現(xiàn)代通信原理(羅新民)指導書 第七章 信源編碼 習題詳解

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1、 第七章 信源編碼 7-1已知某地天氣預報狀態(tài)分為六種：晴天、多云、陰天、小雨、中雨、大雨。 ① 若六種狀態(tài)等概出現(xiàn)，求每種消息的平均信息量及等長二進制編碼的碼長N。 ② 若六種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為：晴天—0.6；多云—0.22；陰天—0.1；小雨—0.06；中雨—0.013；大雨—0.007。試計算消息的平均信息量，若按Huffman碼進行最佳編碼，試求各狀態(tài)編碼及平均碼長。 解: ①每種狀態(tài)出現(xiàn)的概率為 因此消息的平均信息量為 等長二進制編碼的碼長N＝。 ②各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率如題所給，則消息的平均信息量為 Huffman編碼樹如下圖所示：

2、 由此可以得到各狀態(tài)編碼為：晴—0，多云—10，陰天—110，小雨—1110，中雨—11110， 大雨—11111。 平均碼長為： 7-2某一離散無記憶信源（DMS）由8個字母組成，設(shè)每個字母出現(xiàn)的概率分別為：0.25，0.20，0.15，0.12，0.10，0.08，0.05，0.05。試求： ① Huffman編碼時產(chǎn)生的8個不等長碼字； ② 平均二進制編碼長度； ③ 信源的熵，并與比較。 解：①采用冒泡法畫出Huffman編碼樹如下圖所示 可以得到按概率從大到小8個不等長碼字依次為： ②平均二進制編碼長度為 ③信源的熵。 比

3、較： 7-3一離散無記憶信源每毫秒輸出符號集{A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H}中的一個符號，符號集中各符號出現(xiàn)的概率分別為{0.01，0.03，0.35，0.02，0.15，0.18，0.19，0.07}。 ①試求信源的熵； ②進行Huffman編碼； ③求平均信源編碼輸出比特速率； ④在有和無信源編碼時所需的最小二進制信道比特速率。 解：①信源的熵為 ②Huffman編碼樹如下圖所示 可以得到各符號的Huffman編碼為：A—011111，B—01110，C—00，D—011110，E—010，F(xiàn)—11，G—10，H—0110。 ③已知碼元速率為，而碼元平均信息

4、量（即信源熵）為，因此平均信源編碼輸出比特速率為 ④ 對于信源總共8個符號，無信源編碼時，每個符號最少用3bit表示，因此最小二進制信道比特速率為 有信源編碼時，最小二進制信道比特速率為。 7-4某一DMS有5種信源符號，每種符號出現(xiàn)的概率均為1/5，試計算以下幾種編碼情況下的有效性（效率）。 ① 每個符號分別進行等長二進制編碼； ② 每兩個符號組合進行等長二進制編碼； ③ 每三個符號組合進行等長二進制編碼。 解：編碼效率定義為每符號信息量H(x)與每符號平均編碼長度的比值。對于等長編碼的擴展編碼，編碼效率可表示為 其中表示符號

5、數(shù)，J表示對連續(xù)J個符號統(tǒng)一編碼。 ① ② ③ 7-5已知基帶信號為，對其進行理想抽樣，并用理想低通濾波器來接收抽樣后信號。 ① 試畫出基帶信號的時間波形和頻譜； ② 確定最小抽樣頻率； ③ 畫出理想抽樣后的信號波形及頻譜。 解：①基帶信號可表示為，可將視作低頻包絡(luò)，將視作高頻振蕩，作圖如下： ②。 ③基帶信號f(t)由兩個余弦信號相加構(gòu)成，因此其頻譜為兩對離散譜線，如下圖所示： 7-6已知信號。 ①畫出用沖激序列對其抽樣后的頻譜，抽樣速率如下： （a）35樣值/秒 （b）15樣值/秒 （c）10樣值/秒 ②假設(shè)進行以上抽樣后的信號通過一

6、重建低通濾波器，低通濾波器的傳遞函數(shù)為 求出每種情況下的輸出信號。當抽樣信號中存在混疊時，指出輸出信號中哪些是混疊成分，哪些是所希望的信號成分。 解：，信號角頻率，信號頻率。 （a）抽樣頻率，根據(jù)奈奎斯特抽樣定理，可以得到抽樣后的信號的頻譜如下圖所示： 再經(jīng)過重建低通濾波器，得到輸出信號為 （b）抽樣頻率，根據(jù)奈奎斯特抽樣定理，可以得到抽樣后的信號的頻譜如下圖所示： 再經(jīng)過重建低通濾波器，得到輸出信號為 （c）抽樣頻率，根據(jù)奈奎斯特抽樣定理，可以得到抽樣后的信號的頻譜如下圖所示： 再經(jīng)過重建

7、低通濾波器，得到輸出信號為

8、 7-7已知信號f(t)的最高截止頻率為，若用圖E7.1所示的q(t)對f(t)進行自然抽樣，q(t)是周期為的周期三角波。試確定已抽樣信號的頻譜表示式，并畫出其示意圖。 圖E7.1 解： 其中，

9、令，則。 則已抽樣信號頻譜。 作圖如下 7-8已知低通信號最高頻率為，若用高度為1、寬度為、周期為的周期性三角脈沖對其進行自然取樣。 ①畫出已抽樣信號的波形圖； ②求已抽樣信號的頻譜，并畫出頻率草圖（低通信號及其頻譜的形狀可自己假設(shè)）； ③若改為用周期性沖激函數(shù)進行抽樣，重復步驟①、②，并比較兩者在波形和頻譜上的差別。 解：① 低通信號、周期三角脈沖信號及已抽樣信號的時域波形分別如下所示 ② 三角脈沖及其頻譜可表示為，則周期三角脈沖信號及其頻譜可表示為 ，其中 因此已抽樣信號的頻譜為 作出頻譜草圖如下所示： ③ 周期性沖激函數(shù)可

10、表示為 可以做出低通信號、周期性沖激函數(shù)及已抽樣信號的時域波形分別如下所示 周期性沖激函數(shù)的頻譜為 作出頻譜草圖如下所示： 比較：時域：一系列三角窄脈沖和一系列沖激函數(shù)。 頻域：抽樣信號有一包絡(luò)和抽樣信號包絡(luò)為一水平直線。 7-9①畫出用4 kHz的速率對頻率為1 kHz的正弦波進行自然抽樣所獲得的PAM信號的波形； ②若要獲得平頂PAM波形，重復步驟①。 解：頻率為1 kHz的正弦波和抽樣脈沖串的波形如下圖所示： 自然抽煙信號和平定抽樣信號如下圖所示： 7-10已知信號的頻譜如圖E7.2所示，對其進行理想抽樣。 ①

11、 若用理想低通濾波器接收，試確定抽樣頻率； ② 若采用RC濾波器接收，要求抑制寄生頻譜并且具有2kHz的過濾帶，試確定抽樣 頻率。 圖E7.2 解：①由于信號最高頻率為，因此理想抽樣頻率為。 ②RC濾波器結(jié)構(gòu)如圖E3.2所示，其傳輸函數(shù)為 以其3dB帶寬作為RC濾波器的帶寬，在其兩側(cè)取2kHz的過渡帶。如下圖所示： 可以得到抽樣頻率最小為 7-11模擬語音信號的頻譜如下圖E7.3所示，以10kHz的速率對這一波形進行抽樣，抽樣脈沖寬度τ=50μs。

12、 1 -4 4 f(kHz) |W(f)| 圖 E7.3 ①找出自然抽樣PAM波形頻譜的表達式，并畫出所得到的結(jié)果； ②找出平頂PAM波形頻譜的表達式，并畫出所得到的結(jié)果。 解：①自然抽樣信號為 其中p(t)是矩形脈沖，脈沖寬度τ=50μs；是抽樣間隔。 該信號的傅里葉變換為 其中矩形脈沖p(t)的傅里葉變換為 因此自然抽樣PAM信號為 其頻譜為 頻譜如下： ②先做理想抽樣，得到抽樣信號為 該脈沖串信號通過脈沖形成器（形成脈沖p(t)），得到平頂抽樣PAM信號為 其頻譜為： 頻譜圖如下： 7-1

13、2一低通信號，它的頻譜由下式給出： 其他 ①若對進行理想抽樣，抽樣頻率，試畫出抽樣后信號的頻譜圖； ② 若抽樣頻率，重復步驟①。 解：F(f)的頻譜圖如下所示 其理想抽樣信號頻譜為 據(jù)此，對抽樣頻率和，其抽樣后信號頻譜分別如下所示 7-13均勻抽樣定理告訴人們：一個帶限信號完全可以由它在時域上的抽樣值確定。與此對應，對一個時域上受限的信號（即時，），試說明的頻譜完全可以由頻域上的抽樣值確定（其中）。 解：時域上受限的信號

14、可表示為 令其傅立葉變換為，對進行頻域抽樣得 （f0為抽樣頻率） 則對應時域信號為 可以看出，是x（t）的周期延拓。當，即時，中沒有時域的混疊，因此可由其中取出x(t)：讓xs(t)與理想矩形信號g(t)相乘 得到 對該式取傅立葉變換，可得 可見，當，即時，X(f)僅由X(kf0)決定。得證。 7-14 12路載波電話的頻帶范圍為60~108Hz，對其進行理想抽樣，試確定最低抽樣頻率值， 并畫出理想抽樣后的頻譜。 解：①復合信號為帶通信號，其下截止頻率和上截止頻率分別為。 因此信號帶寬為。 上截止頻率與帶寬的關(guān)系為。因此，由教材式（7.39） 可

15、以得到抽樣頻率滿足 ②帶通信號及其理想抽樣后的頻譜圖如下 7-15已知某量化器量化特性如圖E7.4（a）所示，設(shè)。試： ① 畫出誤差特性； ② 若輸入，畫出波形； ③若輸入信號如圖E7.4（b）所示，試畫出此時的量化失真波形，并求其平均功率。 圖E7.4 解：①誤差特性如下圖所示 ②當輸入時，、和波形分別如下，其中用實線表示，用虛線表示。 ③輸入信號可表示為。 vi的分段區(qū)間可表示為[]，則每一段上的voi＝。 設(shè)vi的i的取值范圍是i=,每段區(qū)間

16、長T=1，則vo的取值范圍是[－N，N]，輸入信號的持續(xù)時間為(2N+1)T。 那么，vo（t）的平均功率為 量化失真輸出波形如下‘ 7-16若采用對數(shù)壓縮律編碼，=100，。 ① 試求相應的擴張?zhí)匦裕? ② 若劃分為32個量化級，試計算壓擴后對小信號量化誤差的改善程度。 解：①依題意，律的壓縮特性為： 整理為 因此，可以得到律的擴張?zhí)匦詾椋? ②設(shè)x為輸入，y為壓縮輸出，則壓縮特性為 若劃分為32個量化級，則相當于y均勻量化為32個量化級，即量化臺階為。代 入上式，則在小信號時（即零值附近），有 對應x的最小量化級為

17、 比較：均勻編碼時x的最小量化臺階。壓擴后小信號量化誤差小 了20倍左右。 7-17采用13段折線A律編碼，設(shè)最小量化級為一個單位，已知抽樣脈沖為+635個單位。 ① 試求此時編碼器輸出碼組，并計算量化誤差（段內(nèi)碼用自然二進制碼）； ② 寫出對應于該7位碼（不含極性碼）的均勻量化11位碼。 解：①采用逐位比較反饋型編碼規(guī)則，設(shè)8位碼為。 1)確定極性碼D1。 +635>0，D1=1 2)確定段落碼。 635>125，D2＝1 635>512，D3＝1 635<1024，D4＝0 3)確定段內(nèi)碼。 635<512+8×32，

18、 D5＝0 635<512+4×32， D6＝0 635>512+2×32， D7＝1 635>512+2×32＋32＝608，D8＝1 故輸出碼組11100011。 量化誤差為635－608＝27<32。 ②608=512+64+32，因此對應于量化值608的均勻11位碼為01001100000。 7-18采用13折線A律譯碼電路，設(shè)接收端受到的碼組為01101100，最小量化級為一個單位。 ①試求譯碼輸出為多少個單位。 ②寫出對應于該7位碼（不含極性碼）的均勻量化11位碼。 解：①設(shè)7－11轉(zhuǎn)換后的輸出為I’

19、 1）極性碼為0，I’<0。 2）段落碼為110，量化值落在第7段。該段起始電平為512單位，量化臺階為32單位。 3）段內(nèi)碼為1100，因此 I’=-(512+12×32)＝-896單位。 由于譯碼時采用7－12轉(zhuǎn)換，還需外加單位以減少量化誤差。故譯碼器輸出為 量化單位 ②896＝512＋256＋128，故對應均勻量化11位碼為01110000000。 7-19將一個帶寬為4.2 MHz的模擬信號轉(zhuǎn)換成二進制的PCM信號以便在信道上傳輸。接收機輸出端的信號峰值與量化噪聲功率比至少為55 dB。 ①求PCM碼字所需的比特數(shù)目以及量化器所需的量化臺階數(shù)； ②求等效的比特率；

20、 ③如果采用矩形脈沖波形傳輸，則所需的信道零點帶寬是多少？ 解：①已知量化信噪比與每樣值比特數(shù)N的關(guān)系為 因此有， 取。則量化器所需量化臺階數(shù)。 ② ③設(shè)矩形脈沖寬度為，采用不歸零脈沖，因此。所需零點帶寬為 7-20用一個850 MB的硬盤來存儲PCM數(shù)據(jù)。假設(shè)以8 千樣本/秒的抽樣速率對音頻信號進行抽樣，編碼后的PCM信號的平均SNR（信噪比）至少為30 dB。問此硬盤可以存儲多少分鐘的音頻信號所轉(zhuǎn)換的PCM數(shù)據(jù)？ 解：，因此，取N=5。 比特率 因此，存儲信號時長為 7-21給定一個模擬信號，它的頻譜成分在頻帶300 Hz到3000 Hz的范圍內(nèi)，假

21、設(shè)利用7 kHz的抽樣頻率對其進行PCM編碼。 ①畫出PCM系統(tǒng)的方框圖（包括發(fā)送機、信道與接收機）； ②假設(shè)接收機輸出端所需的峰值信號與噪聲功率比至少為30 dB，并且使用極性矩形脈沖波形傳輸，試計算所需的均勻量化臺階數(shù)以及零點帶寬； ③討論如何采用非均勻量化以提高系統(tǒng)的性能。 解：①PCM系統(tǒng)的方框圖如下 ②，所以，取N=5。量化臺階數(shù)。 假設(shè)采用不歸零矩形脈沖，即脈沖寬度，為抽樣間隔。那么零點帶寬為 ③ 均勻量化由于量化臺階固定，量化噪聲不變，因此當信號較小時，信號的量化信噪比也就很小。這樣對小信號來說量化信噪比就難以達到給定的要求。在給定信噪比要求時的信號取值范

22、圍（即信號動態(tài)范圍）受到較大限制。 非均勻量化使得小信號時量化臺階較小，大信號時量化臺階較大，信號的量化信噪比在一定信號取值范圍內(nèi)保持相對變化較小。換言之，在給定信噪比要求時的信號取值范圍（即信號動態(tài)范圍）相比均勻量化時要大。 7-22在一個PCM系統(tǒng)中，由于信道噪聲所引起的誤碼率為。假設(shè)恢復出的模擬信號的峰值信號與噪聲功率比至少為30 dB。 ①試求所需的量化臺階的最小數(shù)； ②如果原始的模擬信號的絕對帶寬為2.7 kHz，那么采用雙極性矩形脈沖波形傳輸時，PCM信號的零點帶寬是多少？ 解：①輸出信號的總信噪比可表示為 根據(jù)題目條件，可以得到 解得 取L

23、=41。 ②每樣值比特數(shù)。假設(shè)采用不歸零矩形脈沖，即脈沖寬度，為抽樣間隔。那么零點帶寬為 7-23對10路帶寬均為0～4000Hz的模擬信號進行PCM時分復用傳輸，抽樣速率為8000Hz， 抽樣后進行16級量化，并編為自然二進制碼。試求傳輸此時分復用信號所需帶寬。 解：已知抽樣頻率為，每樣值編碼比特數(shù)為，復用路數(shù)為，那么可以得到時分復用信號傳輸帶寬為 7-24設(shè)有23路模擬信號，每路均帶限于3.4 kHz，以8 kHz的抽樣頻率對其進行抽樣，并與 1路同步信道（8 kHz）一起復用為TDM PAM信號。 ①畫出系統(tǒng)的方框圖，并指出復接器的工作頻率fs以及TDM P

24、AM信號總的脈沖速率； ②計算信道所需的零點帶寬。 解：①系統(tǒng)方框圖如下 可以將這23路模擬信號和一路同步信號看做24路信號作時分復用，每路抽樣速率均為8kHz，因此復接頻率為 也就是說，每秒鐘依次讀取192個脈沖。因此，TDM PAM信號總的脈沖速率為 ②設(shè)脈沖寬度為，信道所需的零點帶寬為 7-25設(shè)13折線A律編碼器的過載電平為5V，輸入抽樣脈沖的幅度為-0.9375 V，若最小量 化級為2個單位，最大量化器的分層電平為4096個單位。 ①試求此時編碼器輸出碼組，并計算量化誤差； ②寫出對應于該碼組（不含極性碼）的均勻量化編碼。 解：①A律編碼器的電

25、平范圍為[-5 , 5]，因此最小量化級（即量化臺階）為，而，所以輸入抽樣脈沖對應為I＝-192。 1）I<0，故極性碼D1＝0。 2）192>128，故D2＝1 384<512，故D3＝0 384<256，故D4＝0 即落在第五段，該段量化臺階為8。 3）192＝128＋8×8，即第5段內(nèi)的中點（第9段起點），故段內(nèi)碼為1000。 故編碼器輸出碼組為01001000。 量化誤差為0。 ②192＝128＋64，故對應該碼組的均勻量化11位碼為00011000000。 7-26簡單增量調(diào)制系統(tǒng)中，已知輸入模擬信號，抽樣速率為，量化臺階為。 ①求簡單增量

26、調(diào)制系統(tǒng)的最大跟蹤斜率； ②若系統(tǒng)不出現(xiàn)過載失真，則輸入信號幅度范圍為多少？ ③如果接收碼序列為1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1，請按斜變信號方式畫出譯碼器輸出信號波形（設(shè)初始電平為0）。 解：①簡單增量調(diào)制系統(tǒng)的最大跟蹤斜率。 ②系統(tǒng)不出現(xiàn)過載失真的條件是，即，因此得到 另外，最小編碼電平為。所以輸入信號幅度范圍為 ③斜變信號方式的譯碼器輸出信號波形如下圖實線所示 7-27為了測試一個DM系統(tǒng)，在系統(tǒng)的輸入端饋送峰-峰值為1 V的10 kHz正弦波信號，并以10倍于奈奎斯特速率的抽樣速率對信號進行抽樣。試問： ①為了預防出現(xiàn)斜率過載噪聲并且使量化

27、噪聲最小，所需的量化臺階為多大？ ②如果接收機的輸入端帶限于200 kHz，那么量化信噪比是多少？ 解：①對峰-峰值為1 V的10 kHz正弦波信號，信號最大振幅為Amax=0.5 V，其奈奎斯特速率為，實際抽樣速率為。 為預防出現(xiàn)斜率過載，應有 因此量化臺階應滿足 而量化噪聲功率，欲使量化噪聲功率最小，應使量化臺階取最小值，因此 V ②已知抽樣頻率，信號頻率f=10 kHZ，輸入端帶限頻率。因此根據(jù)教材式（7.80），可以得到量化信噪比為 7-28設(shè)語音信號的動態(tài)范圍為40dB，語音信號的最高截止頻率，若人耳對語音信號的最低信噪比要求為16dB，試計算DM編碼

28、調(diào)制時，對頻率為的信號而言，滿足動態(tài)范圍的采樣頻率是多少？ 解：由DM的信噪比公式知欲使最低信噪比為16dB，應有，由此解得滿足最低信噪比要求時采樣頻率應為。 動態(tài)范圍，而，故。 已知，由此解得。同時應滿足最低信噪比要求，可得滿足動態(tài)范圍的采樣頻率為。 7-29對信號進行簡單DM增量調(diào)制。試證明，在既保證不過載，又保證信號振幅不小于編碼電平的條件下，量化臺階和抽樣頻率的選擇應滿足： 。 證明：要保證不過載，應有； 另外，要保證信號振幅不小于編碼電平，應有。 綜上：。得證。 7-30對信號進行簡單增量調(diào)制，采樣頻率為40kHz，量化臺階為。 ① 若，試求發(fā)生過載的條件；

29、 ② 若編碼時二進制碼0和1出現(xiàn)概率分別為1/3和2/3。試問系統(tǒng)的平均信息速率為多少？ ③ 系統(tǒng)可能的最大信息速率為多少？ 解：①發(fā)生過載的條件是： ②信源熵即每符號平均信息量為 ， 而傳碼率為 因此系統(tǒng)的平均信息速率為。 ③對二進制，每符號最大平均信息量H(x)=log22=1bit/符號。在傳碼率RB一定的情況下，系統(tǒng)可能的最大信息速率Rbmax=RB×H(x)＝40kbit/s。 7-31按照將DM作為DPCM特例的分析方法，利用DM的量化信噪比公式（即：，差值為M個電平，編碼為N位），證明DPCM的量化信噪比為 并將DPCM與D

30、M及PCM的性能進行比較。 證明：對于DPCM信號，量化誤差信號在上均勻分布，故量化噪聲功率為。譯碼器的“積分器”輸出的斜變波形信號階梯變化的最小周期為，即信號最高頻率為（是抽樣間隔）。因此可認為的功率譜在上均勻分布，其功率譜可表示為 若接收端LPF的截止頻率為，則系統(tǒng)的最終輸出量化噪聲功率 設(shè)信號，則信號功率。由不發(fā)生過載條件知，可得到信號的最大（臨界）功率為 因此可以得到量化信噪比為 得證。 比較：DPCM：； DM：； PCM：。 其中是抽樣頻率，是信號頻率，是接收端低通濾波器的截止頻率，N是每個抽樣值的編碼位數(shù)。 7-32給定

31、某信號的波形、抽樣頻率及量化臺階，試畫出簡單DM的編碼過程。 解：簡單DM的編碼過程如下圖所示，其中：為輸入的模擬信號，為相應階梯波，為采樣周期，為量化臺階 7-33在忽略接收機噪聲的情況下，求DM和PCM系統(tǒng)的輸出信噪比（量化信噪比）及。設(shè)輸入的是頻率的單音頻信號，低通濾波器的截止頻率，信道帶寬為，且。 解：已知，。通常取，則有 由教材式（7.54）和，可得。因此 7-34若要求DM和PCM系統(tǒng)的輸出信噪比（量化信噪比）都為30dB，且=4000Hz，f=800Hz，試比較DM和PCM系統(tǒng)所需的帶寬。 解： （這里），將代入，可以求得： 由可以解得，故。

32、 7-35有一電話信道帶寬B=3000Hz，信噪比S/N=400（即26dB），假定信道為帶限高斯信道。試求： ① 信道容量C； ② 說明此信道能否有效地支持對數(shù)字PCM編碼的語音信號的傳輸。 ③ 假定傳輸速率是信道容量的40%，試問哪種信源編碼方式可以壓縮信號帶寬以適應 該電話信道的帶寬限制？ 解：① ②數(shù)字PCM的傳碼率滿足：，而一般的數(shù)字PCM中N＝7～8，語音信號最高頻率fH＝4kHz，故，不能支持。 ③若，查教材表7.7，可采用RPE-LTP進行壓縮。