2、 ， M 是 A B C 的中點 ， 則從 M 向 BC 所作垂線的 垂足 D 是折弦 A B C 的中點 ， 即 CD AB B D. 下面是運用 “ 截長法 ” 證 明 CD AB BD 的部分證明過程 證明：如圖 ， 在 CB 上截取 CG AB ， 連接 MA ， MB ， MC 和 MG . M 是 A B C 的中點 ， MA M C . 圖 3 任務： ( 1 ) 請按照上面的證明思路 ， 寫出該證明的剩余部分； ( 2) 填空：如圖 ， 已知等邊 A B C 內接于 O ， AB 2 ， D 為 AC 上一點 ， A B D
3、45 ， AE BD 于點 E ， 則 B DC 的周長是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 2 2 解： (1) A C， MBA MGC(SAS)， MB MG.在 MBG 中 ， MD BG， BD GD， CD CG GD AB BD 【解法提示】 如圖 ， 連接 DC ， A B C 為等邊三角形 ， 點 A 為 B A C 的中點 ， BD 和 DC 為 O 中的 兩條弦 ， B DD C ， 又 AE BD ， 垂足 E 為折弦 B DC 的中點 ， C BDC BD DC BC 2 B E BC ， 在 Rt A
4、B E 中 ， A B D 45 ， AB 2 ， AE BE 2 ， B D C 的周長為 2 2 2. 對應訓練 1 (2015山西 )我們解一元二次方程 3x2 6x 0時 ， 可以運用因式分 解法 ， 將此方程化為 3x(x 2) 0， 從而得到兩個一元一次方程： 3x 0或 x 2 0， 進而得到原方程的解為 x1 0， x2 2.這種解法體現(xiàn)的數(shù) 學思想是 ( ) A. 轉化思想 B. 函數(shù)思想 C. 數(shù)形結合思想 D. 公理化思想 A 2 “ 雞兔同籠 ” 源于我國古代孫子算經(jīng) ， 其中有這樣一題： “ 今有雞 兔同籠 ， 上有三十五頭 ，
5、 下有九十四足 ， 問雞兔各幾何？ ” 解決這道題 ， 我們通常設雞有 x 只 ， 兔有 y 只 ， 根據(jù)題意可列方程組 x y 35 2x 4y 94 ， 這 種解法體現(xiàn)的數(shù)學思想是 ( ) A 分類討論思想 B 數(shù)形結合思想 C 轉化思想 D 方程的思想 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 3 ) D 3 ( 2 0 1 6 黔南州 ) 王杰同學在解決問題 “ 已知 A 、 B 兩點的坐標為 A ( 3 ， 2 ) ， B ( 6 ， 5 ) ， 求直線 AB 關于 x 軸的對稱直線 AB 的解析式 ” 時 ， 解法如下：先是建立平面直角坐標
6、系 ( 如圖 ) ， 標出 A 、 B 兩點 ， 并利用軸 對稱性質求出 A 、 B 的坐標分別為 A ( 3 ， 2 ) ， B ( 6 ， 5 ) ；然后設直線 AB 的解析式為 y kx b ( k 0 ) ， 并將 A ( 3 ， 2 ) ， B ( 6 ， 5 ) 代入 y kx b 中 ， 得方程組 3k b 2 6k b 5 ， 解得 k 1 b 1 ， 最后求得直線 A B 的解析式 為 y x 1. 則在解題過程中他運用的數(shù)學思想是 ( ) A . 分類討論與轉化思想 B . 分類討論與方程思想 C . 數(shù)形結合與整體
7、思想 D . 數(shù)形結合與方程思想 ( 導 學號 0 2 0 5 2 6 7 4 ) D 4 (2015山西 )我國古代秦漢時期有一部數(shù)學著作 ， 堪稱是世界數(shù)學經(jīng) 典名著它的出現(xiàn) ， 標志著我國古代數(shù)學體系的正式確立它采用按類 分章的問題集的形式進行編排其中方程的解法和正負數(shù)加減運算法則 在世界上遙遙領先 ， 這部著作的名稱是 ( ) A. 九章算術 B. 海島算經(jīng) C. 孫子算經(jīng) D. 五經(jīng)算術 5 三國時期吳國的數(shù)學家趙爽 ， 他創(chuàng)制了一幅 “ 勾股圓方圖 ” ， 用數(shù)形 結合的方法給出了勾股定理的詳細證明 ， 這部著作的名稱是 ( ) A 勾股圓方
8、圖 B 幾何原本 C 海島算經(jīng) D 算學啟蒙 A A 6 在同一平面直角坐標系中 ， 已知兩點坐標 ， 求在坐標軸上是否存 在一點使得以三點為頂點的三角形是直角三角形 ， 則應分已知兩點的 連線是直角邊和斜邊兩種情況討論 ， 這種解決問題的方法體現(xiàn)的數(shù)學 思想是 _____________ 7 數(shù)學很多的知識都是以發(fā)明者的名字命名的 ， 如韋達定理、楊輝 三角、費馬點等 ， 你知道平面直角坐標系是由數(shù)學家 __________創(chuàng)立 并以他的名字命名的 分類討論 笛卡爾 8 九章算術是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作在它的 “ 方 程 ” 一章里 ， 一次方程組
9、是由算籌布置而成的九章算術中的算籌圖 是豎排的 ， 為看圖方便 ， 我們把它改為橫排 ， 如圖 、圖 . 圖中各行從 左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù) x ， y 的系數(shù)與相應的常數(shù)項把圖 所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來 ， 就是 3x 2y 19 x 4y 23 . 類似地 ， 圖 所示的算籌圖我們可以表述為 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 5 ) 2x y 114x 3y 27 解析：結合圖 和對應方程組可得圖 對應的第一個方程 x 的系數(shù)為 2 ， y 的系數(shù)為 1 ， 相
10、加的結果為 11 ；第二個方程 x 的系數(shù)為 4 ， y 的系數(shù)為 3 ， 相加的結果為 27 ， 所以可列方程組為 2x y 11 4x 3y 27 9 (2016黔西南州 )求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學問題，中國 古代數(shù)學專著 九章算術 中便記載了求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的一種 方法 更相減損術，術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子 之數(shù)，以少成多，更相減損，求其等也以等數(shù)約之”，意思是說，要 求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然 后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當減數(shù)與差相等時， 此時的差 (或減數(shù) )即為這兩個正整
11、數(shù)的最大公約數(shù) 例如：求 91與 56的最大公約數(shù) 解： 91 56 35 56 35 21 35 21 14 21 14 7 14 7 7 所以 ， 91與 56的最大公約數(shù)是 7. 請用以上方法解決下列問題： (1)求 108與 45的最大公約數(shù)； (2)求三個數(shù) 78、 104、 143的最大公約數(shù) (導學號 02052676) 解： (1)108 45 63， 63 45 18， 45 18 27， 27 18 9， 18 9 9 ， 所以 ， 108與 45的最大公約數(shù)是 9 (2)( )先求 104與 78的最大公約數(shù) ， 104 78 26， 78 26 52， 52
12、 26 26, 所以 ， 104與 78的最大公約數(shù) 是 26. ( )再求 26與 143的最大公約數(shù) ， 143 26 117， 117 26 91， 91 26 65， 65 26 39， 39 26 13， 26 13 13， 所以 ， 26與 143的 最大公約數(shù)是 13. 綜上所述 ， 78、 104、 143的最大公約數(shù)是 13 10 ( 2 0 1 5 山西 ) 閱讀與計算： 請閱讀以下材料 ， 并完成相應的任務 斐波那契 ( 約 1 1 7 0 1250 ) 是意大利數(shù)學家 他研究了一列數(shù) ， 這列數(shù)非常 奇 妙 ， 被稱為斐波那契數(shù)列 ( 按照一定順序排列著的
13、一列數(shù)稱為數(shù)列 ) ， 后 來人們在研究它的過程中 ， 發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結果 在實際生活中 ， 很多花朵 ( 如梅花、飛燕草、萬壽菊等 ) 的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù) 斐 波那契數(shù)列還有很多有趣的性質 ， 在實際生活中也有廣泛的應用 斐波那契數(shù)列中的第 n 個數(shù)可以用 1 5 ( 1 5 2 ) n ( 1 5 2 ) n 表示 ( 其中 n 1 ) 這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例 任務： 請根據(jù)以上材料 ， 通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第 1 個數(shù)和第 2 個數(shù) ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 7 ) 解：第 1 個數(shù)：當 n 1 時 ， 1
14、 5 ( 1 5 2 ) n ( 1 5 2 ) n 1 5 ( 1 5 2 1 5 2 ) 1 5 5 1 ; 第 2 個數(shù)：當 n 2 時 ， 1 5 ( 1 5 2 ) n ( 1 5 2 ) n 1 5 ( 1 5 2 ) 2 ( 1 5 2 ) 2 1 5 ( 1 5 2 1 5 2 ) ( 1 5 2 1 5 2 ) 1 5 1 5 1 11 閱讀與計算： 閱讀以下材料 ， 并完成相應的任務 歐拉 ， 瑞士數(shù)學家和物理學家 ， 近代數(shù)學先驅之一小時候放學回家 常幫父親放羊 ， 一邊放羊 ， 一邊讀書有
15、一天 ， 他發(fā)現(xiàn)羊的數(shù)量越來 越多 ， 達到了 100只 ， 羊圈很擁擠后來 ， 歐拉的父親就規(guī)劃出了面積 剛好為 600平方米的土地修建新羊圈 ， 平均每只羊剛好占地 6平方米 ， 即將動工時發(fā)現(xiàn)用來作圍欄的籬笆只有 100米長 ， 若按原計劃建羊圈 ， 就要再添 10米長的材料；要是縮小面積 ， 每只羊的占地面積將會小于 6 平方米此時 ， 見父親一臉無奈 ， 小歐拉卻對父親說： “ 不用增加材 料 ， 也不用縮小羊圈 ， 我還能使羊圈的面積達到最大 ” 任務： 你能用二次函數(shù)的知識解釋歐拉是如何修建羊圈 ， 并使羊圈的 面積增大的？ (導學號 02052678) 解：設羊圈的長為
16、x米 ， 則寬為 (50 x)米 ， S x(50 x) x2 50 x (x 25)2 625， 即 x 25時 ， S取得最大值 ， 此時 ， S 625， 即歐拉設計的羊圈的長和寬都為 25米 ， 則材料不用增加 ， 面積達到 了最大值 625且大于 600 12 ( 2 0 1 6 太原一模 ) 閱讀與計算： 請閱讀以下材料 ， 并完成相應的任務 古希臘的幾何學家海倫在他的度量一書中給出了利用三角形的三邊 求三角形面積的 “ 海倫公式 ” ：如果一個三角形的三邊長分別為 a 、 b 、 c ， 設 p a b c 2 ， 則三角形的面積 S p （ p a ）（
17、 p b ）（ p c ） . 我國南宋著名的數(shù)學家秦九韶 ， 曾提出利用三角形的三邊求面積的 “ 秦 九韶公式 ” ( 三斜求積術 ) ：如果一個三角形的三邊長 分別為 a 、 b 、 c ， 則 三角形的面積 S 1 4 a 2 b 2 （ a 2 b 2 c 2 2 ） 2 . ( 1 ) 若一個三角形的三邊長分別是 5 ， 6 ， 7 ， 則這個三角形的面積等于 ___ 6 6 ___ ； ( 2 ) 若一個三角形的三邊長分別是 5 、 6 、 7 ， 求這個三角形的面積 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 9 ) 解： ( 2 ) S 1 4 a 2
18、b 2 （ a 2 b 2 c 2 2 ） 2 1 4 （ 5 ） 2 （ 6 ） 2 （ （ 5 ） 2 （ 6 ） 2 （ 7 ） 2 2 ） 2 1 4 5 6 （ 5 6 7 2 ） 2 1 4 （ 30 4 ） 26 2 . 答：這個三角形的面積是 26 2 13 閱讀材料 ， 回答問題： 中國古代數(shù)學著作周髀算經(jīng) ( 圖 ) 有著這樣的記載： “ 勾廣三 ， 股修 四 ， 經(jīng)隅五 ” 這句話的意思是： “ 如果直角三角形兩直角邊為 3 和 4 時 ， 那么斜邊的長為 5 ” 上述記載表明了：在 Rt A B C 中 ， 如果
19、C 90 ， BC a ， AC b ， AB c ， 那么 a ， b ， c 三者之間的數(shù)量關系是： a 2 b 2 c 2 . 對于這個數(shù)量關系 ， 我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù) “ 趙爽弦圖 ” ( 如圖 ， 它是 由八個全等直角三角形圍成的一個正方形 ) ， 利用面積法進行了證明 參考 趙爽的思路 ， 將下面的證明過程補充完整： 證明： S A BC 1 2 ab ， S 正方形 ABDE c 2 , S 正方形 MNPQ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 又 正方形 MNP Q 的面積 ___ _ _ _ _ _ _ _ _
20、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ ， (a b) 2 4 1 2 ab c 2, 整理得 a 2 2 ab b 2 2 ab c 2, ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 1 ) 將材料中空缺部分補充完整； ( 2 ) 如圖 ， 把矩形 A B C D 折疊 ， 使點 C 與點 A 重合 ， 折痕為 EF ， 如果 AB 4 ， BC 8 ， 求 BE 的長 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 8 0 ) (a b)2 四個全等直角三角形的面積 正方形 AEDB的面積 a2 b2 c2 解： (2)設 BE x， 則 EC 8 x， 由折疊的性質可知 ， AE EC 8 x， 在 Rt ABE中 ， AE2 AB2 BE2， 則 (8 x)2 42 x2， 解得： x 3， 則 BE的長為 3
中考數(shù)學總復習 拓展題型 數(shù)學思想、歷史背景及材料閱讀課件1.ppt
