專題10坐標平面上的直線

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1、 專題?10 坐標平面上的直線 閱讀與思考 我們知道，任意一個一次函數(shù)的圖象都是平面上的一條直線，那么，是不是平面上的任意一條直線 都是某個一次函數(shù)的圖象呢？請讀者思考. 一次函數(shù)、二元一次方程、直線三者有著緊密的聯(lián)系，我們既可以用函數(shù)的方法來處理方程的問題， 也可以從方程的觀點來討論函數(shù)；既可以用坐標平面上的直線來表示一次函數(shù)與二元一次方程，也可以 . 用方程和函數(shù)的思想來研究直線的性質(zhì)，以及直線與直線之間的關(guān)系 數(shù)形結(jié)合是解函數(shù)問題的重要思想方法，它包括兩方面內(nèi)容： （1）由數(shù)定形 即通過函數(shù)解析式的系數(shù)符號，確定圖象的

2、大致位置. （2）由形導(dǎo)數(shù) 即從給定的函數(shù)圖象上獲得解的信息，如圖象的大致位置；確定解析式中系數(shù)符號；圖象上的點的 坐標等. 一次函數(shù)的圖象是一條直線，對于實際問題，由于自變量的取值范圍受實際意義的限制，因此，作 . 出的函數(shù)圖象是常見直線的一部分，相應(yīng)函數(shù)值就有最大值或最小值 一次函數(shù)是表示日常生活中勻速變化的兩個變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是最基本的函數(shù)，有著廣泛 的應(yīng)用價值.?運用一次函數(shù)解題時應(yīng)注意： 1.?一次函數(shù)的圖象是一條直線. 2.?函數(shù)解析式?y?=?kx?+?b?中的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置及?y?隨?x?變化的性質(zhì).

3、 y y y y O x O x O??????x?????????????O x , (k?>?0,?b?>?0) (k?>?0?b??0) (k?

4、可化 為形如?y?=?- a b c x?-?的函數(shù)形式. b 解題思路：對于（1），先求出相應(yīng)函數(shù)解析式；對于（2），l1?與?x?軸、y?軸交點的坐標分別為?A(-???,0)?，b 【例?2】已知?abc?1?0?，并且??a?+?b 例題與求解 （ 【例?1】?1）如圖，已知?A?點坐標為?(5,0)?，直線?y?=?x?+?b(b?>?0)?與?y?軸交于點?B，連接?AB，Da?=?75°?， 則?b?= . y B α O A x （蘇州市中考試題） （2）一

5、次函數(shù)?y?=?ax?+?b?的圖象?l1?關(guān)于直線?y?=?-x?軸對稱的圖象?l2?的函數(shù)解析式是 . （太原市競賽試題） a B(0,?b)?，求出?A，B?兩點分別關(guān)于直線?y?=?-x?對稱點的坐標，這是解題的關(guān)鍵. b?+?c c?+?a = = =?p?，則直線?y?=?px?+?p?一定通過（ ） c a b A.?第一、二象限 B.?第二、三象限 C.?第三、四象限 D.?第一、四象限 （全國初中數(shù)學(xué)競賽試題） 解題思路：求出?p?的值，大致畫出函數(shù)圖象位置，從而作出判斷. 【例?3】如圖，△

6、?AOB?為正三角形，點?B?的坐標為?(2,0)?，過點?C?(-2,0)?作直線?l?交?AO?于?D，交?AB 于?E，且使△?ADE? DCO?的面積相等，求直線?l?的函數(shù)解析式. y A D l E C O B??x （太原市競賽試題） 解題思路：由?S △ADE?=?S △DCO?得??AOB?=??CBE?，設(shè)法求出?E?點的坐標. 【例?4】某科技公司在甲地、乙地分別生產(chǎn)了?17?臺、15?臺同一種型號的檢測設(shè)備，全部運往大運會 賽場?A，B?兩館，其中運往

7、?A?館?18?臺、運往?B?館?14?臺.?運往?A，B?兩館的運費如下表： 出發(fā)地 甲地 乙地 目的地 A?館 B?館 800?元/臺 500?元/臺 700?元/臺 600?元/臺 （1）設(shè)甲地運往的設(shè)備有?x?臺，請?zhí)顚懴卤恚⑶蟪隹傔\費?y（元）與?x（臺）的函數(shù)關(guān)系式； 出發(fā)地 甲地 乙地 目的地 A?館 B?館 x（臺） （臺） （臺） （臺） （2）要使總運費不高于?20200?元，請你幫助該公司設(shè)計調(diào)配方案，并寫出有哪幾種方案

8、； （3）當?x?為多少時，總運費最小，最小值是多少？ （深圳市中考試題） . 解題思路：將設(shè)計方案轉(zhuǎn)化為求不等式組的整數(shù)解，為此需求出自變量的取值范圍 當一次函數(shù)圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起.?求兩交點坐標并能發(fā)掘隱含條 件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ). 當自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點.?當一次函數(shù)自變量取值受限制時， 存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了. 【例?5】已知長方形?ABCO，O?為坐標原點，B?的坐標為?(8,6)?，A，C?分別在坐標軸上，P?是線段

9、?BC 上的動點，設(shè)?PC?=?m?，已知點?D?在第一象限且是直線?y?=?2x?+?6?上的一點，若△?APD?是等腰直角三角 形. （1）求點?D?的坐標； （2）直線?y?=?2x?+?6?向右平移?6?個單位后，在該直線上是否存在點?D APD?是等腰直角三角形？ 若存在，請求出這些點的坐標；若不存在，請說明理由. （浙江省中考試題） . 解題思路：構(gòu)造全等三角形，注重坐標與線段的轉(zhuǎn)化，并由動點討論，這是解本題的關(guān)鍵 例?5?顛覆了傳統(tǒng)意義上的動點問題與存在性問題，探索過程是嘗試畫圖，找到可能存在的點，再計 算驗證.?綜

10、合了坐標、方程、函數(shù)、矩形、特殊三角形、全等三角形等豐富的知識，滲透了分類討論、 數(shù)形結(jié)合等思想方法. 【例?6】如圖?1?是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱體鐵塊立放其中（圓柱形 . 鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）?現(xiàn)將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度?y（厘 米）與注水時間?x（?分鐘）之間的關(guān)系如圖?2?所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題： y（厘米） 19 14 12 D B 甲 乙 2?A C E

11、 O 4 6 x（分鐘） （1）圖?2?中折線?ABC?表示 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系，線段?DE?表示 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系（以上兩空選塡?“甲”或“乙”），點?B?的縱坐標表示的實際意義 是 ； （2）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面積為?36?平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積； （4）若乙槽中鐵塊的體積為?112?立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計）．（直接寫出結(jié)果） （揚州市中考試題） 解題思路：觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應(yīng)是先快后慢，圖象的?“轉(zhuǎn)折

12、點”即對應(yīng)容器的“水 面剛好漫過鐵塊”這個時刻，由此確定，圖象與器具的對應(yīng)關(guān)系.?對于（3）、（4），根據(jù)注水時間與注水 速度求解，而解題的關(guān)鍵是挖掘出隱含信息. 例?6?是圖象信息題.?函數(shù)圖象以直觀、形象的特征融合了顯性與隱性的信息，解題的關(guān)鍵是獲取數(shù) 據(jù)、數(shù)量關(guān)系信息，并能整合信息，還原到問題的情境之中. 1.??已知?k?=??a?+?b?-?c 能力訓(xùn)練  a?-?b?+?c??-a?+?b?+?c =????????= c???????b????????a  A?級 ，且?m?-?5?+?

13、n2?+?9?=?6n?，則關(guān)于自變量?x?的一次函數(shù) y?=?kx?+?m?+?n?的圖象一定經(jīng)過第 象限. （湖北省黃岡市競賽試題） 如 2.?某地長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，?果超過規(guī)定，則需要購買行李票， 其圖象如圖所示，旅客最多可免費攜帶行李 千克. （南京市中考試題） 3.?如圖，一次函數(shù)?y?=?kx?+?b?的圖象經(jīng)過?A，B?兩點，則△AOC?的面積為 . y（元） 行 李?10 票 y y A 費 6 用  （0,2）B A（2,4） 

14、B  O  x 0 60?80 x（千克） C???O x C 行李重量 （第?2?題） （第?3?題） （第?4?題） 4.?如圖，直線?y?=?1?x?+?2?與兩坐標軸分別交于?A，B?兩點，直線?BC?與直線?AB?垂直，垂足為?B，則 2 直線?BC?所對應(yīng)的函數(shù)解析式為 . （ 5.?某市為了鼓勵節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費：?1）每戶每月用水量不超過?20m3，則每立方米 水費?1.2?元；（2）每戶每月用水量超過?20m3，則超過的部分每立方米水費?2?元.?設(shè)某戶一個月所交水費

15、 為?y（元），用水量為?x（m3），則?y?與?x?的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（ ） y?(元) y?(元) y?(元) y?(元) 36 24 12 36 24 12 36 24 12 36 24 12 0 10?20?30 10??20?30 10??20?30 x?(m3)??0????????x?(m3)?0????????x?(m3)?0?10?20?30?x?(m3) A B C D （荊州市中考試題） 6.?下列圖象中，不可能是關(guān)于?x?的一次函

16、數(shù)?y?=?mx?-?(m?-?3)?的圖象是（ ） y y y y O x O x????????????O???x  O??????x （北京市中考試題） 7.?如圖，點?A，B，C?在一次函數(shù)?y?=?-2x?+?m?的圖象上，它們的橫坐標依次為?-1、1、2，分別過 這些點作?x?軸與?y?軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（ ） y A M B C -1?0 1?2 x 3 A.1 B.3 C.?3(m?-?1) D.?(m?-?2) 2

17、 （寧波市中考試題） 1 8.?點?A(-4,0)?，?B(2,0)?是坐標平面上兩定點，C?是?y?=?- x?+?2?的圖象上的動點，則滿足上述條件 2 的直角△ABC?可以畫出（ ） A.1?個 B.2?個 C.3?個 D.4?個 （北京市競賽試題） 9.?隨著我國人口增長速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量有所減少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地 區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢.?試用你學(xué)過的函數(shù)知識解決下列問題： x（年） 入學(xué)兒童人數(shù)?y（人） 2000 2520 2001 2330 2002 2140

18、… … （1）求入學(xué)兒童人數(shù)?y（人）與年份?x（年）的函數(shù)關(guān)系式； （2）利用所求函數(shù)關(guān)系式，預(yù)測該地區(qū)從哪一年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過?1000?人. （沈陽市中考試題） 10.?已知直線?x?-?2?y?=?-k?+?6?和?x?+?3?y?=?4k?+?1?，若它們的交點在第四象限. （1）求?k?的取值范圍； （2）若?k?為非整數(shù)，點?A?的坐標為?(2,0)?，點?P?在直線?x?-?2?y?=?-k?+?6?上，求使△?PAO?為等腰三角 形的點?P?的坐標. （大連市中考試題）

19、 11.?如圖，已知直線?y?=?-?x?+?2?與?x?軸，y?軸分別交于點?A?和點?B，另一直線?y?=?kx?+?b(k?1?0)?經(jīng)過點 C?(1,0)?，且把△?AOB?分成兩部分. y B O C A x （1 AOB?被分成的兩部分面積相等，求?k?和?b?的值； （2 AOB?被分成的兩部分的面積比為1:5?，求?k?和?b?的值. （廈門市中考試題） 12.?某車站客流

20、量大，旅客往往需長時間排隊等候購票.?經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每天開始售票時，約有 300?名旅客排隊等候購票，同時有新的旅客不斷進入售票廳排隊等候購票，新增購票人數(shù)?y（人）與售 票時間?x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖?1?所示；每個售票窗口票數(shù)?y（人）與售票時間?x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖 2?所示.?某天售票廳排隊等候購票的人數(shù)?y（人）與售票時間?x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖?3?所示.?已知售票 的前?a?分鐘開放了兩個售票窗口，求： y?/人 y?/人??????????????y?/人 4  3 300 240

21、 O 1 x?/?分 O 1 x?/?分 O a 78 x?/?分 圖?1 圖?2 圖?3 （1）a?的值； （2）售票到第?60?分鐘時，售票廳排隊等候購票的旅客人數(shù)； （3）該車站在學(xué)習(xí)實踐科學(xué)發(fā)展觀的活動中，本著“以人為本，方便旅客”的宗旨，決定增設(shè)售票窗 口.?若要在開始售票后半小時內(nèi)讓所有排隊購票的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客能隨到隨購， 請你幫助計算，至少需同時開放幾個售票窗口？ （咸寧市中考試題） 13.?2011?年?4?月?28?日，以“天人長安，創(chuàng)意自然——

22、城市與自然和諧共生”為主題的世界園藝博覽 會在西安隆重開園.?這次園藝會的門票分為個人票、團體票兩大類，其中個人票設(shè)置有三種： 票的種類 單價（元/張） 夜票（A）?平日普通票（B）?指定日普通票（C） 60???????????100??????????????150 某社區(qū)居委會為獎勵“和諧家庭”，欲購買個人票?100?張，其中?B?種票的張數(shù)是?A?種票張數(shù)的?3?倍還 多?8?張，設(shè)需購?A?種票張數(shù)為?x，C?種票張數(shù)為?y. （1）寫出?y?與?x?之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)購票總費用為?w?元，

23、求出?w（元）與?x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）若每種票至少購買?1?張，其中購買?A?種票不少于?20?張，則有幾種購票方案？并求出購票總費 用最少時，購買?A，B，C?三種票的張數(shù). （陜西省中考試題） B 級 1.?如圖，在直角坐標系中，直角梯形?OABC?的頂點?A(3,0)?，B(2,7)?，P?為線段?OC?上一點，若過?B， x P?兩?點?的?直?線?為?y?=?k?x?+?b?，?過?A?，?P?兩?點?的?直?線?為?y?=?k?+ b，?且?BP⊥AP?，?則 1 1 1 2 2 2 k?k?(k?+?k?)?

24、= . 1 2 1 2 （紹興市競賽試題） 2.?設(shè)直線?kx?+?(k?+?1)y?=?1?（k?是自然數(shù)）與兩坐標軸圍成的圖形的面積為?S1，S2，…，S2000，則 S?+?S?+ +?S 1 2 2000?=???????.??????????????????????????（湖北省選拔賽試題） y C B y??????????????????????y P B  C  C  B?(15,6) O A x O A x O?????????????A??x

25、 （第?1?題） （第?3?題） （第?4?題） 3.?如圖，直線?y?=?-2?x?+?10?與?x?軸，y?軸分別交于?A、B?兩點，把△AOB?沿?AB?翻折，點?O?落在?C 處，則點?C?的坐標是 . （黃岡市競賽試題） 1 4.?如圖，在直角坐標系中，矩形?OABC?的頂點?B?的坐標為?(15,6)?，直線?y?= x?+?b?恰好將矩形?OABC 3 分成面積相等的兩部分，那么?b?= . （全國初中數(shù)學(xué)競賽試題） 5.?在直角坐標系中，有兩點?P(-1,1)和?Q(3,3)?，M?是?x?軸上任意點，則?PM?+?QM?的長

26、度的最小值 是（ ） A.?2?5 B.4 C.?4?2 D.3 6.?某航空公司規(guī)定，旅客乘機所攜帶行李的質(zhì)量?x（kg）與其運費?y（元）由如圖所示的一次函數(shù) 圖象確定，那么旅客可攜帶的免費行李的最大質(zhì)量為（ ） y?(元) 900 300 O 30 50 x?(kg) A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg （成都市中考試題） 7.??一個一次函數(shù)的圖象與直線??y?=??5 95 x?+ 4 4  平行，與?x?軸、y?軸的交點分別為?A、B，并且過點 ）

27、 (-1,-25)?，則在線段?AB?上（包括端點?A、B?，橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（ A.4?個 B.5?個 C.6?個 D.7?個 ） （全國初中數(shù)學(xué)競賽試題） 8.?設(shè)?b?>?a?，將一次函數(shù)?y?=?bx?+?a?與?y?=?ax?+?b?的圖象畫在同一平面直角坐標系內(nèi)，則有一組?a，b 的取值，使得下列?4?幅圖中正確的是（ ） y b y b  a y b y a  b a O x  O???x O 

28、 a x  O???x A B C D （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 9.?求證：不論?k?為何值，一次函數(shù)?(2k?-?1)x?-?(k?+?3)?y?-?(k?-?11)?=?0?的圖象恒過一定點. （江蘇省競賽試題） 10.?已知四條直線?y?=?mx?-?3?，?y?=?-1?，?y?=?3?和?x?=?1?所圍成的四邊形面積是?12，求?m?的值. （“祖沖之杯”邀請賽試題） y 11.?在直角坐標系?xOy?中，一次函數(shù)?y?=?kx?+?b?+?2(

29、k?1?0)?的圖象與?x?軸、?軸的正半軸分別交于點?A， B，且使得?S  △OAB =?OA?+?OB?+?3?. （1）用?b?表示?k； （）求 AOB?面積的最小值. （浙江省競賽試題） 12.?如圖，一次函數(shù)?y?=?-?3x?+?3?的圖象與?x?軸，y?軸分別交于點?A，B，以線段?AB?為直角邊在 第一象限內(nèi)作? ABC，且使∠ABC?=30°. y B P （）求 ABC?的面積； （2）如果在第二象限內(nèi)有一點?P(m,  3 2 C A??????x O )?，試用含?m?的代數(shù)式表示四邊形?AOPB?的面積，并求出當 △ABP?與△ABC?的面積相等時?m?的值； （）是否存在使 QAB?為等腰三角形并且在坐標軸上的點?Q？若存在，寫出點?Q?所有可能的坐標； 若不存在，請說明理由. （“希望杯”邀請賽試題）