高中數(shù)學 2_1 橢圓第1課時同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學 2.1 橢圓第1課時同步精練 北師大版選修1-1 1．命題甲：動點P到兩定點A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常數(shù))，命題乙：P點的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．線段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中點，當P點在同一平面內(nèi)運動時，|PM|的最小值是(　　) A．2 B. C. D．5 3．橢圓的兩個焦點的坐標分別為(0，－4)，(0,4)，并且經(jīng)過點(，－)，則橢圓的標準方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－，1)兩點的橢圓的標準方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C. ＋＝1 D.＋＝1 5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝(　　) A．3 B．9 C. D．12 6．已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝(　　) A．12 B．8 C．25 D．9 7．經(jīng)過點(2，－3)且與橢圓9x2＋4y2＝36有共同焦點的橢圓的標準方程為________． 8.＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2的大小為________． 9．已知動圓M過定點A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程是________． 10．在△ABC中，已知點B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差數(shù)列． (1)求證：頂點A在一個橢圓上運動； (2)指出這個橢圓的焦點坐標以及焦距． 11．求符合下列條件的橢圓的標準方程： (1)兩個焦點的坐標分別為(－3,0)和(3,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)； (2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)． 12．如圖所示，已知橢圓的方程為＋＝1，若點P在第二象限，且∠PF1F2＝120，求△PF1F2的面積． 參考答案 1. 解析：若P點的軌跡是橢圓，則一定有|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常數(shù))，∴甲是乙的必要條件． 反過來，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常數(shù))是不能推出P點的軌跡是橢圓的．這是因為：僅當2a＞|AB|時，P點的軌跡才是橢圓；而當2a＝|AB|時，P點的軌跡是線段AB；當2a＜|AB|時，P點無軌跡．∴甲不是乙的充分條件． 綜上，甲是乙的必要不充分條件．故選B. 答案：B 2. 解析：由于|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|，故由橢圓定義知P點的軌跡是以M為原點，A、B為焦點的橢圓，且a＝3，c＝2，∴b＝＝. 于是|PM|的最小值是b＝. 答案：C 3. 解析：因為橢圓的焦點在y軸上，可設它的標準方程為 ＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得c＝4，又c2＝a2－b2，故a2＝16＋b2.① 因為點(，－)在橢圓上， 所以＋＝1，即＋＝1.② 將①代入②，解得b2＝4(b2＝－12舍去)，a2＝20. 所以所求橢圓的方程為＋＝1. 答案：A 4. 解析：(方法1)(1)當焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 依題意，有 解得 所以所求橢圓的方程為＋＝1. (2)當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為 ＋＝1(a＞b＞0)． 依題意，有 解得 因為a＜b，所以方程無解． 故所求橢圓的方程為＋＝1. (方法2)設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)． 依題意，有解得 所以所求橢圓的方程為＋＝1. 答案：D 5. 解析：由題意，得 解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3. 答案：A 6. 解析：如圖所示，由橢圓定義得 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20， 又|AF2|+|BF2|=12， 所以|AF1|+|BF1|=8， 即|AB|=8. 答案：B 7. 解析：橢圓9x2＋4y2＝36的焦點為(0，)，則可設所求橢圓的方程為＋＝1(λ＞0)． 把x＝2，y＝－3代入，得＋＝1， 解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 8. 解析：如圖所示， ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF2|＝6－|PF1|＝2. 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝ ＝＝－， ∴∠F1PF2＝120. 答案：2　120 9. 解析：設動圓M和定圓B內(nèi)切于點C，動圓圓心M到兩定點A(－3,0)，B(3,0)的距離之和恰好又等于定圓B的半徑，即|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，且8＞|AB|＝6， 所以動圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，并且2a＝8,2c＝6， 所以b＝＝. 所以橢圓的方程是＋＝1. 答案：＋＝1 10. (1)證明：由題意，得sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理，得sin B＝，sin C＝，sin A＝，所以有b＋c＝2a，即|AC|＋|AB|＝2|BC|(大于|BC|)．所以頂點A到定點B，C的距離的和是常數(shù)(大于|BC|)，即頂點A在一個橢圓上運動． (2)解：這個橢圓的焦點坐標分別是(－6,0)，(0,8)，焦距是10. 11. 解：(1)由于橢圓的焦點在x軸上， ∴設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． ∴2a＝＋＝10. ∴a＝5. 又c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 故所求橢圓的方程為＋＝1. (2)由于橢圓的焦點在y軸上， ∴設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由于橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)， ∴解得 故所求橢圓的方程為＋x2＝1. 12. 解：由已知，得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝1. 所以|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② ②代入①，解得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin 120＝2＝，即△PF1F2的面積是.