>0，即當(dāng)x∈(2，＋

10、∞)時f(x)為增函數(shù)．故f(x)的極大值與極小值分別是f(－2)與f(2)．故選C. 答案：C　 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. [2014廣東省北江中學(xué)期中考試]函數(shù)f(x)＝excosx，則f與f的大小關(guān)系為________． 解析：∵f′(x)＝ex(cosx－sinx)，∴[0，]是函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，又0<<<，∴f()

11、(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a＋1]，若函數(shù)不存在極值點(diǎn)，則對方程f′(x)＝0，即x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0有Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4. 答案：[0,4] 15. 直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖像有相異的三個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，大致畫出f(x)的圖像，如圖所示，觀察得當(dāng)－2

12、上是減函數(shù)，在(0,1)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在R上有三個零點(diǎn)，且1是其中一個零點(diǎn)，則f(2)的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，由題意知x＝0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，∴f′(0)＝b＝0.又∵f(1)＝－1＋a＋b＋c＝0，∴c＝1－a，∴f(x)＝－x3＋ax2＋1－a，且當(dāng)x→－∞時，f(x)>0；當(dāng)x→＋∞時，f(x)<0.又∵f(x)在R上有三個零點(diǎn)，∴只需解得a>，∴f(2)＝－7＋3a>－. 答案：(－，＋∞) 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知f(x)＝，其中a∈R.當(dāng)a＝－2時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，

13、e2]上的單調(diào)性． 解： 當(dāng)a＝－2，x∈[e，e2]時，f(x)＝x2－2lnx＋2， ∴f′(x)＝2x－，∴當(dāng)x∈[e，e2]時，f′(x)>0， ∴函數(shù)f(x)在[e，e2]上單調(diào)遞增． 18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2在點(diǎn)(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解： 由題意可知，， 所以， 解得， 所以f(x)＝x3＋3x2.由f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0， 故f(x)在[－2,0]上單調(diào)遞減， 故有[t，t＋1]?[－2,0]，即－2≤t

14、－2≤t≤－1，所以t的取值范圍為[－2，－1]． 19．(12分)[2014開封一模]已知函數(shù)f(x)＝xlnx. (1)函數(shù)g(x)＝－ax＋f(x)在區(qū)間[1，e2]上不單調(diào)，求a的取值范圍； (2)若k∈Z，且f(x)＋x－k(x－1)>0對x>1恒成立，求k的最大值． 解： (1)g′(x)＝－a＋1＋lnx(x>0)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 依題只需， 解得10對x>1恒成立， 即k<對x>1恒成立，記h(x)＝(x>1)， 則h′(x)＝. 記u(x)＝x－lnx－2，則u′(x)＝1

15、－，當(dāng)x>1時， u′(x)>0， ∴u(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)， ∵u(3)＝1－ln3<0，u(4)＝2－ln4>0， ∴存在x0∈(3,4)使得u(x0)＝0， 即x0－lnx0－2＝0，lnx0＝x0－2. 當(dāng)1x0時，u(x)>0，h′(x)>0； 當(dāng)x＝x0時，u(x)＝0，h′(x)＝0，此時h(x)有最小值， 且[h(x)]min＝h(x0)＝ ＝＝x0， 只需k<[h(x)]min＝x0∈(3,4)， ∵k∈Z，∴k的最大值為3. 20．(12分)在半徑為R的圓上取一個圓心角為α(弧度)的扇形

16、卷成圓錐，問α多大時，圓錐的體積最大？ 解： 如圖，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則 從而圓錐的體積為 V＝r2＝， 則V′＝＝. 令V′＝0，解得r＝R＝R(舍負(fù))， ∴V在(0，R)上有唯一的極值點(diǎn)，所以當(dāng)r＝R時，V取得最大值．此時，α＝＝π. 21．(12分)[2014重慶高考]已知函數(shù)f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x. (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． 解：(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－－，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知f′(1)＝－－a＝

17、－2，解得a＝. (2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，則f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 因x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內(nèi)，故舍去． 當(dāng)x∈(0,5)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(5，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．由此知函數(shù)f(x)在x＝5時取得極小值f(5)＝－ln5. 22．(12分)[2014湖北高考]π為圓周率，e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)求函數(shù)f(x)＝的單調(diào)區(qū)間； (2)求e3,3e，eπ，πe,3π，π3這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)． 解：(1)函數(shù)

18、f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．因?yàn)閒(x)＝，所以f′(x)＝. 當(dāng)f′(x)>0，即0e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)． (2)因?yàn)閑<3<π，所以eln3π3； 由<，得ln3e