高中數(shù)學(xué) 2_1 橢圓第2課時(shí)同步精練 北師大版選修1-11

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高中數(shù)學(xué) 2.1 橢圓第2課時(shí)同步精練 北師大版選修1-1 1．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2．已知對k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,1) B． (5，＋∞) C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5) 3．如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；④＜.其中正確式子的序號是(　　) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 4．過橢圓＋＝1內(nèi)的一點(diǎn)P(2，－1)的弦，恰好被P點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程為(　　) A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0 C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0 5．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 6．已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(－，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________． 7．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為________． 8．如圖，把橢圓＋＝1的長軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝__________. 9．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為________． 10．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的離心率e＝，求m的值及橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)． 11．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)(2，－6)； (2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6. 12．已知橢圓長軸|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝，過橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)∠MF1F2＝α(0≤α≤180)，問α取何值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸長？ 參考答案 1. 解析：∵＋＝1(a＞b＞0)的離心率為， ∴＝，∴a∶b∶c＝3∶∶. 又∵過F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)， △AF1B的周長為， ∴4a＝，∴a＝. ∴b＝，∴橢圓方程為＋＝1，選A. 答案：A 2. 解析：直線y－kx－1＝0恒過點(diǎn)(0,1)，僅當(dāng)點(diǎn)(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)，此直線才恒與橢圓有公共點(diǎn)，∴≤1，且m＞0，得m≥1.又m≠5，故選C. 答案：C 3. 解析：由題意知，a1＞a2，c1＞c2，故①錯(cuò)誤． 對于軌道Ⅰ有|PF|＝a1－c1；對于軌道Ⅱ有|PF|＝a2－c2， ∴a1－c1＝a2－c2，∴②正確． ∵a1－c1＝a2－c2， a1＞a2， ∴＜，即1－＜1－， ∴＞， 即c1a2＞c2a1，∴③正確，④錯(cuò)誤． 答案：B 4. 解析：設(shè)過點(diǎn)P的弦與橢圓交于A1(x1，y1)，A2(x2，y2)兩點(diǎn)，則 且x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ∴(x1－x2)－(y1－y2)＝0， ∴kA1A2＝＝. ∴過點(diǎn)P的弦所在的直線方程為y＋1＝(x－2)，即5x－3y－13＝0. 答案：A 5. 解析：由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)， 則＝(x0，y0)(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y. ∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴＋＝1. ∴＝x＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2. ∵－2≤x0≤2， ∴的最大值在x0＝2時(shí)取得，且最大值等于6. 答案：C 6. 解析：由已知，得a＝2b，c＝，又a2－b2＝c2， 故b2＝4，a2＝16，又焦點(diǎn)在x軸上， 故橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 7. 解析：如圖所示，e＝＝＝＝＝－1. ∵|PF2|＜a＋c， ∴e＝－1＞－1，即e＞－1， ∴e2＋2e－1＞0. 又∵0＜e＜1，∴－1＜e＜1. 答案：(－1,1) 8. 解析：設(shè)F1是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對稱性，知|P1F|＋|P7F|＝|P1F|＋|P1F1|＝2a，同理，|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2a. 又|P4F|＝a，∴|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a＝35. 答案：35 9. 解析：由題設(shè)，知2a＝12，＝，∴a＝6，c＝.∴b＝3. 答案：＋＝1 10. 解：橢圓方程可化為＋＝1(m＞0)． ∵m－＝＞0， ∴m＞，即a2＝m，b2＝， ∴c＝＝. 由e＝，得＝，∴m＝1. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴橢圓的長軸長為2，短軸長為1，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1，F(xiàn)2，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2. 11. 解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知a＝2b，① 且橢圓過點(diǎn)(2，－6)， 從而有＋＝1或＋＝1.② 由①②，得a2＝148，b2＝37，或a2＝52，b2＝13. 故所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. (2)如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且OF=c，A1A2=2b， ∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18. 故所求橢圓的方程為＋＝1. 12. 解法1：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則a=3，c=2，b=1， ∴橢圓方程為＋y2＝1. 當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，得|MN|＝，不合題意． 故可設(shè)過F1的直線方程為y＝k(x＋)． ∴ ①代入②，整理可得 (1＋9k2)x2＋k2x＋72k2－9＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 代入|MN|＝，可得 |MN|＝. ∵＝2，∴k＝， 即tan α＝，∴α＝或α＝π. 解法2：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，由已知可得a＝3，c＝2，b＝1. 令|F1M|＝x，則|F2M|＝6－x，|F1F2|＝4， 在△MF1F2中利用余弦定理得 x＝， 若令|F1N|＝y(tǒng)，則|F2N|＝6－y，|F1F2|＝4， 在△NF1F2中利用余弦定理得y＝， ∴|MN|＝x＋y＝＋＝， ∴＝2， cos α＝， ∴α＝或α＝π.